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初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月25日(日)11時09分36秒
編集済
  かたつむりさん、私の理解不十分のところを書いてくださって
ありがとうございます。

特に、(ⅱ)については自分でも書いていただいた内容を
考えてみます。②についても、補足の理解しやすい追加文
を入れていただきありがとうございました。

 

Re:リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月25日(日)08時51分31秒
  2月にCieraさんが質問されていたw^2=zで定まるw=f(z)について考えてはどうでしょうか.
これは2価関数なのでC_1とC_2を準備し,複素2次元空間の中で貼り合わせるのでした.
標準的な貼り合わせでは,C_1上の1と,C_2上の1は,ともにC上の1に射影されルのでは?
 

田村二郎著『解析函数』4

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月25日(日)08時06分51秒
編集済
  >それならpr(\bf{z})=zは一→一の関係になってるでは?
どういう意味で「一→一の関係」と書かれたのか分かりませんが,ciera さんの言い方によれば
 「すべての写像は一→一の関係になっている」
ということになりませんか??

>南海先生が仰ったpr(\bf{z})=zは多→一の関係になっているとはどう解釈すればいいのですか?
南海先生が仰ったのは「本書で定義された射影 p は 1対1写像(単射)ではない」ということです.

南海先生.適宜,補足をお願いします.
 

初等整数論講義 §40 ① p.262上部 【追加】

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月25日(日)07時46分56秒
  [問1]
bar{λ} はλで割り切れるか? λ はbar{λ}で割り切れるか?

 

Re:田村二郎著『解析函数』 3

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月24日(土)20時59分37秒
  > この章で,著者は「∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ の元(変数)を\bf{z}で表す」
> と決めたのです.(ごく自然な設定です.)

それならpr(\bf{z})=zは一→一の関係になってるでは?
南海先生が仰ったpr(\bf{z})=zは多→一の関係になっているとはどう解釈すればいいのですか?
 

初等整数論講義 §40 ② p.262下部

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月24日(土)17時55分55秒
編集済
  >β+γ、β+ωγ、β+ω^2γなる3つのものは
>私のこだわった後ろの「・・・」は証明する必要はなくなり、3つの公約数はλだけであることになります。

〈重大な誤解〉をしています.ここで確認すべきは,
 「β+γ, β+ωγ, β+(ω^2)γ の公約数はλ以外にない」
ではありません.本書に明記されているように
 「β+γ, β+ωγ, β+(ω^2)γ のうち,どの二つについても,公約数はλ以外にない」
を証明しなければ先に進めません.つまり,
 「β+ωγ, β+(ω^2)γ の公約数はλ以外にない」と「β+γ,β+(ω^2)γ の公約数はλ以外にない」
の証明も欠かせません.こだわらなければいけない箇所です.でも簡単です.考えてください.

確かに,この小さい活字の3行の段落は不親切だと思います.冒頭部分を
  『β+γ, β+ωγについて,λ以外に公約数があるならば,・・・』
と補い,末尾に
  『β+ωγとβ+(ω^2)γ や β+γとβ+(ω^2)γについても同様.』
を付け足して理解する必要があります.
本書は「その程度のことは読者が読み取る」ことを想定しているのでしょう.

 

初等整数論講義 §40 ① p.262上部

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月24日(土)17時34分45秒
  問題の形式にします.考えてください.

[問1]
bar{λ} はλで割り切れるか?

[問2]
誤植を修正した(4)を用いて,
β+γがλで割り切れるなら,β+ωγ, β+(ω^2)γ もλで割り切れることを示せ.
β+γがλ^2 で割り切れるなら,β+ωγ, β+(ω^2)γ はλ^2 で割り切れないことを示せ.

[問3]
[問2] の結果と,γをωγ,(ω^2)γ で置き換えて得られる結果とを結びつけて,(4)に続く9行の段落を理解せよ.


このように自分で問を立て,それに答えながら読み進めていくとよいです.

p.262 はこの証明(Gauss による)の核心部分です.心して読みたいものです.

 

初等整数論講義 §40 (ii) p.261下部

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月24日(土)17時06分0秒
編集済
  そろそろ収束に向けて話を詰めていこうと思います.

(ii)
>差がλ^4で割り切れるためには、2やー2などにλがつかない形では話にならない。だから、今の段階では0しかないよね。
などと,「言葉の綾」で自身を誤魔化すようなことをしてはいけません.
一点の曇りもなく明確に証明し,行間を埋めなくてはいけません.
確かにここは少し読みにくい所で,私は次のように書き直して理解しました.下から4行目の『まず』の箇所から.

