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問題投稿

 投稿者:Y.Y.  投稿日:2019年 3月 2日(土)22時24分23秒
編集済
  初投稿です。高校数学で素数を扱う問題は1パターンなので、そのパターンとは離れつつも高校数学内で解ける問題を作りましたので、よろしくお願いします。

nを正の整数とする。数列{a_n}を a_1 =3 , a_n = a_n-1 +3-(-1)^n と、また数列{p_n}を、素数を小さいほうから順に並べた数列と定める。
b_n = a_n / p_n と定める。b_1 * b_2 * b_3 * … * b_n-1 * b_n がとりうる最大値となるとき、その値を求め、またその時のnの値を全て求めよ。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2019年 3月 2日(土)08時15分3秒
編集済
  ご指摘ありがとうございます.因数分解を間違えました.
直しておきました.
 

東大理系第6問

 投稿者:pass by  投稿日:2019年 3月 1日(金)09時05分28秒
  僭越ながら、(3)の回答にある、因数分解では
f(z)=(z^2-a)(z^2-2z+a)とありますが、
\alpha+\overline(\alpha)=0の場合、|α|^2=aであり、
β+γ=0の場合、βγ=aなので、いずれも
f(z)=(z^2+a)(z^2-2z-a)でないとならないと思いますが。
 

ある三角形の面積の最大値-2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2019年 2月26日(火)14時03分49秒
編集済
  >ここでf'(θ)=0 ではありますが,aが小さくαが大きいとき,極大といえるのはなぜでしょうか。

0<a<r, 即ち π/2<2α<π のとき,F(θ)=sin(2θ-2α) は,
 0≦θ≦α+π/4 で増加し, F(0)=-2ar/(a^2+r^2)<ar/(a^2+r^2)<F(α+π/4)=1,
  α+π/4≦θ≦2α で減少し,F(α+π/4)=1>F(2α)=sin(2α)=2ar/(a^2+r^2)>ar/(a^2+r^2)
となります.したがって,この場合も,a≧r の場合と同様に,f'(θ) の符号は,
sin(2θ-2α)=ar/(a^2+r^2) を満たすθの値(それはただ一つ,a<rの場合には区間 0<θ<α+π/4 に存在)
を境にして正から負に変化します.

先の投稿はこれを踏まえたものですが,一言触れておくべきでした.重要な論点なので.

 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2019年 2月26日(火)11時51分26秒
編集済
  かたつむりさま

前の投稿で
>θの変域は 0<θ<2α なので,f(θ) はsin(2θ-2α)=ar/(a^2+r^2)=(1/2)sin(2α)のとき最大となります.
とあるのですが,ここでf'(θ)=0 ではありますが,aが小さくαが大きいとき,極大といえるのはなぜでしょうか。
a→∞ を考えるときは,-π/2<2θ-2α<π/2で考えれば良いのですが。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2019年 2月18日(月)18時35分7秒
  エスプリーナさま

良い問題をありがとうございます。
もう一つの接点をR,QRとPAの交点をSとすると,1/PA+1/PB=2/PSです。
これを用いて面積を求めることもできました。
かたつむりさんの
>∠OPQ=α とおくと,cos(2α)=(a^2-r^2)/(a^2+r^2), sin(2α)=2ar/(a^2+r^2)
をその過程で使いました。

また,座標で考えることもできました。まだいろいろ面白い性質がありそうです。
 

訂正

 投稿者:かたつむり  投稿日:2019年 2月17日(日)19時17分59秒
  【追記】の3行目の右辺を書き間違えました.次のように訂正します:
 (Sの最大値)^2=(27/4)a^6 r^4/{((a^2-r^2)+sqrt{a^4+a^2 r^2+r^4})((a^4+4a^2 r^2+r^4)+(a^2-r^2)sqrt{a^4+a^2 r^2+r^4})}

とても良い問題だと思います.受験生にもお勧めです.
 

