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(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年12月26日(火)20時06分4秒
  了解です.ありがとうございます.  

(無題)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年12月26日(火)14時18分0秒
  >「超関数」は「汎関数」の誤りでした。関数の関数のつもりで書きました。
通常,「汎関数」は「関数 f に対して数を対応させる写像」に用いられます.
「関数の関数---関数に対して関数を対応させる写像」を指す用語としては「作用素」(d/dx は微分作用素)があります.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年12月26日(火)13時29分4秒
編集済
  「超関数」は「汎関数」の誤りでした。関数の関数のつもりで書きました。  

RE: 代入について

 投稿者:Madison  投稿日:2017年12月26日(火)02時49分29秒
  有難うございます。とても参考になります。

> 当然 f(g(x))|_{x=a}=f(g(a)) が成り立ちます.

反例は無いのですね。なるほどです。

 

(無題)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年12月26日(火)00時28分31秒
編集済
  >ところがf(x):=d/dxは関数から関数への関数,超関数なので
「超関数」は別の概念かと.

それはそれとして,関数 f,g について f(g(x))|_{x=a} と f(g(a)) が定義されるならば,南海先生のおっしゃるように,
当然 f(g(x))|_{x=a}=f(g(a)) が成り立ちます.

 

RE: 代入について

 投稿者:南海  投稿日:2017年12月25日(月)21時57分19秒
編集済
  f(x)は関数であって,操作、超関数ではない.ところがf(x):=d/dxは関数から関数への関数,超関数なので
g(x):=2x, f(x):=d/dx, a:=1
は反例にならないです.合成関数f(g(x))がx=aで定義されるなら,つまり,g(x)の定義域にaがあり,g(a)でf(x)が定義されるなら,f(g(x))のx=aでの値はf(g(a))ですので,f(g(x))|_{x=a}=f(g(a))はつねになりたつと思われます.
 

代入について

 投稿者:Madison  投稿日:2017年12月25日(月)10時36分37秒
  複素関数の合成関数f(g(x))で
f(g(x))|_{x=a}≠f(g(a))
となるような例を探してます。

例えば,
g(x):=2x, f(x):=d/dx, a:=1の場合,
f(g(x))|_{x=a}=d/dx(2x)|_{x=1}=2|_{x=1}=2,
f(g(a))=d/dx(2・2)=d/dx(4)=0.
などが挙げれると思います。

このような例以外にどのような例がありますでしょうか?

また,どんな条件の時に
f(g(x))|_{x=a}≠f(g(a))
となるのでしょうか?
 

京大特色入試3番 (1)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年12月15日(金)18時25分52秒
編集済
  11月26日の投稿に「2進法と樹形図を念頭に置いて考えた」と書きました.
具体的には,南海先生の解答の数表の部分を,次のような「樹形図」で表して考えました.
n=5 の場合を例示します.

 16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31
  |___|   |___|   |___|   |___|   |___|   |___|   |___|   |___|
    |       |       |       |       |       |       |       |
    8       9      10      11      12      13      14      15
    |_______|       |_______|       |_______|       |_______|
        |               |               |               |
        4               5               6               7
        |_______________|               |_______________|
                |                               |
                2                               3
                |_______________________________|
                                |
                                1

問題文の 2^{n-1}≦k≦2^{n}-1 なる自然数kは二進法表示でn桁であり,[k/2^{n-m}] は
「二進法表示で,kの上位m桁を抽出(下位 n-m桁を除去)して得られる自然数」です.
f(x)=[x/2] とすれば [k/2^{n-m}] =f^{n-m}(k) (f^{n-m} は関数の合成)が成り立つことに注意します.
上の樹形図で「1段下がる」ことは,関数 f を1回施す,即ち「二進法表示の下1桁を取り去る」ことと同じです.

2を「始点」とする高さ4段の「樹形」に対応する事象 E(2;4) (正確な記述は省略)と,
3を「始点」とする高さ4段の「樹形」に対応する事象 E(3;4) の確率は,どちらも
1を「始点」とする高さ4段の「樹形」に対応する事象 E(1;4) の確率 p_{4} に等しく,
(以上が南海先生の解答の「・・・同じ構造をしている」の部分に相当します)
かつ E(2;4) と E(3;4) は独立であるので,1回目に表が出る事象をAとすれば,
1を「始点」とする高さ5段の「樹形」に対応する事象
  E(1;5)=A∩(E(2;4)∪E(3;4))
の確率 p_{5} は,
 p_{5}=P(A) P(E(2;4)∪E(3;4))=1/2{P(E(2;4))+P(E(3;4))-P(E(2;4)∩E(3;4))}
        =1/2{p_{4}+p_{4}-(p_{4})^2}=p_{4}-1/2(p_{4})^2
と表されます.
以上のことを一般化し,事象 E(a;n) の定義や「独立であることの根拠」をきちんと記せば,
ひとまず(1)の解答になります.

