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Re: 田村二郎著『解析函数』 5

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月27日(火)02時14分55秒
  有難うございます。分かりかけてきました。

> \bf{D}_1∩\bf{D}_2=φ という意味です.

そうしますと,書籍での\bf{D}_λの定義は
\bf{D}_λ:pr^-1(D_λ)∩\bar{C}_λとすべきなのですね?
 

初等整数論講義 §40 ①【解説】(締めくくり)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月26日(月)21時01分24秒
  >ゆえに、λはbar{μ}でわりきれる。
bar{μ}はbar{λ}の書き間違いですが,きれいに解決しましたね.

様々な方法が考えられますが,一つだけ記します.

[問1] の【解答例】
  bar{λ}=1-bar{ω}=1-ω^2=(1+ω)(1-ω)
      =(-ω^2)λ
であるから,bar{λ}はλで割り切れる.ここで,(-ω^2) は単数で,(-ω)(-ω^2)=1 であるから,
  λ=(-ω)bar{λ}.
つまり,λは bar{λ}で割り切れ,λ と bar{λ} は同伴である.

複素平面上でλ, bar{λ}, √(-3) が原点を中心とする正六角形の3頂点になっていることからも,
これら3数が同伴であることが分かります.

p.247 に「λ=1-i は(Z[i] において)素数で,その共軛 bar{λ}=1+i=iλ と同伴である.」とあります.
Z[i] において,素数λ=1-i は特別な存在でした.
[問1] はこのことに対応するものです.

λ と bar{λ} が同伴であることを確認したので,誤植を修正した(4)を用いれば [問2], [問3] を解決できると思います.
やり取りが長くなりましたし,Gauss による証明の核心部分(一番美味しい所)はご自分でじっくり味わってください.
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月26日(月)20時27分17秒
編集済
  問題1追加 λは、bar{λ}で割れきれるか?

証明 先のことから、bar{λ}は、λで割り切れるので

  bar{λ}=λμ ただし、μはK(√ー3)の整数

と書ける。両辺の共役をとると

bar{bar(λ)}=bar{λμ}

 λ=bar{λ}bar{μ}

ここで、bar{μ}もK(√-3)の整数

ゆえに、λはbar{μ}でわりきれる。



 

初等整数論講義 §40 ① p.262上部-2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月26日(月)13時55分36秒
編集済
  問を付け足していたのですが,
 [問1] bar{λ} はλで割り切れるか? λは bar{λ} で割り切れるか?
の後半はどうなりますか?
計算とは別に,複素平面上に λ, bar{λ}, √(-3) を図示してみることをお勧めします.

先の投稿で「締めくくりの言葉」を書いてしまいましたが,上記の問の答を伺ってから【解説】を書きます.
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月26日(月)11時51分19秒
編集済
  問題1 bar{λ}はλで割り切れるか

証明 bar{λ}=1-bar{ω}=1-ω^2
       =1-(-ω-1)=2+ω
       =2-(-1)ω となりP258問題1より
    2≡-1(mod3)なので、bar{λ}は、λで割り切れる。


 

初等整数論講義(締めくくり)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月26日(月)08時31分44秒
編集済
  >懇切丁寧に、説明していただき、感謝しています。
「締めくくり」のお言葉のようなので,私もこれにて締めくくります.
おかげさまで私自身の「第4章」についての理解が深まりました.

>一つの、技術として覚えておきます。
p.36-p.40 にも出てきます.単なる「技術」ではありません.
van der Waerden の『代数学』を読まれていたと記憶していますが,環準同型について,これに対応することを学んでいると思います.

先に,
>今努力しているのは、わからないところをほったらかしにしないで徹底的にわかるようにするということをしています。
と書かれていましたが,実際には
「分かっていないこと自体に気づかない」とか「疑問を持って立ち止まり深く検討するべき所を素通りしてしまう」
ことが多々あるように思います.これが独習で陥りやすい陥穽です.
独習では特に,自身の力に合った書物の選択が重要となります.
 

田村二郎著『解析函数』 5

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月26日(月)08時03分55秒
編集済
  >'これまでのところ,\bf{D}_λは互いに交わらない領域であるが' の箇所は,
>pr^-1(D_1)∩\bar{C}_1=φという意味でしょうか?

\bf{D}_1∩\bf{D}_2=φ という意味です.(最初書き間違えました.修正済.)
 

Re:リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月26日(月)05時23分55秒
  > 南海先生が仰ったのは「本書で定義された射影 p は
> 1対1写像(単射)ではない」ということです

了解です。
pr:∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ→\bar{C}は部分集合{z_λ}_{λ∈Λ}⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λに対して,pr(∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ):={z}と定義するのですね
(zとz_λは同一視,z~z_λ for∀λ∈Λ)。

Λ={1,2,3}の場合,\bar{C}_1∪\bar{C}_2∪\bar{C}_3の元がz_1∈\bar{C}_1ならpr(z_1)=zでpr^-1{z}={z_1,z_2,z_3} (z_1~z_2~z_3~z)と言えるのですね。

> 2月にCieraさんが質問されていたw^2=zで定まるw=f(z)について考えてはどうでしょうか.

