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RE:2017年 早大・理工5番の一般化-3次巡回多項式(まとめ1)

 投稿者:南海  投稿日:2018年 1月28日(日)11時32分20秒
  [2]の必要条件ですが、
>3根はα,ψ(α),ψ(ψ(α)) と表され,ψ(ψ(ψ(x)))=x   ……(2.1)
などは、自明ではなく、既約性にもとづく証明が必要ではないでしょうか。
 

2017年 早大・理工5番の一般化-3次巡回多項式(まとめ3)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月27日(土)18時00分24秒
  [4]〈 Q(f,φ) の真理集合〉
(3.2) が既約であるとき,ψ(x)=(px-(p^{2}+pr+r^{2}))/(x+r) と f(x) の根 α に対し,
   φ(α)=ψ(α)   ……(4.1)
となるような2次多項式 φ(x) を求めると,
   φ(x)=(x^{2}+(a-r)x-ap-2(p^{2}+pr+r^{2}))/(p+r)   ……(4.2)
となる.P(f,ψ) が成り立つことと (4.1) により,Q(f,φ) が成り立つ.したがって,
「(3.2) が既約であるような a,p,r (p+r≠0) に対し,(3.2), (4.2) で与えられる (f,φ) の全体」
が,Q(f,φ) の真理集合である.

[5] 早大・理工5番の3次方程式に付随する2次多項式は x^{2}-2 だった.
(4.2) で表されるφ(x) が,このように「x の係数が0, x^{2} の係数が1」という単純な形になるための条件は
   a=r, p+r=1
である.このとき φ(x) は
   φ(x)=x^{2}-(r^{2}-r+2)
となり,φ(φ(φ(x)))-x を因数分解すると,
   φ(φ(φ(x)))-x=(φ(x)-x) f(x) g(x),
    f(x)=x^{3}+rx^{2}-(r^{2}-2r+3)x-r^{3}+2r^{2}-3r+1,
    g(x)=x^{3}+(1-r)x^{2}-(r^{2}+2)x+r^{3}-r^{2}+2r-1,
    D(g)=(p+r)^{2}(a^{2}+(p-5r)a+7p^{2}+11pr+13r^{2})^{2}
となるので,f(x), g(x) が既約であれば,Q(f,φ) とともに Q(g,φ) が成り立つ.
特に r=n(n は正整数)のとき,
   φ(x)=x^{2}-(n^{2}-n+2),                               ……(5.1)
    f(x)=x^{3}+nx^{2}-(n^{2}-2n+3)x-n^{3}+2n^{2}-3n+1,    ……(5.2)
    g(x)=x^{3}-(n-1)x^{2}-(n^{2}+2)x+n^{3}-n^{2}+2n-1     ……(5.3)
について,
    n が偶数なら f(x)≡x^{3}+x+1, g(x)≡x^{3}+x^{2}+1  (mod 2)
    n が奇数なら g(x)≡x^{3}+x+1, f(x)≡x^{3}+x^{2}+1  (mod 2)
であることにより,f(x), g(x) は Z/2Z 上既約なので Q上既約であり,
Q(f,φ), Q(g,φ) が成り立つ.以上により,
   φ(x)=x^{2}-m(m は正整数)
についてQ(f,φ) を満たす既約な3次多項式 f(x) が存在するためには,
「m=n^{2}-n+2(n は正整数)と表される」ことが必要十分であり,かつ
「Q(f,φ) を満たす既約な3次多項式 f(x) がちょうど2つ((5.2)と(5.3))存在する」
ことが示された.2017年と1997年の早大・理工入試問題は n=1 の場合に当たります.

【追記】長文の連続投稿,ご容赦ください.

 

2017年 早大・理工5番の一般化-3次巡回多項式(まとめ2)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月27日(土)17時55分10秒
  [3]〈 P(f,ψ) の真理集合〉
[2] に記したように,1次分数式 ψ(x) について,
「P(f,ψ) を満たす既約でモニックな3次多項式 f(x) が存在する」ためには,ψ(x) が
ψ(ψ(ψ(x)))=x を満たすことが必要である.そのような1次分数式 ψ(x) は
    ψ(x)=(px-(p^{2}+pr+r^{2}))/(x+r)  (p+r≠0)   ……(3.1)
と表される.この ψ(x) に対し,既約でモニックな3次多項式 f(x) が P(f,ψ) を満たすためには,
   f(x)=0 ⇒ f(ψ(x))=0
が成り立つこと,即ち「3次多項式 f(ψ(x))(x+r)^{3} が f(x) で割り切れる」ことが必要十分である.
これを満たす f(x) は
   f(x)=x^{3}+ax^{2}-(a(p-r)+3(p^{2}+pr+r^{2}))x+(p^{3}-r^{3}-apr)   ……(3.2)
と表される.判別式 D(f) は
   D(f)=(p+r)^{2}(a^{2}+3a(p-r)+9(p^{2}+pr+r^{2}))^{2}.
したがって,「(3.2) が既約であるような a,p,r (p+r≠0) に対し,(3.2), (3.1) で与えられる (f,ψ) の全体」
が,P(f,ψ) の真理集合である.