【追記】例えば,事象 E(3;4) は,次の8個の事象の和事象です.
「3,6,12,24 回目に表が出る」 「3,6,12,25 回目に表が出る」
「3,6,13,26 回目に表が出る」 「3,6,13,27 回目に表が出る」
「3,7,14,28 回目に表が出る」 「3,7,14,29 回目に表が出る」
「3,7,15,30 回目に表が出る」 「3,7,15,31 回目に表が出る」

 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年12月13日(水)21時05分23秒
  ありがとうございます。
あすは時間が取れそうで、まとめてみます。
 

京大特色入試4番:k,n が互いに素でない場合

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年12月13日(水)18時25分58秒
  次の定理を証明します.
【定理】互いに素でない自然数 k,n (k<n) に対し,性質 P(k,n) を持つ数列は存在しない.

正方行列 C, A や,列ベクトル u,v, そして(列ベクトルで表した)数列 a, b を,以前と同じ意味で用います.

【証明】k,n の最大公約数を d (d>1) とする.先に導いたように,
  a=Σ_{m=0}^{n-1} 2^{n-1-m}C^{km}u
が,性質 P(k,n) を持つ数列の唯一の候補である.これが条件(ロ)を満たさないことを示す.
A=Σ_{m=0}^{n-1} 2^{n-1-m}C^{km} を C の多項式として昇巾の順に表し,
  A=Σ_{i=0}^{n-1}c_{i}C^{i}
とする.このような表現は一意的に定まる.
ここで,数列 {c_{i}} の「定義域」を整数全体に周期的に拡張しておく.

---k,n が互いに素の場合,(c_{0},c_{1},...,c_{n-1}) は (2^{0},2^{1},...,2^{n-1}) のある順列でした.
  k,n が互いに素でない場合には,c_{i}=0 となる i が存在し,このことが重要な意味を持ちます.---

このとき,
  c_{i}≠0 ⇔ d|i
が成立する.(詳細は省略します)
A の第1行は (c_{0},c_{1},...,c_{n-1}) であり,A の (λ,μ) 成分は c_{μ-λ} である.
また,k,n が互いに素の場合と同様に,a の階差数列 b=(C-I)a=Av について,
 b_{l}=c_{n-k-l}-c_{n-l} (1≦l≦n)
となる.いま,l が d の倍数でないならば,d|n, d|k により
  (n-l) も (n-k-l) も d の倍数でない
ので,
 b_{l}=0-0=0
となる.1≦l≦d-1 のとき,l が d の倍数でないので
 b_{l}=0.
したがって,
 a_{1}=a_{2}=・・・=a_{d}
であり,数列 a は条件(ロ)を満たさない.即ち,性質 P(k,n) を持つ数列は存在しない.
 

(無題)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年12月13日(水)16時47分6秒
  >(#)つまり互いに素でないとき存在しない証明もあげていただくとありがたいです
了解しました.自家用の解答では既にまとめてありますので,今日中に投稿します.
 

Re:京大特色入試4番:性質 P(k,n) を持つ数列の存在と一意性-補足

 投稿者:南海  投稿日:2017年12月13日(水)16時28分37秒
  かたつむり様
(#)つまり互いに素でないとき存在しない証明もあげていただくとありがたいです.
こちらでもやらないといけないのですが,この問題に集中する時間がとれていません.
 

Re:京大特色入試4番:性質 P(k,n) を持つ数列の存在と一意性-補足

 投稿者:南海  投稿日:2017年12月11日(月)14時30分22秒
  いろいろとありがとうございます.
ほぼ読み終え,整理しているところです.
 

京大特色入試4番:性質 P(k,n) を持つ数列の存在と一意性-補足

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年12月11日(月)11時06分21秒
編集済
  目標とした定理の証明は完了しましたが,(2)との関係を補足します.

(2)との関係とは,前稿の終盤で導いた
  1≦l≦n-1 のとき  b_{l}=2^{n-1-m_{n-l}}
から,(2) の結果が得られるということです.まず,
  b_{k}=2^{n-1-m_{n-k}}.
ここで,m_{n-k} の定義に戻ると
  k m_{n-k}≡n-k (mod n), 即ち  k m_{n-k}≡-k (mod n),  つまり m_{n-k}≡-1 (mod n)
であるから,m_{n-k}=n-1.  したがって,
  b_{k}=2^{n-1-(n-1)}=1, 即ち a_{k+1}-a_{k}=1.
 

Re:引き算は連続写像?

 投稿者:Madison  投稿日:2017年12月11日(月)02時15分31秒
  どうも有難うございます。  

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年12月 8日(金)14時59分5秒
編集済
  >√[(a-a')^2+(b-b')^2]
は√[|a-a'|^2+|b-b'|^2]で,これがC^2での距離ですね.
そこを直せば下記でいいと思います.
 