 『まず,m=1 のとき (3) が不可能であること,即ち
    β^3+γ^3=ελ^3(α_0)^3
  が不可能であることを証明する.もし,これを満たす β,γ,ε,α_0 が存在すれば,
  (2) により β^3≡γ^3≡(α_0)^3≡±1 (mod λ^4) なので,
    2≡ε_1 λ^3 (mod λ^4)  ・・・(3.1)
    または
      0≡ε_2 λ^3 (mod λ^4)  ・・・(3.2)
    となる.ε_1,ε_2 は適当な単数である.』

(3.2)が成り立ち得ないことは当然ですが,問題は(3.1)が成り立ち得ないことの証明です.考えてください.
とても「簡単」ですがとても「重要」な論法です.p.263 でも使われています.

他の問題点は別に記します.
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月24日(土)11時53分7秒
編集済
  すみません。下から4行目

今の段階では、0しかない。

に訂正します。
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月24日(土)11時17分45秒
編集済
  かたつむりさんの書いていただいたものを
じっくり考えると、自分なりに理解してきました。

② 「β+γとβ+ωγにはλ以外の公約数が存在しない」だけを
  証明しているのに、私は、「β+ωγとβ+ω^2γにはλ以外の公約数が存在しない」
  の証明このことにこだわり、それがこの2番目の式 ω(β+γ)-(β+ωγ=・・・
  にその根拠があるように思ってしまっていたのです。

 またK(√-3)の整数にωも入っているので、ωを前にかけることにより
 γを消去することにより、右辺をλが出現する簡単な形の式にするため
 創意工夫をしたのですね。

 前の「・・・」が証明されれば2つのものはλ以外に公約数もないので
 β+γ、β+ωγ、β+ω^2γなる3つのものは
 私のこだわった後ろの「・・・」は証明する必要はなくなり、3つの公約数は
 λだけであることになります。

指摘のあったP254の2行目は
γ-β^2とγ+β^2の公約数をtとすると
2数を足しても、引いてもやはりtで割り切れるので

足したもの2γはtで、引いたもの-2β^2はtで割り切れる。
後ろの部分はマイナスをとってもよい。

(ⅱ)±1±1≡ελ^3mα^3(modλ^4)

この段階では、3m乗が4乗まであるかどうか、わからないけれども
差がλ^4で割り切れるためには、2やー2などにλがつかない形では
話にならない。だから、今の段階ではおしかないよね。
と言っているのではないでしょうか。
さらに、次の行でm=1の場合を考えてみると
これは、ダメだよね。と言っているのではないでしょうか
 

田村二郎著『解析函数』 3

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月24日(土)08時43分26秒
編集済
  >ええっ!? 飽く迄\bf{z}は\bf{z}=z_1か\bf{z}=z_2か\bf{z}=z_3かのいずれかだというんですかっ!?

この章で,著者は「∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ の元(変数)を\bf{z}で表す」と決めたのです.(ごく自然な設定です.)
それを「飽くまで受け入れられない」というのなら,数学書を読むことをあきらめるしかありません.
なお,\bf{z}という表記は,本書では「対数関数のRiemann面」の箇所で既に使われています.


>ならどうして太字で書くんでしょうか?

z球面\bar{C}を動く変数zと区別するためでしょう.
「太字で書いてはいけない」という理由はどこにもありません.この場面にふさわしい「いい感じの記法」であると思います.


 

Re:田村二郎著『解析函数』 2

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月23日(金)23時14分49秒
  >>そして,\bf{z}:={z_1,z_2,z_3}と太字で表しているだけの事ではないんですか?
> 違います

ええっ!? 飽く迄\bf{z}は\bf{z}=z_1か\bf{z}=z_2か\bf{z}=z_3かのいずれかだというんですかっ!? ならどうして太字で書くんでしょうか?

>>それなら逆像pr^-1(z)は2個以上の元を持つ集合になると辻褄が合いますよね。
> 逆像の定義を誤解しているようです.「逆像(原像)」は逆写像を持たない
> 写像についても定義される概念です.

それはそうですが。

> 高々非可算集合?!

失礼致しました。非可算集合か高々可算集合でした。
 

田村二郎著『解析函数』 2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月23日(金)07時46分55秒
編集済
  >pr:\bar{C}_1∪\bar{C}_2∪\bar{C}_3→\bar{C}
>という写像を{z_1,z_2,z_3}→pr({z_1,z_2,z_3}):=zで定義するという事ではないんですかね?
>そして,\bf{z}:={z_1,z_2,z_3}と太字で表しているだけの事ではないんですか?
違います.

