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入試問題の紹介

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年10月11日(水)23時36分36秒
編集済
  人目に付かぬまま埋もれてしまいそうな,今年の入試問題の傑作を紹介します.
1次元ランダムウォークの話題です.

【2017年 昭和大・医 2番】(問題文を一部書き換えて記します.)
表・裏の出る確率が等しい硬貨を繰り返し振る.確率変数 X_{i} (i=1,2,...) を,
  i回目に表が出たら X_{i}=1, i回目に裏が出たら X_{i}=-1
と定め,Z_{0}=0, Z_{n}=Σ_{i=1}^{n} X_{i} とする.さらに,
  M_{n}=max_{0≦i≦n} Z_{i}, T_{n}=#{i | 1≦i≦n, (Z_{i-1},Z_{i})=(0,1) or (Z_{i-1},Z_{i})=(1,0)}
によって,確率変数 M_{n}, T_{n} (n=1,2,...) を定める.
 (1) P(M_{4}=k) (0≦k≦4) を求めよ. (2) P(T_{4}=k) (0≦k≦4) を求めよ.
  (3) P(M_{5}=k) と P(T_{5}=k) の間に成り立つ関係を求めよ.

入試問題の解答としては,(3) では,32個の根元事象について M_{5},T_{5} の値を
求めれば済みますが,一般化した問
 (4)  P(M_{n}=k) と P(T_{n}=k) の関係を調べよ.
は,(おそらく)京大特色入試レベルの難問になります.
結果は驚くべきもので,解決した後も不思議な感じが消えません.

M_{n} は,ランダムウォークを扱う書物に(必ず)載っている標準的な話題ですが,
T_{n} は,この入試問題で初めて目にしました.
T_{n} について,背景とか,何か御存知の方がいたら教えてください.

追記:集合Aに対し,#A は「Aの要素の個数」を表す.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年10月 6日(金)14時49分1秒
編集済
  ごめんなさい。こちらでもやってみたら、UPしたファイルに対して、このhtmlファイルにはMathJaxの諸々が埋め込まれていて、ここからTeXを取り出すのはたいへんです。  

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年10月 5日(木)17時02分19秒
  下記のHTMLファイルは,TEXがそのまま入っているので,保存して必要なところを取り出せば,打ち直さなくてもいいのですよ.HTML用に半角アキがたくさん入っているのでそれを取り除くだけで使えます.  

平均値の定理?

 投稿者:Jukensha  投稿日:2017年10月 3日(火)18時07分26秒
  ありがとうございました。さっそくTEXに打ち直しました。感謝です.  

98京大後期

 投稿者:南海  投稿日:2017年 9月29日(金)23時03分47秒
編集済
  入力したものがあったので,上げておきました.
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/20c/98ka204.htm
 

平均値の定理?

 投稿者:Jukensha  投稿日:2017年 9月28日(木)16時25分49秒
  すばやいお返事ありがとうございました。自分でも解決しました.a_n \cos a_n が\to \inftyであることをしめすところで詰まったのですが、g(x)=x \cos xを考え、g''(x)まで考えて証明でき、挟み撃ちの原理で解決できました。ですが
南海氏の解法のほうがわかりやすく、簡潔で良いと思います。1998年京都大学後期の問題をさがしていますが、まだ見つかりません。問題文だけでもここにのせてもらえる人がいればお願いします.
 

平均値の定理?

 投稿者:南海  投稿日:2017年 9月27日(水)09時03分29秒
編集済
  平均値の定理の定理もありかもしれませんが、もっと簡単に。

b_n=a_n-2nπ とおく。a_n=b_n+2nπで0 \le b_n \le π/2 。
f(a_n)=0より(b_n+2nπ) \sin(b_n+2nπ)  - \cos(b_n+2nπ) =(b_n+2nπ) \sinb_n-\cosb_n=0。
つまり\sinb_n=\cosb_n/(b_n+2nπ) .これより\lim _{n \to \infty}\sinb_n=0。
b_nの範囲を考え\sin の連続性から\lim _{n \to \infty}b_n=0。

なお京大98年後期に類題があります。
 

平均値の定理?

