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初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月24日(土)11時53分7秒
編集済
  すみません。下から4行目

今の段階では、0しかない。

に訂正します。
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月24日(土)11時17分45秒
編集済
  かたつむりさんの書いていただいたものを
じっくり考えると、自分なりに理解してきました。

② 「β+γとβ+ωγにはλ以外の公約数が存在しない」だけを
  証明しているのに、私は、「β+ωγとβ+ω^2γにはλ以外の公約数が存在しない」
  の証明このことにこだわり、それがこの2番目の式 ω(β+γ)-(β+ωγ=・・・
  にその根拠があるように思ってしまっていたのです。

 またK(√-3)の整数にωも入っているので、ωを前にかけることにより
 γを消去することにより、右辺をλが出現する簡単な形の式にするため
 創意工夫をしたのですね。

 前の「・・・」が証明されれば2つのものはλ以外に公約数もないので
 β+γ、β+ωγ、β+ω^2γなる3つのものは
 私のこだわった後ろの「・・・」は証明する必要はなくなり、3つの公約数は
 λだけであることになります。

指摘のあったP254の2行目は
γ-β^2とγ+β^2の公約数をtとすると
2数を足しても、引いてもやはりtで割り切れるので

足したもの2γはtで、引いたもの-2β^2はtで割り切れる。
後ろの部分はマイナスをとってもよい。

(ⅱ)±1±1≡ελ^3mα^3(modλ^4)

この段階では、3m乗が4乗まであるかどうか、わからないけれども
差がλ^4で割り切れるためには、2やー2などにλがつかない形では
話にならない。だから、今の段階ではおしかないよね。
と言っているのではないでしょうか。
さらに、次の行でm=1の場合を考えてみると
これは、ダメだよね。と言っているのではないでしょうか
 

田村二郎著『解析函数』 3

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月24日(土)08時43分26秒
編集済
  >ええっ!? 飽く迄\bf{z}は\bf{z}=z_1か\bf{z}=z_2か\bf{z}=z_3かのいずれかだというんですかっ!?

この章で,著者は「∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ の元(変数)を\bf{z}で表す」と決めたのです.(ごく自然な設定です.)
それを「飽くまで受け入れられない」というのなら,数学書を読むことをあきらめるしかありません.
なお,\bf{z}という表記は,本書では「対数関数のRiemann面」の箇所で既に使われています.


>ならどうして太字で書くんでしょうか?

z球面\bar{C}を動く変数zと区別するためでしょう.
「太字で書いてはいけない」という理由はどこにもありません.この場面にふさわしい「いい感じの記法」であると思います.


 

Re:田村二郎著『解析函数』 2

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月23日(金)23時14分49秒
  >>そして,\bf{z}:={z_1,z_2,z_3}と太字で表しているだけの事ではないんですか?
> 違います

ええっ!? 飽く迄\bf{z}は\bf{z}=z_1か\bf{z}=z_2か\bf{z}=z_3かのいずれかだというんですかっ!? ならどうして太字で書くんでしょうか?

>>それなら逆像pr^-1(z)は2個以上の元を持つ集合になると辻褄が合いますよね。
> 逆像の定義を誤解しているようです.「逆像(原像)」は逆写像を持たない
> 写像についても定義される概念です.

それはそうですが。

> 高々非可算集合?!

失礼致しました。非可算集合か高々可算集合でした。
 

田村二郎著『解析函数』 2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月23日(金)07時46分55秒
編集済
  >pr:\bar{C}_1∪\bar{C}_2∪\bar{C}_3→\bar{C}
>という写像を{z_1,z_2,z_3}→pr({z_1,z_2,z_3}):=zで定義するという事ではないんですかね?
>そして,\bf{z}:={z_1,z_2,z_3}と太字で表しているだけの事ではないんですか?
違います.

