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平均値の定理?

 投稿者:Jukensha  投稿日:2017年 9月28日(木)16時25分49秒
  すばやいお返事ありがとうございました。自分でも解決しました.a_n \cos a_n が\to \inftyであることをしめすところで詰まったのですが、g(x)=x \cos xを考え、g''(x)まで考えて証明でき、挟み撃ちの原理で解決できました。ですが
南海氏の解法のほうがわかりやすく、簡潔で良いと思います。1998年京都大学後期の問題をさがしていますが、まだ見つかりません。問題文だけでもここにのせてもらえる人がいればお願いします.
 

平均値の定理?

 投稿者:南海  投稿日:2017年 9月27日(水)09時03分29秒
編集済
  平均値の定理の定理もありかもしれませんが、もっと簡単に。

b_n=a_n-2nπ とおく。a_n=b_n+2nπで0 \le b_n \le π/2 。
f(a_n)=0より(b_n+2nπ) \sin(b_n+2nπ)  - \cos(b_n+2nπ) =(b_n+2nπ) \sinb_n-\cosb_n=0。
つまり\sinb_n=\cosb_n/(b_n+2nπ) .これより\lim _{n \to \infty}\sinb_n=0。
b_nの範囲を考え\sin の連続性から\lim _{n \to \infty}b_n=0。

なお京大98年後期に類題があります。
 

平均値の定理?

 投稿者:Jukensha  投稿日:2017年 9月25日(月)19時08分8秒
  ~関数$f(x)$を$f(x)=x \sin x - \cos x$で定める。また、$n$を正整数とする。\\
(1)~$\displaystyle 2n \pi \leqq x \leqq 2n \pi + \frac{\pi}{2}$の範囲において、$f(x)=0$となる
$x$がただ1つ存在することを示せ。\\
(2)~(1)での$f(x)=0$となる$x$の値を$a_n$とする$\displaystyle \left( 2n \pi \leqq a_n \leqq 2n \pi + \frac{\pi}{2}\right)$。
このとき、$\displaystyle \lim _{n \to \infty} (a_n -2n \pi)=0$であることを示せ。
(1)はわかるのですが、(2)の半分ができません。解法は平均値の定理で考えました。(2)の解答をお願いします。
 

可測関数の同値関係

 投稿者:Imogene  投稿日:2017年 8月20日(日)09時40分55秒
  宜しくお願い致します。

(Ω,Σ,μ)と(R,L(R),λ)を測度空間とします(Rは実数体,L(R)はルベーグσ集合体,λはルベーグ測度)。
この時,
(ア)「f:Ω→Rが可測関数

f^-1(E)∈Σ for∀E∈L(R)」
が可測関数の定義ですよね。
でも
(イ)「f:Ω→Rが可測関数

f^-1((r,+∞))∈Σ for∀r∈R」
も可測関数の定義となってます。

(ア)と(イ)が同値であることはどうすれば示せるのでしょうか?
 

整式について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 8月15日(火)00時45分58秒
  L(x)は、P(x)+Q(x)と共通因数G(x)をもつ。と、L(x)とP(x)+Q(x)は共通因数G(x)をもつ。の違いがわかりません。教えていただけると幸いです。
同じである理由を教えていただけると幸いです。
 

確率について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 8月15日(火)00時37分26秒
  1から1000まで書かれたカードが1枚ずつあります。
その中から無作為に2枚同時に引き、大きい方の数をP、小さいほうの数をQ
とするとき、
log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log103
となる確率を求めたいのですが、どこから手をつけてよいのか分かりません。
教えていただけると助かります。
 

確率について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 8月15日(火)00時36分32秒
  1から1000まで書かれたカードが1枚ずつあります。
その中から無作為に2枚同時に引き、大きい方の数をP、小さいほうの数をQ
とするとき、
log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log103
となる確率を求めたいのですが、どこから手をつけてよいのか分かりません。
教えていただけると幸いです。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 8月14日(月)23時50分22秒
  ご指摘ありがとうございます。
直しておきました。
 

95京大後期理系5番の解答

 投稿者:IT  投稿日:2017年 8月14日(月)20時22分7秒
  95京大後期理系5番の解答の(1)の最後の行の末尾の q[1]=3/4 は、q[2]=3/4 の誤植ではないでしょうか?  