>それなら逆像pr^-1(z)は2個以上の元を持つ集合になると辻褄が合いますよね。
逆像の定義を誤解しているようです.「逆像(原像)」は逆写像を持たない写像についても定義される概念です.
著者の表現で辻褄の合わない点は一つもありません.

>その旨のΛが一般(高々非可算集合)の時のケースを下記で述べたつもりだった
それは分かっていました.

>高々非可算集合
高々非可算集合?!
 

Re:田村二郎著『解析函数』

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月23日(金)00時49分42秒
  有難うございます。

> 射影 pr:∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ→\bar{C} による z∈\bar{C} の逆像(原像)が
> 2個以上の元をもつ集合になるということでしょうから,何ら矛盾しません.

写像と和集合の定義から
∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ∋√2に対して,∃λ∈Λ;y∈\bar{C}_λでy→pr(y)=

シンプルにΛ={1,2,3}とさせてください。∪_{k=1..3}\bar{C}_k.
この時,\bar{C},\bar{C}_1,\bar{C}_2,\bar{C}_3は集合的には互いに素だが\bar_{C}~\bar{C}_1~\bar{C}_2~\bar{C}_3という解析同型関係になっているのですよね。
そして\bar{C}の元をz,\bar_{C}_1の元をz_1,\bar_{C}_2の元をz_2,\bar_{C}_3の元をz_3と添数を付けて表し,z~z_1~z_2~z_3もその解析同型によって同一視されてる際に
pr:\bar{C}_1∪\bar{C}_2∪\bar{C}_3→\bar{C}
という写像を{z_1,z_2,z_3}→pr({z_1,z_2,z_3}):=zで定義するという事ではないんですかね?

そして,\bf{z}:={z_1,z_2,z_3}と太字で表しているだけの事ではないんですか?

それなら逆像pr^-1(z)は2個以上の元を持つ集合になると辻褄が合いますよね。

その旨のΛが一般(高々非可算集合)の時のケースを下記で述べたつもりだったのですが、、
「よって,
\bf{z}は∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元ではなくて,∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの部分集合,つまりψ_λ:\bar{C}→\bar{C}_λ for∀λ∈Λを解析同型写像とすると,
\bf{z}:=∪_{λ∈Λ}{ψ_λ(z)}⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λと表記するという意味ではないかと推測しましたがこれで正解でしょうか?
これならpr(\bf{z})=zと書く事に辻褄が合うと思います。」
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月22日(木)21時55分38秒
編集済
  かたつむりさん、ありがとうございます。
いろいろと詳しく書いていただいて、感謝します。

②に書いていただいたことは、自分でも、考えてみます。

(ⅱ)書かれた意味の通りです。具体例を示していただいたように
互いに素が理由ではないのがわかりました。
 

初等整数論講義 §40-3

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月22日(木)21時18分2秒
編集済
  ① (4)の2行目の自然な導き方:
  β+(ω^2)γ=β+bar{ω}γ=β+(1-bar{λ})γ=(β+γ)-bar{λ}γ.

これで誤植は修正できましたが,肝心なのは,その下の9行の段落を説明できるかどうかです.


② >式の先頭にどうして、ωがあるのか理解できません。
一言で言えば「γを消去するため」です.最初の (β+γ)-(β+ωγ) は「βを消去するため」の計算です.
(「β+γ,β+ωγ で生成されるイデアルを調べている」と言うことができます.)
この箇所に関連しますが,p.254の2行目
 「γ-β^2,γ+β^2 の公約数は 2γ, 2β^2 の公約数でなければならない」
を説明できますか.


(i) mod λ に関する類別を確認してあれば次のように証明できます:
  ηがλで割り切れなければ,η≡±1 (mod λ) により η^2≡1 (mod λ) であるから,1-η^2≡0 (mod λ).

(ii) >βとγが互いに素だから、その3乗は、一方が1ならば、他方が-1 ・・・
この文は
  βとγが互いに素だから β^3≡1,γ^3≡-1 (mod λ^4) または β^3≡-1,γ^3≡1 (mod λ^4).
    したがって β^3+γ^3≡0 (mod λ^4).
という意味ですか? 合同式を用いて正確に表現しましょう.
上記の意味であるならば,愛さんの主張は間違っています.
β=2, γ=5 は Z[ω] においても素数で,互いに素ですが,
  β^3≡γ^3≡-1 (mod λ^4)
となります.そもそも,β^3+γ^3=ελ^(3m)(α_0)^3 の右辺と切り離して証明できるはずがありません.