【付記1】(3.1), (3.2) と下記の (4.2) が今回の「成果」ですが,(3.2) が既約となる条件に触れないと
「砂上の楼閣」となりかねません.そこで,(3.2) が既約となるための十分条件を二つ挙げます.
・p,r が整数で偶奇が異なる場合には,a を偶数にとれば
     f(x)≡x^{3}+x+1 (mod 2)
  となり,これは Z/2Z 上既約なので,f(x) は Q上既約となる.
・p=0, r=1 とすると,ψ(x)=(-1)/(x+1), f(x)=x^{3}+ax^{2}+(a-3)x-1 となり,
  a が整数のとき f(x) は既約である.a=1 の場合が 2017年早大・理工5番の3次多項式です.

【付記2】(3.2) の3次多項式は,文字の置き換え p → -r, r → -p で不変です.一方,
    ψ^{2}(x)=ψ(ψ(x))=(-rx-(p^{2}+pr+r^{2}))/(x-p)
であるので,ψ^{2}(x) は,ψ(x) に上記の文字の置き換えを施して得られます.これは
   「P(f,ψ) が成り立てば P(f,ψ^{2}) も成り立つ」
という「自明」な命題の反映です.

【付記3】(3.2) を導く際に,数式処理ソフト(Derive6)の助けを借りました.
 

2017年 早大・理工5番の一般化-3次巡回多項式(まとめ1)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月27日(土)17時48分43秒
  2017年 早大・理工5番の3次方程式
   x^{3}+x^{2}-2x-1=0
は,1次分数関数 (-1)/(x+1) や2次関数 x^{2}-2 によって「解が巡回する」という性質を持ちます.
このような3次方程式とそれに付随する1次分数関数・2次関数の「一般形」について,年初に数回投稿
しました.それらをまとめ直しました.3回に分けて投稿します.
証明の詳細は省きますが,関心を持たれた方に検証して頂けるよう筋道を明記します.
ほぼ,高校数学の範囲内に収まる内容です.

[0],[1],[2] は準備です.[3],[4] で「一般形」に迫ります.
[5] では,2次関数 x^{2}-m(m は正整数)によって「解が巡回する」ような3次方程式が存在する
ためには,m=n(n-1)+2(n は正整数)と表されることが必要十分であることと,
これによって解が巡回する3次方程式がちょうど2個存在することを示します.

[0]〈はじめに〉
「3次方程式の解」ではなく「3次多項式の根」を用いて記述する.
多項式,1次分数式の係数は有理数とする.
多項式の「既約」は「有理数体上既約」の意味で用いる.
「モニックな多項式」は「最高次の係数が1の多項式」を意味する.
「1次分数式」は非退化なもの(1次式ではないもの)を指すとする.

[1]〈定式化〉
既約でモニックな3次多項式 f(x) と,1次分数式 ψ(x), 2次多項式 φ(x) について,
f(x), ψ(x) に関する条件 P(f,ψ) と f(x), φ(x) に関する条件 Q(f,φ) を次のように定める.
  P(f,ψ): αが f(x) の根ならば ψ(α) も f(x) の根である.
  Q(f,φ): αが f(x) の根ならば φ(α) も f(x) の根である.

既約でモニックな3次多項式 f(x) について,次の4つの条件は同値である.
     P(f,ψ) を満たす1次分数式 ψ(x) が存在する.
     Q(f,φ) を満たす2次多項式 φ(x) が存在する.
     f(x) の判別式が,ある有理数の平方に等しい.
     f(x) の Galois 群が,位数3の巡回群である.
この条件を満たす3次多項式を cyclic cubic polynomial(3次巡回多項式)と呼ぶ.