ある三角形の面積の最大値

 投稿者:かたつむり  投稿日:2019年 2月14日(木)08時45分17秒
編集済
  標準的な方法で答えられます.概略を記します.まず,
  (S/a)^2=2ar cos(θ)(sin(θ))^3-(a^2-r^2)(sin(θ))^4
         =(ar)sin(2θ)(1-cos(2θ))/2-(a^2-r^2)(1-cos(2θ))^2/4
と表されます.これを f(θ)とおくと
 f'(θ)=・・・=(1-cos(2θ))(ar+2ar cos(2θ)-(a^2-r^2)sin(2θ))
となります.ここで,∠OPQ=α とおくと,
 cos(2α)=(a^2-r^2)/(a^2+r^2), sin(2α)=2ar/(a^2+r^2)
であるので,
   f'(θ)=(a^2+r^2)(1-cos(2θ))(ar/(a^2+r^2)-sin(2θ-2α))
と表されます.θの変域は 0<θ<2α なので,f(θ) は
  sin(2θ-2α)=ar/(a^2+r^2)=(1/2)sin(2α)
のとき最大となります.ここに,∠OPQ が現れたことを面白く感じました.
以上の結果から,S の最大値を a,r で表すことができます.

【追記】
S の最大値を具体的に表すことは面倒なだけで数学的意義は小さいと思っていたのですが,
その表現を
  (Sの最大値)^2=(27/4)a^6 r^4/{((a^2-r^2)+sqrt{a^4+a^2+r^4})((a^4+4a^2r^2+r^4)+(a^2-r^2)sqrt{a^4+a^2+r^4})}
と書き換えることにより,次のことを導けました:
 r を固定し a→∞ とすると,S の最大値は (3 sqrt{3}/4)r^2 に収束する.
この極限値は「円に内接する正三角形の面積」に等しく,予想通りとは言え,なかなか良い結果だと思います.

【追記2】r を固定するとき,S の最大値は a の関数として単調に増加します.
 

円に内接する三角形の面積の最大値

 投稿者:エスプリーナ  投稿日:2019年 2月13日(水)07時12分2秒
  下記の図形の問題を考えて見ました。
数値解法しか無理でしょうか?
何かうまい方法がわかる方いらっしゃいませんか?

半径rの円Oと、円Oの外部に定点Pがある。点Pから円Oにひいた
接線の交点をQとし、点Pから円に向かって異なる2点で
交わるように直線をひき、その2つの交点を
点Pから遠い順にA、Bとする。角度APQ=θ、PQ=aとするとき、
△ABQの面積Sの最大値をr、aを用いて表したい。

Sをr、aを用いて表すことができましたが、
微分すると複雑になりすぎて失敗しました。
 

(無題)

 投稿者:ファーマー  投稿日:2019年 2月11日(月)11時18分33秒
  南海さま

>θは2π周期でどれでも良いですね。
やはりそうなんですね、
早とちりではないかと少し不安だったので安心しました。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2019年 2月10日(日)08時35分20秒
編集済
  かたつむりさん
>arg(z^m) ではなく Arg(z^m) についてのコメントになっていないでしょうか?
そうでした。

ファーマーさん
>そもそも複素数zには特定の偏角の値が存在しない
ですね。原点以外の点の位置を(rcosθ,rsinθ) r>0と表すとして,θは2π周期でどれでも良いですね。これと同じです。
 

(無題)

 投稿者:ファーマー  投稿日:2019年 2月 8日(金)21時18分31秒
  かたつむりさま
>ここで,l は「特定の整数」ではありません.
わかってきました。

そもそも複素数zには特定の偏角の値が存在しないということでしょうか?
「2πの整数倍を加えるだけの不定性」はどんな複素数の偏角にも存在しているんですか。
z^α のαが整数mであろうが有理数であろうが何であろうが
不定性が存在するということですね。z^α = z'なんだから。
スッキリ分かった気がします。
mod 2π、考えてみれば当たり前みたいです。


ありがとうございました!
 

