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ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 9月 4日(火)19時59分55秒
  かたつむりさん、チェックありがとうございました。  

『数論1』 Hilbert記号:命題2.4 (3) 後半

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 9月 4日(火)14時41分39秒
  >(a,1-a)2=(-1)^0・(-1)^{(u-1)/2・(1-2^2・u-1)}
の右辺の最後の指数の部分は
 (u-1)/2・(1-2^2・u-1)/2
の書き間違いですね.次の行は正しいので大丈夫です.

i>2 の場合はより単純なので,できたも同然だと思います.
 

ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 9月 4日(火)13時23分51秒
  i=2,p=2のとき、a=2^i・u (uは、Z(2)^{X}に属する)とすると
1-a=1-2^i・uもZ(2)^{X}に属する。
すなわち、1-a=2^0・(1-2^i・u)

r=(-1)^{0・1}・(1-2^i・u)^i・u^{-0}=(1-2^i・u)^i

とおくと、i=2 なので

r=(1-2^2・u)^2=1-2^3・u+2^4・u^2≡1 (mod 8)
そこで、r=1+8c ,cはZ(2)に属する。
とおくと、

(r^2-1)/8={(1+8c)^2-1}/8=(1+16c+64c^2-1)/8=2c+8c^2≡0 (mod 2)

∴(a,1-a)2=(-1)^0・(-1)^{(u-1)/2・(1-2^2・u-1)}

         =(-1)^{(u-1)/2・(-2u)}・・・・・①

ここで、(u-1)/2や uもZ(2)に属するので、Z(2)が、環であること
を考慮すると(u-1)/2・(-u)も、Z(2)に属する。
したがって、①の指数は、それに、2をかけたものであるので、mod 2
で考えると0となる。

従って、①=1となる。


 
 

ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 9月 3日(月)10時28分32秒
  かたつむりさん、丁寧に書いていただいてありがとうございます。
以後、考えてみます。
 

『数論1』 Hilbert記号:命題2.4 (3) 後半

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 9月 2日(日)23時38分58秒
編集済
  r∈(Z_(2))^{×} について,
>r mod 8=3 のとき、という条件は
r≡3 (mod 8) と言い換えられます.つまり,
 r=3+8c  (c∈Z_(2))
と表されるということです.これまで何回も愛さんが使ってきたことです.

【追記】
愛さんが記した
 {(2n-1) mod 8}/{(2m-1) mod 8}=3
を使えば次のようになります:
 {(2n-1) mod 8}=3{(2m-1) mod 8},
    2n-1≡3(2m-1) (mod 8),
    2n-1=3(2m-1)+8k  (k∈Z),
   (2n-1)/(2m-1)=3+8・k/(2m-1),  k/(2m-1)∈Z_(2).

 

ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 9月 2日(日)21時18分42秒
  書いていただいた例で考えているのですが
よくわかりません。

r mod 8=3 のとき、という条件は rがZ(2)^{x}に属するから


r=(2n-1)/(2m-1) (m,nは整数)とおくと

{(2n-1)mod8}/{(2m-1)mod8}=3となるので、これから以降がわかりません。
 

ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 9月 2日(日)09時34分10秒
  かたつむりさん、ありがとうございます。
書いていただいたことを参考にいろいろ
やってみます。
 

『数論1』 Hilbert記号:命題2.4 (3) 後半

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 9月 1日(土)19時51分41秒
  >(1)を利用して (a,1-a)2=(1-a,a)2となるので以後の計算がしやすそうなものを、rにしたということです。
上手いですね.

>書いていただいている r mod 8の値で決まるとありますが、あまり意味が分かりません。
r∈(Z_(2))^{×} について,たとえば
r mod 8=3 のとき (-1)^{(r^2-1)/8} の値は?
それを知るには,(r^2-1)/8 mod 2 が 0, 1 のどちらになるかを調べればよいわけです.
 

ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 9月 1日(土)19時25分28秒
  かたつむりさん、ありがとうございます。
そうです。(1)を利用して (a,1-a)2=(1-a,a)2となるので

以後の計算がしやすそうなものを、rにしたということです。

しかし、p=2,i=2のとき
さらに、p=2,i>2のときに苦労しています。

書いていただいている r mod 8の値で決まるとありますが、
あまり意味が分かりません。
 

『数論1』 Hilbert記号:命題2.4 (3) 後半

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 8月31日(金)23時46分58秒
編集済
  (a,1-a)_2=(1-a,a)_2 を利用したということでしょうか?
(a,1-a)_2 を直接考えるのであれば,
>i>0,pが奇素数のとき
>r=(-1)^{0・1}・(1-p^i・u)^i・u^{-0}=(1-p^i・u)^i
ではなく
 r=(-1)^{0・1}・u^{0}・(1-p^i・u)^{-i}=(1-p^i・u)^{-i}
であり,
>i>0,p=2のとき
>r=(-1)^{0・i}・(1-2^i・u)^i・u^{-0}=(1-2^i・u)^i
ではなく
 r=(-1)^{0・i}・u^{0}・(1-2^i・u)^{-i}=(1-2^i・u)^{-i}
ということになります.
その場合も,愛さんのアイデアは生かされるので,残るは
 p=2, i>1
の場合のみですね.

【追記】
p=2,i=1 の場合の証明では,(5-2)の経験が生かされていて見事だと思います.
ただし,i>1 の場合には,この方法に固執しない方が良いかも.
 

ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 8月31日(金)20時43分21秒
  i>0,p=2のとき

a=2^i・u(uは、Z(2)^{x}に属する)とすると
1-a=1-2^i・uは、Z(2)^{x}
すなわち、1-a=2^0(1-2^i・u)

r=(-1)^{0・i}・(1-2^i・u)^i・u^{-0}=(1-2^i・u)^i
とおくと

i=1のとき、r=1-2u
           r^2=1-4u+4u^2

これを、代入して

(a,1-a)2=(-1)^{u(u-1)/2}・(-1)^{-u(u-1)/2}=(-1)^0=1
 

ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 8月31日(金)20時30分12秒
  (3)の後半の証明

まず、i>0,pが奇素数のとき

a=p^i・u (uは、Z(p)^{x}に属する)とすると
1-a=1-p^i・u これはまた、z(p)^{x}に属するから
すなわち、1-a=p^0(1-p^i・u)

r=(-1)^{0・1}・(1-p^i・u)^i・u^{-0}=(1-p^i・u)^i


ここで、右辺に出てきたものを二項展開すると
右辺=1+ps ただし、sは、Z(p)の元

したがって、r≡1 mod p となるので

(a,1-a)p=1
 

ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 8月31日(金)10時40分17秒
  ありがとうございます。かたつむりさん
とりあえず、i>0,p奇素数の場合をやりました。

p=2,i>0の場合を苦悩していました。追記のアドバイスを取り入れて
やってみます。

 

『数論1』 Hilbert記号:命題2.4 (3) 後半

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 8月26日(日)13時51分49秒
編集済
  >以前書いていただいたことを参考に挑戦します。

8月9日の投稿内容を理解されれば,
素数 p と有理数 a(≠0,1) に対し
  a=p^i u, i∈Z, u∈(Z_(p))^{×}
とするとき,i>0 の場合について証明すれば十分であることが分かります.
p が奇素数のときは簡単なので,残るは実質的に
 p=2, i>0
の場合のみになります.

【追記】
r∈(Z_(2))^{×} について,(-1)^{(r^2-1)/8} が +1,-1 のどちらの値をとるかは,
  r mod 8 の値
で決まります.このことを調べておくと,(3) 後半で
  p=2, i>0
の場合を考えるのに役立ちます.私は,そのような準備をした上で,
  i>2, i=2, i=1
の3つの場合に分けて証明しました.
 

ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 8月25日(土)20時43分29秒
  訂正です。苦慮していたのは(2)ではなく
(3)の後半の場合分けです。
以前書いていただいたことを参考に挑戦します。
 

ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 8月25日(土)10時46分35秒
  第三の証明拝見させていただきました。
後半の証明で

差 (a-1+2b)-(a-1) をとって考えていく内容を読ませていただいたとき
以前、かたつむりさんに教えていただいたフェルマーの問題、x^3+y^3=z^3の不可能性
の証明を思い出しました。

私は、3つの証明を書いてくださった中で最初の証明がよくわかりましたので
自分のノートに写させていただきます。たいへん、ありがとうございました。

最後に(2)の場合分けに一つずつ挑戦してみます。
 

ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 8月24日(金)20時00分29秒
  第二の証明は、a,bがZ(2)^xに属していることから、
その分母、分子(特に分子)が奇数でできていることから


