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ある三角形の面積の最大値

 投稿者:かたつむり  投稿日:2019年 2月14日(木)08時45分17秒
編集済
  標準的な方法で答えられます.概略を記します.まず,
  (S/a)^2=2ar cos(θ)(sin(θ))^3-(a^2-r^2)(sin(θ))^4
         =(ar)sin(2θ)(1-cos(2θ))/2-(a^2-r^2)(1-cos(2θ))^2/4
と表されます.これを f(θ)とおくと
 f'(θ)=・・・=(1-cos(2θ))(ar+2ar cos(2θ)-(a^2-r^2)sin(2θ))
となります.ここで,∠OPQ=α とおくと,
 cos(2α)=(a^2-r^2)/(a^2+r^2), sin(2α)=2ar/(a^2+r^2)
であるので,
   f'(θ)=(a^2+r^2)(1-cos(2θ))(ar/(a^2+r^2)-sin(2θ-2α))
と表されます.θの変域は 0<θ<2α なので,f(θ) は
  sin(2θ-2α)=ar/(a^2+r^2)=(1/2)sin(2α)
のとき最大となります.ここに,∠OPQ が現れたことを面白く感じました.
以上の結果から,S の最大値を a,r で表すことができます.

【追記】
S の最大値を具体的に表すことは面倒なだけで数学的意義は小さいと思っていたのですが,
その表現を
  (Sの最大値)^2=(27/4)a^6 r^4/{((a^2-r^2)+sqrt{a^4+a^2+r^4})((a^4+4a^2r^2+r^4)+(a^2-r^2)sqrt{a^4+a^2+r^4})}
と書き換えることにより,次のことを導けました:
 r を固定し a→∞ とすると,S の最大値は (3 sqrt{3}/4)r^2 に収束する.
この極限値は「円に内接する正三角形の面積」に等しく,予想通りとは言え,なかなか良い結果だと思います.

【追記2】r を固定するとき,S の最大値は a の関数として単調に増加します.
 

円に内接する三角形の面積の最大値

 投稿者:エスプリーナ  投稿日:2019年 2月13日(水)07時12分2秒
  下記の図形の問題を考えて見ました。
数値解法しか無理でしょうか?
何かうまい方法がわかる方いらっしゃいませんか?

半径rの円Oと、円Oの外部に定点Pがある。点Pから円Oにひいた
接線の交点をQとし、点Pから円に向かって異なる2点で
交わるように直線をひき、その2つの交点を
点Pから遠い順にA、Bとする。角度APQ=θ、PQ=aとするとき、
△ABQの面積Sの最大値をr、aを用いて表したい。

Sをr、aを用いて表すことができましたが、
微分すると複雑になりすぎて失敗しました。
 

(無題)

 投稿者:ファーマー  投稿日:2019年 2月11日(月)11時18分33秒
  南海さま

>θは2π周期でどれでも良いですね。
やはりそうなんですね、
早とちりではないかと少し不安だったので安心しました。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2019年 2月10日(日)08時35分20秒
編集済
  かたつむりさん
>arg(z^m) ではなく Arg(z^m) についてのコメントになっていないでしょうか?
そうでした。

ファーマーさん
>そもそも複素数zには特定の偏角の値が存在しない
ですね。原点以外の点の位置を(rcosθ,rsinθ) r>0と表すとして,θは2π周期でどれでも良いですね。これと同じです。
 

(無題)

 投稿者:ファーマー  投稿日:2019年 2月 8日(金)21時18分31秒
  かたつむりさま
>ここで,l は「特定の整数」ではありません.
わかってきました。

そもそも複素数zには特定の偏角の値が存在しないということでしょうか?
「2πの整数倍を加えるだけの不定性」はどんな複素数の偏角にも存在しているんですか。
z^α のαが整数mであろうが有理数であろうが何であろうが
不定性が存在するということですね。z^α = z'なんだから。
スッキリ分かった気がします。
mod 2π、考えてみれば当たり前みたいです。


ありがとうございました!
 

複素数の偏角:2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2019年 2月 8日(金)19時52分59秒
編集済
  一つの複素数 z^m=|z|^m exp(i m Arg(z)) に対し,その偏角 arg(z^m) は
「2πの整数倍を加えるだけの不定性を除いて(つまり mod 2π で)定まる」
ものです.いま z^m について,その偏角を代表する実数値の一つが m Arg(z) であるので,
 arg(z^m)=m Arg(z)+2πl  (l は整数)
と表されます.ここで,l は「特定の整数」ではありません.
 

(無題)

 投稿者:ファーマー  投稿日:2019年 2月 8日(金)17時56分25秒
編集済
  南海さま、かたつむりさま、ありがとうございます。


>つまり,arg(z^m) = mArg(z) + 2πl の意味は,lはどれでもよいということではなく,Arg の決め方から定まるいずれかの整数ということではないでしょうか。

(18)の式の少し下にある
e^(2πinm) = cos(2πnm)+isin(2πnm) = 1
の n というのが「決め方から定まるいずれかの整数」であって、
(18)の式と上記の式を合わせると、それが消える(1倍)ものだと思っていました。
l≠n ということですか?
かりにそれに加えて l を定めたとしても偏角に
2πの整数倍(360°= 0°)を足すだけなので
nと同じように消えるから意味がないような。。
 

複素数の偏角

 投稿者:かたつむり  投稿日:2019年 2月 8日(金)14時01分7秒
  南海先生の
>arg(z^m)は あるlを用いて,mArg(z) + 2πl となります。
>つまり,arg(z^m) = mArg(z) + 2πl の意味は,lはどれでもよいということではなく,
>Arg の決め方から定まるいずれかの整数ということではないでしょうか。
は,arg(z^m) ではなく Arg(z^m) についてのコメントになっていないでしょうか?
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2019年 2月 8日(金)07時35分45秒
  もともと主値の範囲を適当に選んだものがArg(z)で,この「適当」という意味は2π幅の自由さがあるということです。

