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ラミーの定理について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 2月20日(月)21時30分45秒
  問題を作っていただけないでしょうか?
すみません。
 

2次体の整数論

 投稿者:  投稿日:2017年 2月 9日(木)09時23分20秒
編集済
  かたつむりさん、いろいろと整理して
書いていただいて、ありがとうございます。

書いていただいた命題を考えてみます。
 

2次体の整数論3:イデアルの積の計算

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 2月 5日(日)19時01分23秒
編集済
  1月30日(月)の投稿の〈p.280 [問題3] の方法だけを使う〉の部分の記述に不備がありました.まず
  A^2=(3,-1+√(-65))(3,-1+√(-65))=(9,-3+3√(-65),-64-2√(-65))
     =[9,-3+3√(-65),-64-2√(-65),9√(-65),(-3+3√(-65))√(-65),(-1-2√(-65))√(-65)]
とするべきでした.先の私の計算で正しい結果が得られた(得られてしまった!)のは,下記の【命題3】によります.

この機会に,イデアルの積を具体的に計算するときに拠り所となる命題を整理しておきます.
以下,2次体Q(√(m))について,[1,ω] を整数環の底とします.『初等整数論講義』の関連する問題を付記しました.

【命題1】p.280 [問題1],[問題3].
(α_1,α_2,...,α_k)=[α_1,α_2,...,α_k, ωα_1,ωα_2,...,ωα_k].

【命題2】p.280 [問題3].
kを任意の有理整数とする.
  [α,β,...,γ]=[α,β+kα,...,γ],  [α,β,...,γ]=[-α,β,...,γ].

【命題3】p.280 [問題1],[問題3].
イデアルI=[a,r+ω], J=[b,s+ω] について,IJ=[ab,b(r+ω),a(s+ω),(r+ω)(s+ω)].

(証明)IJ=(ab,b(r+ω),a(s+ω),(r+ω)(s+ω))
          =[ab,b(r+ω),a(s+ω),(r+ω)(s+ω),abω,b(r+ω)ω,a(s+ω)ω,(r+ω)(s+ω)ω]. ・・・(*)
ここで,[a,r+ω] がイデアルを成すことにより,
    aω=ia+j(r+ω), (r+ω)ω=ka+l(r+ω)   (i,j,k,l は有理整数)
と表されるので,(*) の5,6番目は
    abω=iab+jb(r+ω), b(r+ω)ω=kab+lb(r+ω)
のように,(*) の1~4番目の有理整数倍の和で表される.(*) の7,8番目についても「同様」であるから,
    IJ=[ab,b(r+ω),a(s+ω),(r+ω)(s+ω)].

【命題4】p.326 [問題1].
イデアル J=[a_1 a_2,r+ω] に対し,[a_1,r+ω], [a_2,r+ω] はイデアルを成し,それぞれを J_1, J_2 とすると,
   J_1 J_2=J
が成り立つ.

【命題5】p.326 [問題2].
イデアル J_1=[a_1,r_1+ω], J_2=[a_2,r_2+ω] において a_1,a_2 が互いに素であるとき,
   r≡r_1 (mod a_1),  r≡r_2 (mod a_2)
なる r が存在し,
   J_1 J_2=[a_1,r+ω][a_2,r+ω]=[a_1 a_2,r+ω]
となる.
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2017年 1月30日(月)19時36分55秒
編集済
  書いていただいた内容をゆっくり
考えてみます。

丁寧に書いていただいているので大変参考になります。何とか
P348までと頑張っていたのですが、標準基底の掛け算で挫折を味わい
心が折れていた状態です。

かたつむりさんのおかげで、やる気がわいてきました。
ありがとうございます。感謝、感謝です。
 

2次体の整数論2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 1月30日(月)10時36分48秒
編集済
  p.280 [問題3], p.326 [問題2] の他に  p.326 [問題1] も生かせます.

標準基底で表された2つのイデアルの積を求める(標準基底で表す)には,原理的には
p.280 [問題3] の方法を使うだけで済みますが,p.326 [問題1],[問題2] を適宜用いると
よりスムーズに進められます.p.335 の A=[3,-1+√(-65)] から A^2 を求める部分を例示します.