引き算は連続写像?

 投稿者:Madison  投稿日:2017年12月 8日(金)12時18分58秒
  複素関数f:C^2→CをC^2∋∀(a,b)→f(a,b):=a-bで定義します。
この時,fは連続である事を示したいのですが,下記のようにしましたがこれで大丈夫でしょうか?

∀ε>0に対して,(a',b')∈{(a',b')∈C^2;√[(a-a')^2+(b-b')^2]<ε/3}=:Pと取ると,三角不等式より
f(a',b')=a'-b'∈{z∈C;|z-(a-b)|<2ε/3}=:Qとなる。
すなわち, f(P)⊂Qとなるのでfは連続。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年12月 7日(木)22時37分29秒
  ありがとうございます.
これをTeXになおして,再読のうえ紹介させていただきます.
 

京大特色入試4番:性質 P(k,n) を持つ数列の存在と一意性-3

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年12月 7日(木)18時05分39秒
編集済
  b_{l}=a_{l+1}-a_{l} (1≦l≦n) によって数列 b_{1},...,b{n} を定め,これを縦に並べた列ベクトルを b とする.
b_{n}=a_{n+1}-a_{n}=a_{1}-a_{n} に注意する.すると,
  b=(C-I)a=(C-I)Au=A(C-I)u
となる.v=(C-I)u とおけば,v について
 第(n-k)成分が1, 第n成分が-1 で,他の成分は0
である.したがって,
 b_{l}=(A の(l,n-k)成分)-(A の(l,n)成分)=c_{n-k-l}-c_{n-l}=2^{n-1-m_{n-k-l}}-2^{n-1-m_{n-l}}.
ここで m_{i} の定義に戻り,
  km_{n-k-l}≡n-k-l (mod n),  km_{n-l}≡n-l (mod n)
から,k(m_{n-l}-m_{n-k-l})≡k (mod n) を得る.k,n は互いに素なので
  m_{n-l}-m_{n-k-l}≡1 (mod n).
左辺の取り得る値の範囲は 1-n 以上 n-1 以下であるから,
  m_{n-l}-m_{n-k-l}=1 または m_{n-l}-m_{n-k-l}=1-n.
後者が成立するのは,m_{n-l}=0, 即ち n-l≡0 (mod n), つまり l=n のときに限るので,1≦l≦n-1 のとき,
   m_{n-l}-m_{n-k-l}=1,
    b_{l}=2^{n-m_{n-l}}-2^{n-1-m_{n-l}}=2^{n-1-m_{n-l}}.
特に,1≦l≦n-1 のとき b_{l}>0, 即ち a_{l}<a_{l+1}.
この結果と前稿の最後に記したことによって(※)の証明が完成した.

【注意】lと1が判別しにくいかもしれません.御容赦願います.
【感想】最後の場面,予想を越える綺麗な決まり方で自分でも驚きました.
 

京大特色入試4番:性質 P(k,n) を持つ数列の存在と一意性-2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年12月 7日(木)16時56分53秒
  南海先生,コメントをありがとうございます.長文の連続投稿で恐縮ですが,前稿の続きを記します.

以下,数列 a_{1},a_{2},...,a_{n} と,これを縦に並べた列ベクトル a を同一視します.
性質 P(k,n) を持つ数列の「唯一の候補」a が
 a=(Σ_{m=0}^{n-1} 2^{n-1-m}C^{km})u  (u は前稿で定義した列ベクトル)
と表されました.右辺のカッコ内を A とし,これを C の多項式として昇巾の順に表すところから始めます.

k,n は互いに素なので,整数 i に対し,
  km_{i}≡i (mod n),  0≦m_{i}≦n-1
を満たす m_{i} がただ一つ定まる.このとき,i≡j (mod n) ⇔ m_{i}=m_{j} である.
(とりあえず 0≦i≦n-1 としてもよいが,数列{m_{i}}をこのように周期数列として拡張しておくと,後で都合がよい.)
すると,A=Σ_{i=0}^{n-1} 2^{n-1-m_{i}}C^{i} と表される.ここで
  c_{i}=2^{n-1-m_{i}}
とおくと,A の第1行は (c_{0},c_{1},...,c_{n-1}) であり,これは (2^{0},2^{1},...,2^{n-1}) のある順列である.
A の各行は第1行から順に巡回置換で得られるので,
  (A の(λ,μ)成分)=c_{μ-λ}=2^{n-1-m_{μ-λ}}
と表される.

数列 a の各項は
  (2^{0},2^{1},...,2^{n-1}) からk個を取った和(k個取る組合せは各項で異なる)
ですから,(2進法で考えることにより)2^{n} 未満の相異なる正の整数であることが分かります.
数列 a が増加数列であることを示すために,次稿では階差数列に着目します.
 

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