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(無題)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年10月15日(月)23時20分43秒
編集済
  >|Log(1-exp(iθ))|^2を、l log|1-exp(iθ)|+iθ/2|^2 とし、
とありますが,Log(1-exp(iθ)) の虚部を θ/2 と判断した根拠は?
ここが間違っています.

また,log|1-exp(iθ)| という式表示のままでは log(sin()) の姿形が見えないし,
問題の解決に結びつきません.

【追記】f(z)=Σ_{n=1}^{∞}(-1/n)z^n  (|z|<1)  は
 1-z の「対数の主値」に等しいので,これ以降,あんこさんのように大文字を用いて
 f(z)=Log(1-z) と記すことにします.
 

かたつむりさん

 投稿者:あんこ  投稿日:2018年10月15日(月)21時54分40秒
編集済
  |Log(1-exp(iθ))|^2を、
l log|1-exp(iθ)|+iθ/2|^2
とし、
{(log|1-exp(iθ)|)^2+θ^2/4)}
と変形しました。
 

定積分 ∫_{0}^{π/2}log(sin(x))dx (その2)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年10月15日(月)19時10分5秒
  ふと思い出しましたが,2015年4月に『解析概論』の記述に関する質問をきっかけとして,
 I(r)=∫_{0}^{π}log(1-2rcosθ+r^2)dθ
が話題になりました.この I(r) については
 0<r≦1 のとき I(r)=0,  r>1 のとき I(r)=2log r  ……(*)
であり,I(1)=0 が表題の定積分
  ∫_{0}^{π/2}log(sin(x))dx=-(π/2)log 2  ……(**)
と結びつきます.(I(1)=0 から直ちに (**) が得られる.)

(*) は複素積分によって導かれます(他の方法もあります)が,
r=1 の場合の扱いは易しくありません.この微妙な部分については
  杉浦光夫著『解析入門 II』p.297-p.298
に丁寧に書かれています.

(*) については,2001年・法政大・工学部の入試問題による方法も面白く,2015年4月24日の投稿で紹介しました.
また,杉浦光夫著『解析入門 I』p.224 には「定積分の定義(リーマン和の極限)」に基づいて
(*) を導く方法が問題として載っています.

(**) を導くだけなら,今朝投稿した方法が簡明で,多くの書物で見られるものと思います.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年10月15日(月)10時55分3秒
  ありがとうございます。  

定積分 ∫_{0}^{π/2}log(sin(x))dx

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年10月15日(月)08時20分48秒
編集済
  >∫_{0}^{π/2}log(sin(x)) dx=-(π/2)log 2
>はどのように示すのでしょうか.

広義積分 ∫_{0}^{π/2}log(sin(x))dx の存在は確認済みとして,これを I とおきます.
まず,変換 x→π/2-x により
 I=∫_{0}^{π/2}log(cos(x))dx
であることに注意します.次に,変換 x→π-x を施すと
  I=∫_{π/2}^{π}log(sin(x))dx
となるので,
  I=(1/2)∫_{0}^{π}log(sin(x))dx
    =∫_{0}^{π/2}log(sin(2t))dt
    =∫_{0}^{π/2}log(2sin(t)cos(t))dt
    =(π/2)log 2+∫_{0}^{π/2}log(sin(t))dt+∫_{0}^{π/2}log(cos(t))dt
  =(π/2)log 2+2I.
したがって,
 I=-(π/2)log 2.

【追記】質問者のあんこさんは複素積分を用いる方法で学習されたのかもしれません.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年10月15日(月)07時11分42秒
  あまり考えられていないのですが,
∫_{0}^{π/2}log(sin(x)) dx=-(π/2)log 2
はどのように示すのでしょうか.
 

定積分 ∫_{0}^{π/2} (log(sin(x)))^2 dx の値(その2)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年10月14日(日)00時56分15秒
編集済
  >どうしても π^3/24+(π/2)(log 2)^2 にたどり着かない
とのことですが,私の先の投稿における(1)左辺の被積分関数
 |log(1-exp(iθ))|^2
を書き換えるためには,
 log(1-exp(iθ)) の実部,虚部  ……(i)
を明らかにする必要があります.(i) は
  1-exp(iθ) の絶対値,偏角  ……(ii)
によって決まります.
(i), (ii) を求めてありますか?
 

複素関数

 投稿者:あんこ  投稿日:2018年10月13日(土)20時29分28秒
  丁寧にありがとうございます。理解できました(^^)

1/(2π)∫_{0}^{2π}|log(1-r exp(iθ))|^2 dθ
からの式変形など、どうしても、
π^3/24+(π/2)(log 2)^2
にたどり着かないのですが、ヒントでもいいので教えていただけたら嬉しいです、、
 

(無題)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年10月13日(土)19時27分40秒
編集済
  >f(z)=log(1+z) ではないのはなぜですか?
質問の意味が分かりかねますが,|z|<1 において
 log(1-z)=-z-z^2/2-z^3/3- … =Σ_{n=1}^{∞}(-1/n)z^n,
 log(1+z)=z-z^2/2+z^3/3- … =Σ_{n=1}^{∞}((-1)^{n-1}/n)z^n
です.