[2]〈必要条件〉
P(f,ψ) が成り立つならば,f(x) の任意の根αに対し f(x) の3根はα,ψ(α),ψ(ψ(α)) と表され,
     ψ(ψ(ψ(x)))=x   ……(2.1)
が成り立つ.

Q(f,φ) が成り立つならば,f(x) の任意の根αに対し f(x) の3根はα,φ(α),φ(φ(α)) と表され,
   φ(φ(φ(x)))-x は f(x) で割り切れる,即ち  φ(φ(φ(x)))≡x  (mod f(x))   ……(2.2)
が成り立つ.8次多項式 φ(φ(φ(x)))-x は常に2次多項式 φ(x)-x で割り切れるので,(2.2) は
   φ(φ(φ(x)))-x=(φ(x)-x)f(x)g(x) (g(x) は3次多項式) と分解される
ことを意味する.したがって,2次多項式 φ(x) に対し,
Q(f,φ) を満たす既約でモニックな3次多項式 f(x) は,高々2個である.
 

2005京大後期理系6番

 投稿者:IT  投稿日:2018年 1月26日(金)18時21分51秒
編集済
  >素晴らしいアイデアですね.当時,全く気づきませんでした.
> 私は次のように解答しました.
ありがとうございます。
この問題の解答としては、かたつむりさんの解法(南海先生の解4)が最も簡明だと思います。

f(x) の展開を使う方法は、表の出た100円の枚数>表の出た500円の枚数 となる確率なども求められる点がメリットだと思いますが、
 

2005京大後期理系6番

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月26日(金)14時15分57秒
  >f(x)={(1+1/x)^n}(1+x)^(n+1) を展開したときの係数を考える.
>x,x^2,x^3,...,x^(n+1)の係数の和をaとおくと、求める確率はa{(1/2)^(2n+1)}である。
素晴らしいアイデアですね.当時,全く気づきませんでした.
私は次のように解答しました.

表の出た100円玉の枚数を X, 表の出た500円玉の枚数を Y とおく.
どの硬貨についても,表・裏の出る確率が等しく 1/2 である場合,
問題文の「表」を「裏」と言い換えても確率は変わらないので,
 P(X<Y)=P(n-X<n+1-Y)=P(X>Y-1)=P(X≧Y)=1-P(X<Y)
となる.したがって,
 2 P(X<Y)=1, P(X<Y)=1/2.
 

[05京大後期理系]の別解

 投稿者:IT  投稿日:2018年 1月25日(木)20時30分22秒
  (別解研究)確率計算の方法 事象の分解[05京大後期理系]の別解を考えましたので投稿します。

(略解)南海先生の[解1]の計算を楽にしたものといえるかも知れません。
f(x)={(1+1/x)^n}(1+x)^(n+1) を展開したときの係数を考える.

x,x^2,x^3,...,x^(n+1)の係数の和をaとおくと、求める確率はa{(1/2)^(2n+1)}である。 (ここにもう少し説明が必要)

f(x)={(1/x)^n}(1+x)^(2n+1).

ここで,(1+x)^(2n+1)=∑[j=0,2n+1]C(2n+1,j)x^j なので,

a=∑[j=n+1,2n+1]C(2n+1,j)
=∑[j=0,n]C(2n+1,j)=(1/2)(1+1)^(2n+1)
=2^(2n).

よって求める確率は(2^2n){(1/2)^(2n+1)}=1/2.
 

確率統計について

 投稿者:とぅろふ  投稿日:2018年 1月17日(水)15時24分21秒
  以下の問題が分からないので教えていただけると幸いです。

高校生が1ヶ月に使う塾の金額について、公立高校の生徒10人と私立高校の生徒15人について調べたところ、平均は公立9980円、私立11050円であり、標準偏差は公立420円、私立490円であった。母分散はほぼ等しいとして、公立と私立で塾の金額に差があるかを有意水準1%で調べなさいという問題です。

よろしくお願いします。
 

2017年 早大・理工5番-3次巡回多項式

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月16日(火)19時31分49秒
  1月5日の投稿に
>x^3+ax^2-(a(p-r)-3q)x+(p^3-r^3-apr)=0.   (q=-(p^2+pr+r^2), p+r≠0) ・・・(★)
>これが「3次の巡回群をGalois群にもつ3次方程式」の一般形(の一つの形)である.
と書きましたが,重要な「但し書き」を付け忘れました.それは
  「ただし,f(x)=x^3+ax^2-(a(p-r)-3q)x+(p^3-r^3-apr) が既約である場合に限る.」
です.例えば,a=-1, p=2/7, r=4/7 とすると,
   f(x)=x^3-x^2-2x=x(x+1)(x-2)
となります.この場合にも,f(x) の根 0,-1,2 と ψ(x)=(2x-4)/(7x+4) に対し,
   ψ(0)=-1, ψ(-1)=2, ψ(2)=0
が成り立ち,これはこれでチョット面白いのですが,f(x) のGalois群は「自明な群」になります.
したがって,(★)から「既約性が保証される族」を抽出することに意味があるような気がします.
ただ,(★)から次のような定理を証明することができますし,(★)は有意義な結果であると思います.