〈p.280 [問題3] の方法だけを使う〉
  A^2=[3,-1+√(-65)][3,-1+√(-65)]=[9,-3+3√(-65),-64-2√(-65)]=[9,-3+3√(-65),-1-2√(-65)]
     =[9,-3+3√(-65),-1-2√(-65)+(-3+3√(-65))]=[9,-3+3√(-65),-4+√(-65)]
     =[9,-3+3√(-65)-3(-4+√(-65)),-4+√(-65)]=[9,9,-4+√(-65)]
     =[9,-4+√(-65)].

〈p.326 [問題1] を生かす〉
  A=[3,-1+√(-65)]=[3,-4+√(-65)] であることに注意する.
 [3^2,-4+√(-65)] はイデアルを成す(∵ N(-4+√(-65))=81 は 3^2 の倍数)ので,
 p.326 [問題1] の[解] の記述により,[3^2,-4+√(-65)]=A^2.

A^4 についても2通りの方法でやってみると良いでしょう.
 A^4=[81,-4+√(-65)]
となります.ここで,81=(-4+√(-65))(-4-√(-65)) であるので,
 A^4=(81,-4+√(-65))=(-4+√(-65)) ~ (1)
となります.[,] と (,) の使い分けは p.279 にある通りです.
前者は「Z加群」,後者は「R加群」(R は2次体の整数環とする)としての表現です.
一般に [α,β,...,γ]⊂(α,β,...,γ) ですが,[α,β,...,γ] がイデアルをなす場合には
  [α,β,...,γ]=(α,β,...,γ)
が成り立ちます.

【追記】上記で〈p.280 [問題3] の方法だけを使う〉と書きましたが,結局,
自由加群の「生成系」の取り替えです.行列の(行)基本変形と同様の操作を行っています.

【追記2】定理5.16(とp.289-p.292の記述)を踏まえて,2次体 Q(√(-65))における有理素数 3,2 の分解
という観点から,イデアル A=[3,-1+√(-65)], B=[2,-1+√(-65)] を捉え直しておくと良いと思います.
つまり,A, B の存在を知らないものとして,(3), (2) を素イデアル分解してみようということです.

 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2017年 1月30日(月)07時08分8秒
編集済
  かたつむりさん、洋書に関しての
アドバイスありがとうございます。
購入は、やめておきます。

P335の4行については、書いていただいた問題を使って
粘りずよく頑張ってみます。
 

2次体の整数論

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 1月29日(日)19時58分47秒
  >書いていただいてる洋書を購入しようかと考えています。

同書には多くの Exercise がありますが,解答が付いているのはごくわずかです.
独習には不向きかもしれません.

>P335からP336あたりで標準的底同士の掛け算あたりで壁に当たっているのですが参考になるでしょうか?

私はまだ『初等整数論講義』をその頁まで読んでいませんが,p.335 の最初の4行については,
p.280 [問題3], p.326 [問題2] などに基づいて確認できます.
ただし,4行目の A^3 B=  は A^3 B ~  の誤植と思われます.
5行目については,その前の部分を読んでいないので分かりません.
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2017年 1月28日(土)19時59分34秒
編集済
  かたつむりさん、いろいろ情報を
ありがとうございます。

書いていただいてる洋書を購入しようかと考えています。
P335からP336あたりで標準的底同士の掛け算あたりで壁に当たっているのですが
参考になるでしょうか?