(20)の直前の式は z^m=(z^m){cos mArg(z)+isin mArg(z)}ですから,これからはarg(z^m)は あるlを用いて,mArg(z) + 2πl となります。

つまり,arg(z^m) = mArg(z) + 2πl の意味は,lはどれでもよいということではなく,Arg の決め方から定まるいずれかの整数ということではないでしょうか。
 

複素数のベキ関数の偏角について

 投稿者:ファーマー  投稿日:2019年 2月 6日(水)18時39分27秒
  こんばんは。
ttp://www.eng.niigata-u.ac.jp/~nomoto/2.html
のページをみて複素数について勉強しています。
複素数のベキ関数の指数が、整数(m)のときについての質問です。

ページ中の"式(20)"の
arg(z^m) = mArg(z) + 2πl (l=0,±1,±2,...)
という式の 2πl がなぜあるのかが理解できません。

z^m = |z|^m・e^(imArg(z)) の「imArg(z)」が
仮に「imarg(z)」ならば
arg(z^m) = mArg(z) + 2πl (l=0,±1,±2,...)となるだろうと思います。
不定性は式(18)で分離され、消されていると思うのですが。。

なぜ2πlが出てくるのか、
ご教授よろしくお願いします。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2019年 1月 6日(日)22時59分18秒
  ポストさん,条件書き忘れていませんか。  

RE:あ さん

 投稿者:IT  投稿日:2019年 1月 5日(土)17時12分55秒
  >  f(x)=x^3+x^2-x+1,g(x)=x^3-x^2+x+1とするとf(x)=0,g(x)=0の実数解をそれぞれα,βとする 積αβの値を求めよ
下記に解答が付いてます。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=55853
 

(無題)

 投稿者:ポスト  投稿日:2019年 1月 4日(金)23時55分6秒
  tan(A/2)tan(B+C)/2=1
の証明を教えてください
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2019年 1月 4日(金)01時44分53秒
  f(x)=x^3+x^2-x+1,g(x)=x^3-x^2+x+1とするとf(x)=0,g(x)=0の実数解をそれぞれα,βとする 積αβの値を求めよ

よろしくお願いします
 

(無題)

 投稿者:tomomitetutosi  投稿日:2018年12月27日(木)11時29分22秒
  ある命題を言語という論理記号の集まりとしてとらえるか、その意味内容にまで踏み込むかで、ナンセンスに見えたり、合理的に見えたりすることはありうるのでしょうか?  

(無題)

 投稿者:tomomitetutosi  投稿日:2018年12月27日(木)10時00分23秒
編集済
  確かにゲーデルの理論自体には何一つ資するところのない議論かもしれませんが、記号論理学や意味論としての意味があります。
「正しいはずの命題の対偶命題が奇異に見えるのはなぜだろう」と考えております。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年12月27日(木)07時32分38秒
編集済
  そうではなく,
>、「自身の無矛盾性を証明できれば、自然数論を含む帰納的公理化可能なその理論は有矛盾である」とおかしな命題になってしまうことに気がつきました。
とあったので,無矛盾が示せれば無矛盾でないことが内部で成りたつということは,まさにその体系が無矛盾でないことを意味し,おかしなことではない,と言うことです.

いずれにせよ,ゲーデルの理論をおさえないこのような議論は空論になりますので,書込は自由ですが,以降,返答はしません.
 

(無題)

 投稿者:tomomitetutosi  投稿日:2018年12月27日(木)00時39分30秒
  「自身の無矛盾性を証明できれば、自然数論を含む帰納的公理化可能なその理論は無矛盾でない」という命題は、無矛盾性の証明と、無矛盾でないことには言及していますが、無矛盾でないことの証明については何もふれていません。従って、「無矛盾である」と「無矛盾でない」がともに証明可能ということにはなりません。  

(無題)

 投稿者:tomomitetutosi  投稿日:2018年12月26日(水)18時44分48秒
編集済
  その可能性も、絶対にないとは言えません。数学の定理の命題文に世界基準などというものがあるのかどうか存じませんが、Wikipediaの表現には他にも様々な異見があろうかと思います。(体系が無矛盾であることと,体系内部で体系が無矛盾であることを証明することは,段階が異なる、というご指摘にも共感できます。)ただ、私としては、「自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない」という命題そのものや、「真なる命題の対偶は常に真」という対偶則自体を疑うよりは、私自身の考え方に論理的誤謬や何らかの見落としがあるはずだという気持ちの方が当然強く、それが何なのか論理学的手がかりを探しています。たま様の回答にも、不条理感をぬぐえぬまま、具体的にここがこうおかしいと反論できずにおります。
要は「自身の無矛盾性を証明できれば、自然数論を含む帰納的公理化可能なその体系は無矛盾でない」という命題が、私の言うように本当に論理的に破綻をきたした認めてはならない命題なのかということで、もし、本当にそうなら対偶則を捨てるか、ゲーデルを捨てるか、Wikipediaの表現を捨てるかのいずれかしかありません・・・
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年12月26日(水)17時31分40秒
編集済
  これは,Wikipedia のほうが正確ではありません.
体系が無矛盾であることと,体系内部で体系が無矛盾であることを証明することは,段階の異なることです.

それと,Wikipedia の言い方を使っても,「自身の無矛盾性を証明できれば、自然数論を含む帰納的公理化可能なその理論は有矛盾である」はおかしな論ではありません.「無矛盾である」と「無矛盾でない」がともに証明可能ということになり,その体系は無矛盾ではないのです.
 

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