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月21日(金)17時31分25秒
  ご指摘ありがとうございます.
直しておきました.
 

積分可能性

 投稿者:gulse  投稿日:2017年 7月20日(木)18時15分30秒
  積分可能というページの積分可能性の条件に関して、「整数ε」→「正数ε」だと思われます。  

(無題)

 投稿者:Qwenthur  投稿日:2017年 7月 5日(水)09時33分26秒
  危ない危ない。自作のヒントを自ら投下してしまうところでしたよ。
そもそもの問題が成立するのか、というところから始めないといけないあたり、一般の大学受験生からすると難しい部類にはなるのでしょうか?
問題文をそのまま受け取れないところもポイント高いw
 

(無題)

 投稿者:Qwenthur  投稿日:2017年 7月 5日(水)09時23分29秒
編集済
  南海先生の単純化された問題に対しては、
(言ってはいけないことを言ってしまった気がしたので削除しました)
という結果が出た気がします
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月 5日(水)09時05分35秒
  単順化して次のような問題もあります。
3実数a,b,cが ab+bc+ca=a+b+c>0 を満たしている時,a+b+c の最小値はいくらか。
 

Re: 自作問題の訂正内容

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月 2日(日)08時45分45秒
編集済
  g(a,b)=[a^6 / {(b-c)^2+8}] + [b^6 / {(c-a)^2+8}] + [c^6 / {(a-b)^2+8}] + [6 / {3(a+b+c)-1}]
としても,a=b=c=1のとき∂g/∂a=0です。同様に∂g/∂b=0もわかりa=b=c=1のとき,最小値が9/8ですか。
こちらが何か思い違いをしているかもしれませんが。

もとの問題の方が最小値1できれいかもしれません。誤植のお陰で新しい問題ができた!
いずれにしても,まず解析方法を仕上げること,つまり∂^2g/∂a^2>0などをしめすことと,他に代数的な解法があるはずで,それも考えてみます。
 

自作問題の訂正内容

 投稿者:Qwenthur  投稿日:2017年 7月 2日(日)03時13分18秒
  初項:b+c → b-c
第2項:c+a → c-a
第3項:a+b → a-b
と訂正いたします。
ネット空間とはいえ、夜分に失礼いたしました。
 

申し訳ありません!!!訂正が。。。

 投稿者:Qwenthur  投稿日:2017年 7月 2日(日)03時07分36秒
  まさかの、問題を打ち間違える失敗をしてしまいました!(確認作業を怠った自分が恨めしい)
正しくは

問題:
3実数a , b , c が ab + bc + ca = a + b + c > 0 を満たしている時、
[a^6 / {(b-c)^2+8}] + [b^6 / {(c-a)^2+8}] + [c^6 / {(a-b)^2+8}] + [6 / {3(a+b+c)-1}]
の最小値を求めよ。

でした!!考えてくださった方、特に南海先生に深く謝罪申し上げます。
申し訳ありませんでした!
 

Re: 自作問題(最小値)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月 1日(土)22時32分26秒
編集済
  まだ途中なのですが。
a,b,cの間に関係式が1つあるのでc=1+(1-ab)/(a+b-1)でcをaとbの関数とし,
f(a,b)=[a^6 / {(b+c)^2+8}] + [b^6 / {(c+a)^2+8}] + [c^6 / {(a+b)^2+8}] + [6 / {3(a+b+c)-1}] とおきます。

∂c/∂a=(-b^2+b-1)/(a+b-1)^2を用いて,∂f/∂aを計算します。複雑な式になりますが,a=b=c=1のとき∂f/∂a=0です。同様に∂f/∂b=0もわかり,ここで(2変数の)極です。
極小の証明がまだできていませんが,a=b=c=1のとき,最小値が1と考えられます。
 

青空学園数学科入り口

 投稿者:IT  投稿日:2017年 7月 1日(土)13時18分49秒
  対応ありがとうございます。直りました。  

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月 1日(土)10時45分18秒
  ご指摘ありがとうございます。直しました。再読込で正しく表示されるはずです。  

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