 投稿者:Jukensha  投稿日:2017年 9月25日(月)19時08分8秒
  ~関数$f(x)$を$f(x)=x \sin x - \cos x$で定める。また、$n$を正整数とする。\\
(1)~$\displaystyle 2n \pi \leqq x \leqq 2n \pi + \frac{\pi}{2}$の範囲において、$f(x)=0$となる
$x$がただ1つ存在することを示せ。\\
(2)~(1)での$f(x)=0$となる$x$の値を$a_n$とする$\displaystyle \left( 2n \pi \leqq a_n \leqq 2n \pi + \frac{\pi}{2}\right)$。
このとき、$\displaystyle \lim _{n \to \infty} (a_n -2n \pi)=0$であることを示せ。
(1)はわかるのですが、(2)の半分ができません。解法は平均値の定理で考えました。(2)の解答をお願いします。
 

可測関数の同値関係

 投稿者:Imogene  投稿日:2017年 8月20日(日)09時40分55秒
  宜しくお願い致します。

(Ω,Σ,μ)と(R,L(R),λ)を測度空間とします(Rは実数体,L(R)はルベーグσ集合体,λはルベーグ測度)。
この時,
(ア)「f:Ω→Rが可測関数

f^-1(E)∈Σ for∀E∈L(R)」
が可測関数の定義ですよね。
でも
(イ)「f:Ω→Rが可測関数

f^-1((r,+∞))∈Σ for∀r∈R」
も可測関数の定義となってます。

(ア)と(イ)が同値であることはどうすれば示せるのでしょうか?
 

整式について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 8月15日(火)00時45分58秒
  L(x)は、P(x)+Q(x)と共通因数G(x)をもつ。と、L(x)とP(x)+Q(x)は共通因数G(x)をもつ。の違いがわかりません。教えていただけると幸いです。
同じである理由を教えていただけると幸いです。
 

確率について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 8月15日(火)00時37分26秒
  1から1000まで書かれたカードが1枚ずつあります。
その中から無作為に2枚同時に引き、大きい方の数をP、小さいほうの数をQ
とするとき、
log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log103
となる確率を求めたいのですが、どこから手をつけてよいのか分かりません。
教えていただけると助かります。
 

確率について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 8月15日(火)00時36分32秒
  1から1000まで書かれたカードが1枚ずつあります。
その中から無作為に2枚同時に引き、大きい方の数をP、小さいほうの数をQ
とするとき、
log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log103
となる確率を求めたいのですが、どこから手をつけてよいのか分かりません。
教えていただけると幸いです。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 8月14日(月)23時50分22秒
  ご指摘ありがとうございます。
直しておきました。
 

95京大後期理系5番の解答

 投稿者:IT  投稿日:2017年 8月14日(月)20時22分7秒
  95京大後期理系5番の解答の(1)の最後の行の末尾の q[1]=3/4 は、q[2]=3/4 の誤植ではないでしょうか?  

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月21日(金)17時31分25秒
  ご指摘ありがとうございます.
直しておきました.
 

積分可能性

 投稿者:gulse  投稿日:2017年 7月20日(木)18時15分30秒
  積分可能というページの積分可能性の条件に関して、「整数ε」→「正数ε」だと思われます。  

(無題)

 投稿者:Qwenthur  投稿日:2017年 7月 5日(水)09時33分26秒
  危ない危ない。自作のヒントを自ら投下してしまうところでしたよ。
そもそもの問題が成立するのか、というところから始めないといけないあたり、一般の大学受験生からすると難しい部類にはなるのでしょうか?
問題文をそのまま受け取れないところもポイント高いw
 

(無題)

 投稿者:Qwenthur  投稿日:2017年 7月 5日(水)09時23分29秒
編集済
  南海先生の単純化された問題に対しては、
(言ってはいけないことを言ってしまった気がしたので削除しました)
という結果が出た気がします
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月 5日(水)09時05分35秒
  単順化して次のような問題もあります。
3実数a,b,cが ab+bc+ca=a+b+c>0 を満たしている時,a+b+c の最小値はいくらか。
 

Re: 自作問題の訂正内容

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月 2日(日)08時45分45秒
編集済
  g(a,b)=[a^6 / {(b-c)^2+8}] + [b^6 / {(c-a)^2+8}] + [c^6 / {(a-b)^2+8}] + [6 / {3(a+b+c)-1}]
としても,a=b=c=1のとき∂g/∂a=0です。同様に∂g/∂b=0もわかりa=b=c=1のとき,最小値が9/8ですか。
こちらが何か思い違いをしているかもしれませんが。

もとの問題の方が最小値1できれいかもしれません。誤植のお陰で新しい問題ができた!
いずれにしても,まず解析方法を仕上げること,つまり∂^2g/∂a^2>0などをしめすことと,他に代数的な解法があるはずで,それも考えてみます。
 

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