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p進数

 投稿者:  投稿日:2019年 8月21日(水)11時41分15秒
  第二の証明も読ませていただきました。
私には、第二の証明のほうがよく理解ができました。
(2.8)もうまく使われ自然に頭に入ってきました。

かたつむりさん、重ね重ね、ありがとうございました。
ヒルベルトの記号の際にもP58に

特別な工夫なしに得られる。

とか、今回の場合でも

証明は省略する。

とか、

ある意味、先ほどの「そういうレベルの本」であることにわたしは
非常にむつかしさを覚えます。
 

p進数

 投稿者:  投稿日:2019年 8月21日(水)10時31分35秒
  かたつむりさん、丁寧に書いていただいてありがとうございます。
証明1は今理解させていただきましたが、aが0でないことを

次の条件をみたす正整数μが存在する。
任意の正整数Nに対し、n≧Nかつordp(Xn)≦μ
をみたすnが存在する。

と書かれたものが理解できませんでしたが、ordp(0)=∞と見比べることでわかりました。
証明2についても、じっくりと読ませていただきます。
 

数論(岩波)§2.4 p進数体 p.69 7-8行目【証明2】

 投稿者:かたつむり  投稿日:2019年 8月21日(水)09時56分26秒
  ここでは,背理法を用いた証明を記します.

Q_{p} の元 a(≠0) に対し,類 a(≠0) に属する有理数のp進Cauchy列 (x_{n}) を考える.
いま「n≧N において ord_{p}(x_{n}) は一定」となる N が存在しないと仮定する.

(x_{n}) はp進Cauchy列なので,任意の正整数μに対し,ある正整数 N が存在し,
  m,n≧N ⇒ ord_{p}(x_{n}-x_{m})>μ
が成立する.
上記の仮定により,任意の n(≧N) に対し,ord_{p}(x_{n})≠ord_{p}(x_{m}) を満たす m が存在するので,
  μ<ord_{p}(x_{n}-x_{m})=min(ord_{p}(x_{n}),ord_{p}(x_{m}))≦ord_{p}(x_{n})
となる.つまり,任意の正整数μに対し,ある正整数 N が存在し
 n≧N ⇒ ord_{p}(x_{n})>μ
が成立する.
これは lim_{n→∞}ord_{p}(x_{n})=∞, 即ち (x_{n}) の属する類が 0 であることを意味し,a≠0 と矛盾する.

したがって,最初の仮定は棄却され,「n≧N において ord_{p}(x_{n}) は一定」となる N が存在する.

※ 南海先生.もし,ミス等,お気づきの点がありましたら,御指摘をお願いします.
 

数論(岩波)§2.4 p進数体 p.69 7-8行目【証明1】

 投稿者:かたつむり  投稿日:2019年 8月21日(水)09時49分47秒
  p.69 7-8行目の命題の証明を2通り記しておきます.
難しいと感じられるかもしれませんが,著者は,読者がこの命題を自力で証明することを想定しています.
本書は「そういうレベルの本」であるということです.

Q_{p} の元 a(≠0) に対し,類 a(≠0) に属する有理数のp進Cauchy列 (x_{n}) を考える.
a≠0 により,次の条件を満たす正整数μが存在する:
 任意の正整数 N に対し,n≧N かつ ord_{p}(x_{n})≦μ を満たす n が存在する.

一方,(x_{n}) はp進Cauchy列なので,上記のμに対し,ある正整数 N が存在し,
  m,n≧N ⇒ ord_{p}(x_{n}-x_{m})>μ
が成立する.
以上の手順で定めたμ,N に対し,
  m≧N かつ ord_{p}(x_{m})≦μ
を満たす m が存在するので,それを1つ固定する.

これでμ,N,m が定まった.このとき,任意の n(≧N) について,
 ord_{p}(x_{n})=ord_{p}((x_{n}-x_{m})+x_{m})=min(ord_{p}(x_{n}-x_{m}),ord_{p}(x_{m})).
ここで,
 ord_{p}(x_{m})≦μ<ord_{p}(x_{n}-x_{m})
であるから,
 ord_{p}(x_{n})=ord_{p}(x_{m}).
つまり,n≧N において ord_{p}(x_{n}) は一定である.
 