(ⅰ)a≡1 (mod 4)の場合と(ⅱ)a≡-1 (mod 4)の場合とに
分けて考え、それぞれの場合に計算しながら条件を導いていく。

この場合分けに気が付くことと、その後の条件に持ち込む計算力がポイントですね。

私では、との場合分けは気が付きません。たいへん勉強になりました。
かたつむりさん、ありがとうございました。


 

『数論1』 Hilbert記号:命題2.4 (5-2)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 8月23日(木)09時22分10秒
  (5-2) の3番目の証明を記します.
単純明快だと思いますが,何箇所か注意深く行間を埋めてもらう必要があります.

a,b ∈(Z_(2))^{×} について,
 (a,2b)_2=(-1)^{(a-1)(a-1+2b)/8}.   (導く過程は省略)

(i) a-1≡0 (mod 8) ならば,(a-1)/8∈Z_(2), a-1+2b∈Z_(2) であり,
  a-1+2b≡0 (mod 2)  により (a-1)(a-1+2b)/8=(a-1)/8・(a-1+2b)≡0 (mod 2)
であるから,
    (a,2b)_2=1.

   a-1+2b≡0 (mod 8) ならば,a-1∈Z_(2), (a-1+2b)/8∈Z_(2) であり,
   a-1≡0 (mod 2)  により (a-1)・(a-1+2b)/8≡0 (mod 2)
であるから,
    (a,2b)_2=1.

(ii) a-1≡0 (mod 8) でなく,かつ a-1+2b≡0 (mod 8) でないならば,
   (a-1+2b)-(a-1)=2b≡2  (mod 4)
                       ≡±2 (mod 8)
により,
   (a-1≡±2 (mod 8) ∧ a-1+2b≡4 (mod 8)) ∨ (a-1≡4 (mod 8) ∧ a-1+2b≡±2 (mod 8))
であるから,
      (a-1)(a-1+2b)≡8 (mod 16), 即ち  (a-1)(a-1+2b)/8≡1 (mod 2)
となる.このとき,
     (a,2b)_2=-1.

以上,(i), (ii) により (5-2) が証明された.
 

ヒルベルトの記号

 投稿者:  投稿日:2018年 8月22日(水)08時40分44秒
  別証明ありがとうございます。
ゆっくりと、拝見させていただきます。
 

『数論1』 Hilbert記号:命題2.4 (5-2)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 8月22日(水)07時46分39秒
  >あとは苦悩していた命題2.4(2)の場合分けを考えてみます。
とのことですが,(5-2) の証明をもう2つ記します.

a,b ∈(Z_(2))^{×} について,
 (a,2b)_2=(-1)^{(a-1)(a-1+2b)/8}.   (導く過程は省略)

右辺の指数の部分は
  (a-1)/4・(a-1+2b)/2=(a-1)/2・(a-1+2b)/4
と表される.ここで,
   a≡1 (mod 4)  または  a≡-1 (mod 4)
であることに注意する.

(i) a≡1 (mod 4) の場合,(a-1)/4∈Z_(2),(a-1+2b)/2∈Z_(2) である.このとき
  a-1+2b≡2b≡2 (mod 4) により (a-1+2b)/2≡1 (mod 2)
であるから,(a-1)/4・(a-1+2b)/2≡0 (mod 2) となるためには,
   (a-1)/4≡0 (mod 2), 即ち a-1≡0 (mod 8)
が必要十分である.a-1≡0 (mod 8) のとき a≡1 (mod 4) が成り立つことに注意する.

(ii) a≡-1 (mod 4) の場合,(a-1)/2∈Z_(2),(a-1+2b)/4∈Z_(2) である.後者は
     a-1+2b≡2(b-1)≡0 (mod 4)
から分かる.このとき
   a-1≡2 (mod 4) により (a-1)/2≡1 (mod 2)
であるから,(a-1)/2・(a-1+2b)/4≡0 (mod 2) となるためには,
     (a-1+2b)/4≡0 (mod 2), 即ち a-1+2b≡0 (mod 8)
が必要十分である.a-1+2b≡0 (mod 8) のとき,a-1+2b≡0 (mod 4) により
   a≡1-2b≡-1 (mod 4)
が成り立つことに注意する.

以上 (i),(ii) により,
   (a,2b)_2=1 ⇔ a-1≡0 (mod 8) ∨ a-1+2b≡0 (mod 8)
              ⇔ a≡1 (mod 8) ∨ a≡1-2b (mod 8)
が成立する.
 

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