了解です。シンプルにΛ:={1,2}で順を追って考えてさせて下さい。今,\bar{C}_1~\bar{C}_2~\bar{C}と解析同型になっています
(勿論,当初の質問:\bar{C}_1∩\bar{C}=\bar{C}_2∩\bar{C}=\bar{C}_1∩\bar{C}_2=φである事は明らかでした(^_^;))。

z∈\bar{C}に同一視される\bar{C}_1の元はz_1,\bar{C}_2の元はz_2と表す事にします(記号で表すとz~z_1~z_2)。
この時,pr(z_1)=zでpr^-1(z)={z_1,z_2}…(ア)となるわけですね(※書籍ではこのz_1やz_2を\bf{z}と表してたのですね)。

そして,'λを任意に決め'とありますのでここでは例えばλ:=1と決めますと,
D_1⊂\bar{C}と同じ領域を\bar{C}_1に中に定めるとは,今pr^-1(D_1)⊂\bar{C}_1∪\bar{C}_2となっているので(∵定義(ア)),
\bf{D}_1:=pr^-1(D_1)∩\bar{C}_1と\bf{D}_1を定義するのですね。

'これまでのところ,\bf{D}_λは互いに交わらない領域であるが' の箇所は,
私の例では\bf{D_1}は互いに交わらない,つまりpr^-1(D_1)∩\bar{C}_1は互いに交わらないという事になりますが,
pr^-1(D_1)∩\bar{C}_1=φという意味でしょうか?
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月25日(日)22時02分30秒
編集済
  かたつむりさん、ていねいに、たくさん書いていただいて
ありがとうございます。
今の自分には、λ^3で割り切れることに置き換えて考える
発想がすぐ出てきません。
なるほどと思いました。その発想がP263にも使われているのですね。
一つの、技術として覚えておきます。

②の件は、やはり、行間を読むのはまだまだだなと思いました。
書いていることで、精一杯、書いていないことまで力が及ばない。

情けない話ですが、これが今の私の力です。2,3のことですが
多くのことを学ばせていただきました。

こんな私のために、懇切丁寧に、説明していただき、感謝しています。
かたつむりさん、お世話になりありがとうございました。


 

Re:田村二郎著『解析函数』

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月25日(日)20時42分12秒
  手元にないと不自由で,また大切な本ですので,中古本を注文しました.
しばしお待ち下さい.
 

初等整数論講義 §40 (ii)【解説】

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月25日(日)18時30分32秒
編集済
  >差が、λ^4で割り切れるためには、最低両辺にλ^4がなければならない。
これは間違っています.根拠になりません.例えば,有理整数の範囲で
  (2^4)(3^2)≡7(3^2)  (mod 3^4)
が成り立ちます.

(3.1) が成り立ち得ないことの証明.
   2≡ε_1 λ^3 (mod λ^4)  が成り立ったとすると,
   2≡ε_1 λ^3 (mod λ^3) が成り立つので,       ←このステップが重要(簡単!)
   2≡0 (mod λ^3) となる.
  これは「2(素元)がλ^3 で割り切れない」ことと矛盾する.


p.263 (6) から次の合同式を導く過程.
  (β')^3+θ(γ')^3=θ'λ^{3(m-1)}(α')^3
    から,(2) により,まず
   ±1±θ≡±θ'λ^{3(m-1)}  (mod λ^4)
    を得る.だから
   ±1±θ≡±θ'λ^{3(m-1)}  (mod λ^3)
    が成り立つ.ここで,m>1 により 3(m-1)≧3 であるので
   ±1±θ≡0  (mod λ^3).
 

初等整数論講義 §40 ②【解説】

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月25日(日)18時07分27秒
編集済
  >②の件は、自分なりに納得がなんとなく行く
数学の学習では,「なんとなく分かる」は「分かっていない」と同義です.

・次の2つの違いは明確になっていますか?
  「β+γ, β+ωγ, β+(ω^2)γ の公約数はλ以外にない」
  「β+γ, β+ωγ, β+(ω^2)γ のうち,どの二つについても,公約数はλ以外にない」

例えば「6,8,12 の公約数は2以外にない」は正しいが,
  「6,8,12 のうち,どの二つについても,公約数は2以外にない」
とは言えない,ということと同じです.

・「β+ωγ, β+(ω^2)γ の公約数はλ以外にない」の証明はできましたか?

「β+γ, β+ωγ の公約数はλ以外にない」の証明に用いた2つの等式
  (β+γ)-(β+ωγ)=λγ, ω(β+γ)-(β+ωγ)=-λβ
において,γをωγで置き換えて得られる等式を用いれば,「β+ωγ, β+(ω^2)γ の公約数はλ以外にない」が示されます.