複素数の偏角:2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2019年 2月 8日(金)19時52分59秒
編集済
  一つの複素数 z^m=|z|^m exp(i m Arg(z)) に対し,その偏角 arg(z^m) は
「2πの整数倍を加えるだけの不定性を除いて(つまり mod 2π で)定まる」
ものです.いま z^m について,その偏角を代表する実数値の一つが m Arg(z) であるので,
 arg(z^m)=m Arg(z)+2πl  (l は整数)
と表されます.ここで,l は「特定の整数」ではありません.
 

(無題)

 投稿者:ファーマー  投稿日:2019年 2月 8日(金)17時56分25秒
編集済
  南海さま、かたつむりさま、ありがとうございます。


>つまり,arg(z^m) = mArg(z) + 2πl の意味は,lはどれでもよいということではなく,Arg の決め方から定まるいずれかの整数ということではないでしょうか。

(18)の式の少し下にある
e^(2πinm) = cos(2πnm)+isin(2πnm) = 1
の n というのが「決め方から定まるいずれかの整数」であって、
(18)の式と上記の式を合わせると、それが消える(1倍)ものだと思っていました。
l≠n ということですか?
かりにそれに加えて l を定めたとしても偏角に
2πの整数倍(360°= 0°)を足すだけなので
nと同じように消えるから意味がないような。。
 

複素数の偏角

 投稿者:かたつむり  投稿日:2019年 2月 8日(金)14時01分7秒
  南海先生の
>arg(z^m)は あるlを用いて,mArg(z) + 2πl となります。
>つまり,arg(z^m) = mArg(z) + 2πl の意味は,lはどれでもよいということではなく,
>Arg の決め方から定まるいずれかの整数ということではないでしょうか。
は,arg(z^m) ではなく Arg(z^m) についてのコメントになっていないでしょうか?
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2019年 2月 8日(金)07時35分45秒
  もともと主値の範囲を適当に選んだものがArg(z)で,この「適当」という意味は2π幅の自由さがあるということです。

(20)の直前の式は z^m=(z^m){cos mArg(z)+isin mArg(z)}ですから,これからはarg(z^m)は あるlを用いて,mArg(z) + 2πl となります。

つまり,arg(z^m) = mArg(z) + 2πl の意味は,lはどれでもよいということではなく,Arg の決め方から定まるいずれかの整数ということではないでしょうか。
 

複素数のベキ関数の偏角について

 投稿者:ファーマー  投稿日:2019年 2月 6日(水)18時39分27秒
  こんばんは。
ttp://www.eng.niigata-u.ac.jp/~nomoto/2.html
のページをみて複素数について勉強しています。
複素数のベキ関数の指数が、整数(m)のときについての質問です。

ページ中の"式(20)"の
arg(z^m) = mArg(z) + 2πl (l=0,±1,±2,...)
という式の 2πl がなぜあるのかが理解できません。

z^m = |z|^m・e^(imArg(z)) の「imArg(z)」が
仮に「imarg(z)」ならば
arg(z^m) = mArg(z) + 2πl (l=0,±1,±2,...)となるだろうと思います。
不定性は式(18)で分離され、消されていると思うのですが。。

なぜ2πlが出てくるのか、
ご教授よろしくお願いします。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2019年 1月 6日(日)22時59分18秒
  ポストさん,条件書き忘れていませんか。  

RE:あ さん

 投稿者:IT  投稿日:2019年 1月 5日(土)17時12分55秒
  >  f(x)=x^3+x^2-x+1,g(x)=x^3-x^2+x+1とするとf(x)=0,g(x)=0の実数解をそれぞれα,βとする 積αβの値を求めよ
下記に解答が付いてます。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=55853
 

(無題)

 投稿者:ポスト  投稿日:2019年 1月 4日(金)23時55分6秒
  tan(A/2)tan(B+C)/2=1
の証明を教えてください
 

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