他の本でも、標準的底同士の掛け算についてわかりやすく書いている本があれば
教えてください。
 

Re:誤植について

 投稿者:南海  投稿日:2017年 1月26日(木)23時06分32秒
  確かに。ご指摘ありがとうございます。
明日午前中に直しておきます。
 

誤植について

 投稿者:IT  投稿日:2017年 1月26日(木)20時40分43秒
編集済
  2014年入試問題研究 京大理系3番解答 の4行目

AB=sin3θ/sinθ,AB=sin2θ/sinθは、
AB=sin3θ/sinθ,AC=sin2θ/sinθ の誤植ではないでしょうか?。
それと,この掲示板の左下の「青空学園数学科」ボタンはリンク先が間違っているようです。

なお南海先生も書いておられるように、先にsinθを約した方がかなり簡明ですね。
(本質的ではないですが、どういう手順で計算するかで煩雑さが相当違ってきます。
 試験本番でどれを思いつくかで所要時間や間違いやすさに大きな差がでるのはいかがなものかとも思いますが)

S=(1/2)AB・ACsinθ=(sin3θsin2θ)/(2sinθ)
倍角公式
=(sin3θ(2sinθcosθ))/(2sinθ)
=sin3θcosθ
積を和に
=(1/2)(sin4θ+sin2θ)

よってdS/dθ=2cos4θ+cos2θ=4(cos2θ)^2-2+cos2θ

以下同様
 

『初等整数論講義』と『素数と2次体の整数論』

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 1月25日(水)18時50分30秒
  昨年10月16日の投稿で,高木貞治:初等整数論講義に関し,
> p.289下部の i), ii) では,m≡1 (mod 4) の場合の考察が抜け落ちています.
>「同様」で済ませられることではなく,断り書きもないことから,書き忘れではないか(?)と思います.
と書きましたが,私のとんだ誤解でした.「抜け落ちている」のではなく,
  m≡2,3 (mod 4) と m≡1 (mod 4) の場合を「一括して」論じている
だけのことでした.
問題の箇所は,2次体 Q(√(m)) において,有理素数pが生成するイデアル(p)の素イデアル分解を調べる場面です.
いろいろな本で,このテーマを学習し直す過程で「誤解」に気づきました.

山本芳彦:数論入門(岩波)では丁寧に場合分けをしています.この印象が強かったことが「誤解」の一因です.(言い訳)

Trifkovic:Algebraic Theory of Quadratic Numbers (Springer) では〈整数基〉のとり方によらない方法で論じていて,
私には最も明快でした.

青木昇:素数と2次体の整数論(共立)p.185の記述は,『初等整数論講義』と一見似通っていますが,
こちらには明白な誤りがあります.両方の本を持っている人は,比較されるとよいと思います.

2次体を主テーマとした和書は少なく,『素数と2次体の整数論』には思わず手が伸びましたが,
多くの〈問題点〉がありました.そのことを,amason のレビューに記しました.
ただ,最終章に載っている
 「オイラーの多項式 x^2+x+41 の性質と,虚2次体の類数の関係」
に関する定理とその証明は,この話題に関心のある人には貴重だと思います.
 

Re:誤字

 投稿者:南海  投稿日:2017年 1月17日(火)14時49分13秒
編集済
  ご指摘ありがとうございます。直しておきます。
追伸:とりあえずPDFを直しました。
追伸2:HTMLの方も直しました。
 

誤字

 投稿者:rit  投稿日:2017年 1月17日(火)00時49分37秒
  「整数の基本」11ページ
48=3×18 となっています
 

数学について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 1月13日(金)20時41分33秒
  平面上に直線aと直線βがある。2直線とも平行で、直線aに点が6こ直線βに3こ点がある。この場合の数で、729通りとなるには、どのような問題があるか?教えていただけないでしょうか。お願いできないでしょうか?無理でしたら大丈夫です。すみません。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか  

リンク不備

 投稿者:南海  投稿日:2017年 1月 5日(木)11時25分53秒
  ご指摘有り難うございます.直しておきました.
今後ともよろしくお願いします.
 

(続)エルミート行列

 投稿者:杏里  投稿日:2017年 1月 5日(木)10時39分5秒
編集済
  > 「求めたい」ではなく,存在を証明したかったのでは?

そうでした。

> 「A+xB の固有値が,x=0 のある近傍で,n個の微分可能な関数
> λ_1(x),λ_2(x),...,λ_n(x) によって表される」
> ことを示す必要があったのでは?

えっ!? また勘違いですか?? 完璧だと思ってたのに。。
 

(続)エルミート行列

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 1月 5日(木)09時49分18秒
編集済
  >今,d/dx det((A+xB)^r+mI) |_{x=0}を求めたいのですよね。
「求めたい」ではなく,存在を証明したかったのでは?