残り一つの命題の等式についても同様です.

【追記】「公約数はλ以外にない」はもちろん「公約数は(単数を度外視して)λ以外にない」の意味です.著者の表現に合わせています.
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月25日(日)15時27分43秒
編集済
  ②の件は、自分なりに納得がなんとなく行くのですが
(ⅱ)の件はなぜ書いていただいた(3.1)が成り立たないのかわかりません。

P263も参照するのですが、わかりません。そのP263は、自分なりに
証明は納得して読んでいるのですが、それが(3.1)に類似するのかわかりません。
やはり差が、λ^4で割り切れるためには、最低両辺にλ^4がなければならない。
しかし、2の側にはそのλが1個さえない。と考えるのです。
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月25日(日)11時09分36秒
編集済
  かたつむりさん、私の理解不十分のところを書いてくださって
ありがとうございます。

特に、(ⅱ)については自分でも書いていただいた内容を
考えてみます。②についても、補足の理解しやすい追加文
を入れていただきありがとうございました。

 

Re:リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月25日(日)08時51分31秒
  2月にCieraさんが質問されていたw^2=zで定まるw=f(z)について考えてはどうでしょうか.
これは2価関数なのでC_1とC_2を準備し,複素2次元空間の中で貼り合わせるのでした.
標準的な貼り合わせでは,C_1上の1と,C_2上の1は,ともにC上の1に射影されルのでは?
 

田村二郎著『解析函数』4

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月25日(日)08時06分51秒
編集済
  >それならpr(\bf{z})=zは一→一の関係になってるでは?
どういう意味で「一→一の関係」と書かれたのか分かりませんが,ciera さんの言い方によれば
 「すべての写像は一→一の関係になっている」
ということになりませんか??

>南海先生が仰ったpr(\bf{z})=zは多→一の関係になっているとはどう解釈すればいいのですか?
南海先生が仰ったのは「本書で定義された射影 p は 1対1写像(単射)ではない」ということです.

南海先生.適宜,補足をお願いします.
 

初等整数論講義 §40 ① p.262上部 【追加】

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月25日(日)07時46分56秒
  [問1]
bar{λ} はλで割り切れるか? λ はbar{λ}で割り切れるか?

 

Re:田村二郎著『解析函数』 3

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月24日(土)20時59分37秒
  > この章で,著者は「∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ の元(変数)を\bf{z}で表す」
> と決めたのです.(ごく自然な設定です.)

それならpr(\bf{z})=zは一→一の関係になってるでは?
南海先生が仰ったpr(\bf{z})=zは多→一の関係になっているとはどう解釈すればいいのですか?
 

初等整数論講義 §40 ② p.262下部

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月24日(土)17時55分55秒
編集済
  >β+γ、β+ωγ、β+ω^2γなる3つのものは
>私のこだわった後ろの「・・・」は証明する必要はなくなり、3つの公約数はλだけであることになります。

〈重大な誤解〉をしています.ここで確認すべきは,
 「β+γ, β+ωγ, β+(ω^2)γ の公約数はλ以外にない」
ではありません.本書に明記されているように
 「β+γ, β+ωγ, β+(ω^2)γ のうち,どの二つについても,公約数はλ以外にない」
を証明しなければ先に進めません.つまり,
 「β+ωγ, β+(ω^2)γ の公約数はλ以外にない」と「β+γ,β+(ω^2)γ の公約数はλ以外にない」
の証明も欠かせません.こだわらなければいけない箇所です.でも簡単です.考えてください.

確かに,この小さい活字の3行の段落は不親切だと思います.冒頭部分を
  『β+γ, β+ωγについて,λ以外に公約数があるならば,・・・』
と補い,末尾に
  『β+ωγとβ+(ω^2)γ や β+γとβ+(ω^2)γについても同様.』
を付け足して理解する必要があります.
本書は「その程度のことは読者が読み取る」ことを想定しているのでしょう.

 

初等整数論講義 §40 ① p.262上部

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月24日(土)17時34分45秒
  問題の形式にします.考えてください.

[問1]
bar{λ} はλで割り切れるか?

[問2]
誤植を修正した(4)を用いて,
β+γがλで割り切れるなら,β+ωγ, β+(ω^2)γ もλで割り切れることを示せ.
β+γがλ^2 で割り切れるなら,β+ωγ, β+(ω^2)γ はλ^2 で割り切れないことを示せ.

[問3]
[問2] の結果と,γをωγ,(ω^2)γ で置き換えて得られる結果とを結びつけて,(4)に続く9行の段落を理解せよ.


このように自分で問を立て,それに答えながら読み進めていくとよいです.

p.262 はこの証明(Gauss による)の核心部分です.心して読みたいものです.

 

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