・2次関数 φ(x)=x^{2}-m(mは正整数)について,既約な3次式 f(x) で
   f(x) の任意の根αに対し φ(α) がまた f(x) の根になる
 ようなものが存在するためには
    m=n^{2}-n+2 (nは正整数)
 と表されることが必要十分である.

・x^3-mx-1(mは整数)のGalois群が3次の巡回群になるのは m=3 のときに限る.

後者は http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/cubicquartic.pdf に
「It is a hard theorem」として証明なしで紹介されていました.

【追記1】「3次の巡回群をGalois群にもつ3次多項式」を指す用語として,一般に
  3次巡回多項式 (cyclic cubic polynomial)
が用いられるようです.

【追記2】近日中に,今回得られた結果を整理し,一つの投稿にまとめたいと思います.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年 1月13日(土)10時04分37秒
編集済
  本問は必要条件でp,qが一組になり、それが同時に十分でもあるので、問いの構造に対応させて解答をどのように書くかの問題ですが、難しいのは、1.でpやqが複数個得られるときです。あるいは、一組でもそれが十分性を満たさず、「p,qなし」が正解である場合です。これらの場合、結局2.のように十分性を確認して確定しなければなりません。

と言うことは、一組だけになる場合でも、かたつむりさんの言われますように、
>「入試の答案」という観点から離れ,数学的内容に焦点を当てるならば,
>問題文を「(*) を満たすための p,q の値を求めよ」と読み替えて考えるのが自然
だと言えます。

出題者が必要条件を求めよといっているのか、必要十分条件を求めよといっているのかは、よく読みはっきりさせるべきなのですが、出題者自身がどこまでそれを自覚しているかは、分かりません。
 

(無題)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月12日(金)09時34分21秒
  >というよりは、問題文の論理構造をつかもうと言うことです.
了解しました.

 

Re:2017年 早大・理工5番(1)-4

 投稿者:南海  投稿日:2018年 1月12日(金)08時53分41秒
  >入試の答案についての[注意]と推察致します.
というよりは、問題文の論理構造をつかもうと言うことです。

1.(*)が成立する。このとき p.qを求めよ。
2.(*)が成立するような p.qを求めよ。

は、やはり違う構造です。
 

2017年 早大・理工5番(1)-4

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月11日(木)17時35分24秒
編集済
  南海先生の解答の[注意]にある
「問題文が「(*)を満たすとする」とあるときは必要条件でよい」
は,入試の答案についての[注意]と推察致します.
「入試の答案」という観点から離れ,数学的内容に焦点を当てるならば,
問題文を「(*) を満たすための p,q の値を求めよ」と読み替えて考えるのが自然な気がします.
1月7日18時の投稿に記した(1)の解答方針は,そのような趣旨に基づいたものです.そこに記した [4] は
「3次の巡回群をGalois群にもつ3次方程式」の一般形---1月5日の投稿の(★)---を導く際にも役立ちました.

【付記】入試問題にも,「出題者任せ」にすると危ない次のような例があります.
〈2016年 奈良県立医大・前期10番〉
 一辺の長さが5である正三角形ABCとその外接円がある.
 図(略)のように,点Dを直線BCに関して点Aと異なる側で AD=6 となるように(外接円上に)とる.
 このとき,線分 BD+CD の長さを求めよ.  ---(外接円上に)の語句は,私が補いました.---

トレミーの定理を用いると
  BD・AC+CD・AB=AD・BC  により  BD+CD=AD=6
と,すぐに求まってしまいそうですが,実は
 「直線BCに関して点Aと異なる側で AD=6 となるような外接円上の点D」
は存在しません.当時話題になったかどうか知りませんが「見過ごせない出題ミス」です.

 

逆像法について

 投稿者:hakuto  投稿日:2018年 1月11日(木)10時47分10秒
  かたつむりさん
返信ありがとうございました。
 

逆像法について

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月10日(水)19時15分56秒
編集済
  良いと思いますが,気づいたことを少し記します.