【一言】いま必要なことは「自分がどれだけ正確に数学書を読めているか(読めていないか)を徹底的に知ること」であると思います.
「そんなことより,さっさと詳しく説明して欲しい」というお気持ちであれば,他の人に頼んでください.
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月22日(木)19時26分11秒
編集済
  かたつむりさんが書いていただいたものを見て考えました。

①β+ω^2γ=(β+γ)-(2+ω)γ

ここで、λ=1-ωだから、bar{λ}=1-bar{ω}=1-ω^2
                =1+(ω+1)=ω+2

したがって、β+ω^2γ=(β+γ)-bar{λ}γ

②文章を読みましたが、ω(β+γ)-(β+ωγ)=-λβの約数
 の式の先頭にどうして、ωがあるのか理解できません。

(ⅰ)私のように、力技でなく、高度なやり方で勉強になりました。

(ⅱ)βとγが互いに素だから、その3乗は、一方が1ならば、他方が-1
   または、その反対のことが起きるので0となる。

 

田村二郎著『解析函数』

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月22日(木)10時05分35秒
  >しかし,これなら射影pr(\bf{z})=zの意味が分からなくなってしまいますよね(南海先生が'射影は多:一'だと仰ってるし)。
pr(\bf{z})=z の意味は明白です.また,南海先生が「射影は多:一」と仰っているのは,
  射影 pr:∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ→\bar{C} による z∈\bar{C} の逆像(原像)が2個以上の元をもつ集合になる
ということでしょうから,何ら矛盾しません.

>bf{z}:=∪_{λ∈Λ}{ψ_λ(z)}⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λと表記するという意味ではないかと推測しましたがこれで正解でしょうか?
違います.著者は(言うまでもないことですが)正確に表現しています.

本書の記述は,明晰かつ十二分に「厳密」です.
まずは,本書の記述に即して理解することが必要だと思います.
 

返事

 投稿者:  投稿日:2016年 9月22日(木)10時03分17秒
  かたつむりさん、ていねいに、書いていただいてありがとうございます。
また、わたしの理解不十分な点も補足していただいて感謝しています。

プリントアウトして自分でも書いていただいた内容を考えてみます。

 

初等整数論講義 §40-2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月22日(木)09時36分43秒
編集済
 
>β+ω^2=(β+γ)-(ω+2)γ と私の計算した結果が正しい。ということでよいのですね。
このままでは(4)に続く9行の段落に活かせません.誤植を修正すると
 β+(ω^2)γ=(β+γ)-bar{λ}γ
となります.(バーが抜け落ちた.)
これは直ちに導くことのできる等式ですが,導けますか.
また,これによって下の9行の段落を説明できますか.それには bar{λ} に関するある性質が鍵になります.


>「差を考える」ことをしているように思えるのですが、目的は見えてきません。
当然,ここは,直前の一文の根拠を記す場面です.小さい字の3行の段落では
 「β+γ と β+ωγ にはλ以外の公約数が存在しない」
ことを証明しています.この証明は「p.254の2行目」や「Euclid の互除法」と同類です.
「β+ωγとβ+(ω^2)γにはλ以外の公約数が存在しない」,「β+(ω^2)γとβ+γにはλ以外の公約数が存在しない」の証明は
省略されています.

>もう少し、わかるように教えていただけませんか。
最初から詳しく説明することは,もうしません.(私は.)
理由は,直前の投稿に記しました.


(i) >計算は長いものの3の倍数となることが示せます。
1-η^2=(1+η)(1-η) かつ 1-ηはη-1 と同伴なので,η,η+1,η-1 のうちの一つがλの(即ち√(-3) の)倍数であることを
確認すればよい.これが本筋です.この場面で
「mod λ に関する類別で Z[ω] は3つの類に分かれ,それらは 0,1,-1 によって代表される」
ことを確認しておくべきでしょう.これは,p.247 下部〔注意〕に対応することです.

(ii) >λのあるほうはλ^4で割れる
違います.λ^(3m) は,m=1のときλ^4 で割り切れません.
愛さんの論法では,肝心の「m=1 のとき(3)は不可能」が示せません.

【追記】①の3行目を修正しました.
 

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