p進数

 投稿者:  投稿日:2019年 8月21日(水)09時26分10秒
  書いていただいたものを、ひとつひとつ自分でも
紙に書いて理解していくうち
もやもやしていたものスッキリしてきました。
εーδ論法でうまく書かれていてよくわかりました。ありがとうございました。
 

p進数

 投稿者:  投稿日:2019年 8月20日(火)11時20分1秒
  問7書いていただいたものを考えてみます。
くわしく、書いていただきましてありがとうございます。
今しばらく、時間をください。
 

数論(岩波)§2.4 p進数体 p.65 問7

 投稿者:かたつむり  投稿日:2019年 8月20日(火)09時35分41秒
編集済
  Σ_{i=0}^{∞} 6×(-5)^{i}=1 (5進的に) を ord_{5}( ) を用いて表せば,
   m→∞ のとき ord_{5}(Σ_{i=0}^{m}6×(-5)^{i}-1)→∞
となる.これを「ε-δ論法」で書くと,
 「任意の正整数 n に対し,ある正整数 N が存在し,
  m≧N ⇒ ord_{5}(Σ_{i=0}^{m}6×(-5)^{i}-1)>n … ★
  が成立する」
となる.★ は
  Σ_{i=0}^{m}6×(-5)^{i}-1≡0 (mod 5^{n+1})
を意味するので,
  m≧N ⇒ Σ_{i=0}^{m} 6×(-5)^{i}≡1  (mod 5^{n})
が成立する.

【追記】ここで,m≧n なる m を採れば,
   Σ_{i=0}^{m} 6×(-5)^{i}≡Σ_{i=0}^{n-1} 6×(-5)^{i}  (mod 5^{n})
であるから,
   Σ_{i=0}^{n-1} 6×(-5)^{i}≡1  (mod 5^{n}).

【補足】「1-5+5^{2}- … +(-5)^{n-1} が Z/5^{n}Z で6の逆元である」ことを確かめるだけなら,(2.9) を経由せずに直接
  6(1-5+5^{2}- … +(-5)^{n-1})=1-(-5)^{n}≡1  (mod 5^{n})
とすれば良い.
 

p進数

 投稿者:  投稿日:2019年 8月19日(月)22時57分42秒
編集済
  ?は属するの記号が変換されていません。
すみません
 

p進体

 投稿者:  投稿日:2019年 8月19日(月)18時38分59秒
  かたつむりさん、ありがとうございます。

①については、あまりにQp?a(0でない)が抽象的で
わかりにくいのです。

②についても、自明と言われても
そう、納得しなければいけないのかなー
という感じなのです。
 

数論(岩波)§2.4 p進数体

 投稿者:かたつむり  投稿日:2019年 8月19日(月)12時56分0秒
編集済
  久しぶりにこちらの掲示板を訪れました.

《p.69 7-8行目》
>まず、(Xn)~a=(An) (同じ類とする)とすると
と書かれていますが,この方針では解決できません.意味を取り違えていませんか.
7-8行目は,類 a(≠0) に属する“1つの”有理数のp進Cauchy列 (x_{n}) に関する文です.

a≠0 を ord_{p}(x_{n}) で言い表すことと,
 (2.8) ord_{p}(x)≠ord_{p}(y) ならば ord_{p}(x+y)=min(ord_{p}(x),ord_{p}(y))
を生かすことが解決の鍵になります.

7-8行目の文の“一定値”が代表元 (x_{n}) のとり方によらないことを確認するのは,次の段階(10-11行目)です.
こちらの証明は簡単です.

《p.65 問7》
等式 Σ_{i=0}^{∞} 6×(-5)^{i}=1(5進的に) について,その定義を ord_{5}( ) を用いて言い表せば,これが
 任意のnに対し,m が十分大なら Σ_{i=0}^{m} 6×(-5)^{i}≡1  mod 5^{n}
を意味することが直ちに分かるはずです.自明と言っても良いでしょう.
 

p進数

 投稿者:  投稿日:2019年 8月15日(木)11時36分29秒
  数論(加藤和也)
 ② P65問7の解答について

なぜ1-5+5^2-・・・+(-5)^(n-1)がZ/5^nZで6の逆元であるかを、式(2.9)
をもとに説明せよ。

本の後ろに書いてある説明

(2.9)Σ(-5)^i=1/6(5進的に)
   (i=0から∞)

⇔ Σ6×(-5)^i=1 (5進的に)
 (i=0から∞)

これは、mが十分大なら

  Σ6×(-5)^i≡1 mod 5^n
  (i=0からm)

この説明の最初の2行、すなわち6で分母を払ったところは理解できるが
mが十分大なら・・・がわからない。
どう考えればいいのか教えてください。

 

p進数

 投稿者:  投稿日:2019年 8月15日(木)10時52分28秒
  数論(加藤和也)
 ① P69における7~8行目

aが0でないとき、有理数のp進Cauchy列(Xn)n≧1でその類がaであるものを
とると、十分大きいnについてordp(Xn)が一定である。

これは、どのようにして示されるのでしょうか?