>(x^2+y^2+2)/√(9x^2+9y^2)が-1以上1以下
を x^2+y^2 について整理すれば 1≦x^2+y^2≦4 となります.(省略されただけかもしれませんが)

>p(x,y)が求める軌跡上にある= x=cosθ/2+3cosθ'/2,y=sinθ/2+3sinθ'/2という条件を満たす…
最初の等号は ⇔ の書き間違いでしょうか.

>3cosθ'/2
という表記は 3cos(θ'/2) と受け取られる可能性があります.
(3cosθ')/2, あるいは (3/2)cosθ' と書く方が良いでしょう.

「逆像法」の学習として敢えてこの方法を用いたのかもしれませんが,いわゆる「順像法」でも易しく解答できます.
まず,ベクトルの1次結合として
 (x,y)=(1/2)(cosθ,sinθ)+(3/2)(cosθ',sinθ')
と表す.θ'を固定しθを動かすときの (x,y) の軌跡は
 点((3/2)cosθ',(3/2)sinθ') を中心とする半径 1/2 の円
である.これを C_{θ'} とすれば,求める軌跡は
 θ'を0以上2π未満の範囲で動かすときの円 C_{θ'} の和集合(円 C_{θ'} の通過範囲)
として求められる.
 

逆像法について

 投稿者:hakutoメール  投稿日:2018年 1月 9日(火)11時00分25秒
  先の問題の解答の続きについても間違ったところがあったら教えてください。
よって(x-3cosθ'/2)^2+(y-3sinθ'/2)^2=1/4という条件を満たす0以上2π未満のθ’が存在するようなxy平面上の点全体の集合が求める軌跡になる。
この式を変形すると3cosθ'X+3sinθ'Y-X^2-Y^2-2=0と変形され、X=Y=0はこの条件を満たさないのでX=Y=0はこれ以降除外して考える。sinα=3X/√(9x^2+9y^2)、cosα=3Y/√(9x^2+9y^2)と変形された三角関数の合成を考えると
sin(α+θ')=(x^2+y^2+2)/√(9x^2+9y^2)という条件を満たすような0以上2π未満のθ’が存在するようなxy平面上の点全体の集合を求めればよくこれは(x^2+y^2+2)/√(9x^2+9y^2)が-1以上1以下の範囲にあれば良いから答えは
(x^2+y^2+2)/√(9x^2+9y^2)が-1以上1以下の範囲にあるという条件を満たすようなxy平面上の点全体の集合である。
 

逆像法について

 投稿者:hakutoメール  投稿日:2018年 1月 9日(火)10時48分17秒
  すみません。  

逆像法について

 投稿者:hakutoメール  投稿日:2018年 1月 9日(火)10時42分52秒
  xy平面上に置いてθ、θ'が0以上2π未満の範囲を動いた時にM(x,y)=(cosθ/2+3cosθ'/2,sinθ/2+3sinθ'/2)という条件を満たす点全体の集合を求めよという問題で
p(x,y)が求める軌跡上にある= x=cosθ/2+3cosθ'/2,y=sinθ/2+3sinθ'/2という条件を満たす
0以上2π未満のθ、θ'が存在する = (x-3cosθ'/2)^2+(y-3sinθ'/2)^2=1/4という条件を満たす0以上2π未満のθ’が存在する。というふうに言ったのですが何かおかしいところがありましたら教えてください。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年 1月 8日(月)12時32分38秒
  いただいた指摘をもとに、解答を改訂しました。  

2017年 早大・理工5番(1)

 投稿者:IT  投稿日:2018年 1月 8日(月)08時12分8秒
編集済
  問題文には 「(ただし,p≠q,q≠0)」とあり、下記予備校の解答では、このことを使ってα≠-1,0 を導いています。
条件(*) からもα≠-1,0 が出てきますので、出題側のサービスということでしょうか?(解法によっては邪魔になる?)

また、数学が得意で厳密に考える受験生は、p,qが虚数の場合を考慮して、より難問になります。
虚数の場合は考えなくていいのなら「p,q は実数」と明記すべきと思いますがいかがでしょうか?
(予備校の解答では、p,qが虚数の場合を考慮してるものもありますね)

http://sokuho.yozemi.ac.jp/sokuho/s_mondaitokaitou/1/kaitou/kaitou/1281422_4426.html
 

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