ちなみに,f(z)=log(1+z) と定めて「ほぼ同様」に進めると,
∫_{-π}^{π}(log(cos(θ/2)))^2 dθ=π^3/6+2π(log 2)^2   ← 積分区間に注意
を経由して
 ∫_{0}^{π/2}(log(cos(x)))^2 dx=π^3/24+(π/2)(log 2)^2
が得られます.

 

(無題)

 投稿者:あんこ  投稿日:2018年10月13日(土)18時53分24秒
  最初の式なのですが
|an|=1/n とすると
収束半径が lim(n→∞)|an/a(n+1)|=1
となるので、∫(0~z)1/(1+z) つまり log(1+z)
となるのではと思っていたのですが、、
 

複素関数 かたつむりさん

 投稿者:あんこ  投稿日:2018年10月13日(土)18時48分36秒
  最初のf(z)=log(1-z)なのですが、
f(z)=log(1+z)
ではないのはなぜですか?

それ以降の式は理解できたと思います。
ありがとうございます。

また、途中過程なのですが、どうしても答えが合わず
おしえていただけたら嬉しいです。
 

定積分 ∫_{0}^{π/2} (log(sin(x)))^2 dx  の値

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年10月13日(土)18時14分29秒
  先の等式を,
 f(z)=log(1-z)   (-π/2<arg(1-z)<π/2)
      =Σ_{n=1}^{∞}(-1/n)z^n  (|z|<1)
に対して適用すると,
 1/(2π)∫_{0}^{2π}|log(1-r exp(iθ))|^2 dθ=Σ_{n=1}^{∞} (1/n)^2 r^{2n} (0<r<1)
となります.ここでもし,r→1-0 として
 1/(2π)∫_{0}^{2π}|log(1-exp(iθ))|^2 dθ=Σ_{n=1}^{∞}(1/n)^2 ……(1)
の成り立つことが示されれば,左辺を書き換えて---ここがポイントですがとりあえず省略---
 Σ_{n=1}^{∞}(1/n)^2=π^2/6,∫_{0}^{π/2}log(sin(x)) dx=-(π/2)log 2
を用いることにより,
∫_{0}^{2π}(log(sin(θ/2)))^2 dθ=π^3/6+2π(log 2)^2
が得られます.これから当初の目標である定積分の値が
 ∫_{0}^{π/2}(log(sin(x)))^2 dx=π^3/24+(π/2)(log 2)^2
であることが分かります.(1)の証明は未完です.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年10月13日(土)11時54分57秒
  かたつむりさんありがとうございます.  

複素関数

 投稿者:あんこ  投稿日:2018年10月13日(土)11時51分1秒
  はい。π/2です。  

Re:解析概論

 投稿者:南海  投稿日:2018年10月13日(土)11時49分47秒
  解析概論読者会の記録を,
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/dokusyo/gairon.htm
から,zipファイルで得られるようにしました.
お役にたてるかわかりませんが,見て下さい.
 

(無題)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年10月13日(土)11時34分35秒
  >積分範囲は、0~1/2πでした
ここで 1/2π は
 (1/2)π=π/2
の意味ですね?
 

複素関数

 投稿者:あんこ  投稿日:2018年10月13日(土)11時23分49秒
編集済
  申し訳ありません。
積分範囲は、0~1/2πでした。

また、0 < r < R
 f(z)=Σ_{n=0}^{∞}(a_n z^n) (|z|<R),  0<r<R
f(z)=収束冪級数で定められた BR(0) 上の正則関数
です。
かたつむりさんのご指摘の通りです。すみません。
ありがとうございます。
 

(無題)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年10月13日(土)10時10分27秒
編集済
  南海先生の御指摘の主旨は
>Σ(n=0,∞)|an|^2×r^(2n)=(1/2π)∫[0~2π] |f(re^iθ)|^2dθ
において,「an(正しくは a_n)の定義が書かれていない」ということであると思います.

これは Parseval の等式に拠るもので,
 f(z)=Σ_{n=0}^{∞}(a_n z^n) (|z|<R),  0<r<R
という前提であろうと想像しますが,いかがでしょうか.

また,
>∫[0~2π]{log(sinx)}^2dx
の積分区間は,[0,π/2] または [0,π] の書き間違いではないでしょうか.
 

複素関数

 投稿者:あんこ  投稿日:2018年10月13日(土)09時37分59秒
  Σ(n=0,∞)|an|^2 × r^(2n)   xはかけ算
=(1/2π)× ∫[0~2π] |f(re^iθ)|^2dθ  xはかけ算

Σ(n=0,∞)  (1/n^2)=(π^2)/6

∫[0~1/2π]log(sinx)= (-π/2)log2とする。

わかりにくくてすみません。
()を用いてわかりやすくしてみました。
等式の証明は
他の問題で示してあるので、今回は使って良いということになっています。

 

解析概論

 投稿者:ukokou  投稿日:2018年10月13日(土)08時41分27秒
  ありがとうございます。
閲覧できるのを、楽しみにしております。
 

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