自分なりに考えてみました。
まず、(Xn)~a=(An) (同じ類とする)とすると
どんな正の有理数εをとっても、ある番号Nがとれて
n≧Nなら |Xn-An|p<ε で
(Xn)は、p進Cauchy列であるから、ある番号Mがとれて
m,n≧Mなら|XmーXn|p<ε

Max(M,N)=Lとおくと、m,n≧Lのとき

|Xm-An|p≦|XmーXn|p+|XnーAn|p<2ε

この後がわかりません。
 

数論 加藤和也

 投稿者:  投稿日:2019年 7月22日(月)22時50分19秒
  南海先生、考える糸口を作ってくださり
ありがとうございました。

ある程度書いていただくと指針が見えてきて自分でもできます。
しかし、最初に書いていただくことが、自分自身でできなくてはいけませんね。

人に、書いていただくとなるほどと思うのですが、・・・
まだまだ、私には勉強が必要なようです。

つまずいているところを助けていただきありがとうございました。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2019年 7月22日(月)21時47分41秒
  そのとおりです。最初の私の方がまちがっていました。
訂正の方が愛さんと同じ結果になります。
 

数論 加藤和也

 投稿者:  投稿日:2019年 7月22日(月)16時39分31秒
  南海先が書いていただいたものをじっくりと読ませていただきました。
後半は、理解できるのですが、前半の有限群の部分ですが

A/2Aの要素の個数は x1mod2A,x2mod2A,・・・,x nmod2Aから異なる2個を選んだ和の個数nC2
を超えることはない。が今一つ理解できません。

先に書いていただいている 2xi mod2A=0なので、それぞれの生成元の位数が最大でも2
であるので

A/2Aの位数は、2^nを超えないとなるのではないでしょうか。
したがって、有限群である。

私の考え方は、間違っているでしょうか?
 

訂正

 投稿者:南海  投稿日:2019年 7月22日(月)16時23分13秒
  x_1mod2A,x_2mod2A,…,x_nmod2Aから異なる2個を選んだ和の個数 nC2 を越えることはない。

x_1mod2A,x_2mod2A,…,x_nmod2Aから異なるk(k=0,1,…,n)個を選ぶ選び方は 2^n 個あり,
選んだものの和が A/2A なので, A/2A の要素の個数は2^n 以下である
に訂正します。
 

数論 加藤和也

 投稿者:  投稿日:2019年 7月22日(月)07時35分5秒
  南海先生ありがとうございます。
書いていただいたものを考えてみます。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2019年 7月21日(日)21時22分20秒
編集済
  Aが有限生成とする。生成元をx_1,x_2,…,x_n とすると、A/2Aは x_1mod2A,x_2mod2A,…,x_nmod2A で生成される.。
2x_j mod2A=0 なので、A/2Aの要素の個数は x_1mod2A,x_2mod2A,…,x_nmod2Aから異なる2個を選んだ和の個数 nC2 を越えることはない。よって有限群である。

A=Q(加法群)のとき、2Q=Q なのでQ/2Q={0mod2Q}単位元のみの群であるが、Qは加法群として有限生成ではない。
 

数論 加藤和也

 投稿者:  投稿日:2019年 7月19日(金)21時07分40秒
  P34 問4
Aをアーベル群とする。Aが有限生成ならA/2Aは有限群であること、しかし、
A/2Aが有限であるからといってAが有限生成であるとは限らないことを示せ。

まず、前半の証明がわかりません。後半の反例として章末解答に書いてあるものに
A=Qとあります。これは、Q/2Qの任意の元を(s/tの類)=(2・(s/2t)の類)
かけるので=0の類

となるので、Q/2Q={0}という理解で正しいのでしょうか?
 

本のお知らせ

 投稿者:おぽかたぱるこメール  投稿日:2019年 7月 3日(水)10時10分25秒
  満州先生の新著が出ました。

「相対性理論はペテンである/無限小数は数ではない」
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