>(f_1(x),…,f_n(x)):=F(x):=(A+xB)^r+mI, (g_1(x),…,g_n(x)):=G(x):=d/dx F(x) と置く
「置く」と言う前に,そもそも,(A+xB)^r が(微分可能な関数を成分とする行列として)定義可能であること,つまり
 「A+xB の固有値が,x=0 のある近傍で,n個の微分可能な関数 λ_1(x),λ_2(x),...,λ_n(x) によって表される」
ことを示す必要があったのでは?
 

(続)微分可能性

 投稿者:杏里  投稿日:2017年 1月 5日(木)04時00分9秒
  かたつむり先生。明けましておめでとうございます。

かなり昔の未解決問題です。

http://6504.teacup.com/aozoram/bbs?page=39&

タイトル[微分可能性 ]投稿日:2014年 8月22日(金)17時11分57秒

『[定義] Aをn×n正値エルミート行列,rを0<r≦1なる実数とする時,
A^r:=U^*diag(λ_1^r,λ_2^r,…,λ_n^r)U (但し,Uはユニタリ行列,λ_1,λ_2,…,λ_nはAの固有値)と定義します(指数行列の定義)。
その時, A,Bをn×n正値エルミート行列とし、Iをn×n単位行列,mを自然数とすると
行列式|(A+xB)^r+mI|
がx=0(xは実変数)で微分可能となることが分かりません。
かなり,色々といじってみたのですが(対角化の形にしてみたりとか),なかなか式変形すら大変なようです。
どのようにしてx=0での微分可能性が言えますでしょうか?』

という以前の質問ですがもしかしたら解決したかもです。

今,d/dx det((A+xB)^r+mI) |_{x=0}を求めたいのですよね。
(f_1(x),…,f_n(x)):=F(x):=(A+xB)^r+mI,
(g_1(x),…,g_n(x)):=G(x):=d/dx F(x) と置く(f_1(x),…,f_n(x),g_1(x),…,g_n(x)はF(x),G(x)の列ベクトル)と
d/dx det((A+xB)^r+mI) |_{x=0}=Σ_{k=1..n}det(f_1(0),…,f_{k-1}(0),g_k(0),f_{k+1}(x),…,f_n(x))…(*)と変形できる。

そこで一般の二項定理を使って,
(A+xB)^r=A^r+rA^{r-1}xB+(r(r-1))/2!A^{r-2}(xB)^2+(r(r-1)(r-2))/3!A^{r-3}(xB)^3+…
と書けますよね(勿論,行列の積の順序も考慮せねばなりませんが)。

よって,G(0)=rA^{r-1}B=U^*diag(rλ_1^{r-1},rλ_2^{r-1},…,rλ_n^{r-1})UB、
F(0)=A^r=U^*diag(λ_1^r,λ_2^r,…,λ_n^r)U求まるのでこれらを(*)に代入すればよい。

以上から,

行列式|(A+xB)^r+mI|はx=0で微分可能である。 (終り)

でいかがでしょうか?
 

(無題)

 投稿者:pencil  投稿日:2017年 1月 5日(木)01時08分1秒
  前回は迅速に対応して頂きありがとうございました。

立て続けで恐縮なのですが、他にも修正をお願いしたい箇所が見つかりました。
2014年入試問題研究、微積分野の横浜市大と香川大の解答のリンクが切れてしまっていますのでご確認下さい。
 

京大特色入試4番の一般化

 投稿者:南海  投稿日:2017年 1月 4日(水)14時42分24秒
編集済
  京大特色入試4番の一般化とその解答を掲載しました.かたつむりさんに紹介いただいた

xを実数,mを正整数,nを整数とする.m,nの最大公約数をdとすると,
     Σ{k:from 0 to m-1}[(kn+x)/m]=(m-1)(n-1)/2+(d-1)/2+d[x/d].

を先に証明しておくと,その後はこれ(と近似分数)を使うことで,できました.
本当にいいろいろ勉強になりました.
 

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