>それなら逆像pr^-1(z)は2個以上の元を持つ集合になると辻褄が合いますよね。
逆像の定義を誤解しているようです.「逆像(原像)」は逆写像を持たない写像についても定義される概念です.
著者の表現で辻褄の合わない点は一つもありません.

>その旨のΛが一般(高々非可算集合)の時のケースを下記で述べたつもりだった
それは分かっていました.

>高々非可算集合
高々非可算集合?!
 

Re:田村二郎著『解析函数』

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月23日(金)00時49分42秒
  有難うございます。

> 射影 pr:∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ→\bar{C} による z∈\bar{C} の逆像(原像)が
> 2個以上の元をもつ集合になるということでしょうから,何ら矛盾しません.

写像と和集合の定義から
∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ∋√2に対して,∃λ∈Λ;y∈\bar{C}_λでy→pr(y)=

シンプルにΛ={1,2,3}とさせてください。∪_{k=1..3}\bar{C}_k.
この時,\bar{C},\bar{C}_1,\bar{C}_2,\bar{C}_3は集合的には互いに素だが\bar_{C}~\bar{C}_1~\bar{C}_2~\bar{C}_3という解析同型関係になっているのですよね。
そして\bar{C}の元をz,\bar_{C}_1の元をz_1,\bar_{C}_2の元をz_2,\bar_{C}_3の元をz_3と添数を付けて表し,z~z_1~z_2~z_3もその解析同型によって同一視されてる際に
pr:\bar{C}_1∪\bar{C}_2∪\bar{C}_3→\bar{C}
という写像を{z_1,z_2,z_3}→pr({z_1,z_2,z_3}):=zで定義するという事ではないんですかね?

そして,\bf{z}:={z_1,z_2,z_3}と太字で表しているだけの事ではないんですか?

それなら逆像pr^-1(z)は2個以上の元を持つ集合になると辻褄が合いますよね。

その旨のΛが一般(高々非可算集合)の時のケースを下記で述べたつもりだったのですが、、
「よって,
\bf{z}は∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元ではなくて,∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの部分集合,つまりψ_λ:\bar{C}→\bar{C}_λ for∀λ∈Λを解析同型写像とすると,
\bf{z}:=∪_{λ∈Λ}{ψ_λ(z)}⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λと表記するという意味ではないかと推測しましたがこれで正解でしょうか?
これならpr(\bf{z})=zと書く事に辻褄が合うと思います。」
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月22日(木)21時55分38秒
編集済
  かたつむりさん、ありがとうございます。
いろいろと詳しく書いていただいて、感謝します。

②に書いていただいたことは、自分でも、考えてみます。

(ⅱ)書かれた意味の通りです。具体例を示していただいたように
互いに素が理由ではないのがわかりました。
 

初等整数論講義 §40-3

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月22日(木)21時18分2秒
編集済
  ① (4)の2行目の自然な導き方:
  β+(ω^2)γ=β+bar{ω}γ=β+(1-bar{λ})γ=(β+γ)-bar{λ}γ.

これで誤植は修正できましたが,肝心なのは,その下の9行の段落を説明できるかどうかです.


② >式の先頭にどうして、ωがあるのか理解できません。
一言で言えば「γを消去するため」です.最初の (β+γ)-(β+ωγ) は「βを消去するため」の計算です.
(「β+γ,β+ωγ で生成されるイデアルを調べている」と言うことができます.)
この箇所に関連しますが,p.254の2行目
 「γ-β^2,γ+β^2 の公約数は 2γ, 2β^2 の公約数でなければならない」
を説明できますか.


(i) mod λ に関する類別を確認してあれば次のように証明できます:
  ηがλで割り切れなければ,η≡±1 (mod λ) により η^2≡1 (mod λ) であるから,1-η^2≡0 (mod λ).

(ii) >βとγが互いに素だから、その3乗は、一方が1ならば、他方が-1 ・・・
この文は
  βとγが互いに素だから β^3≡1,γ^3≡-1 (mod λ^4) または β^3≡-1,γ^3≡1 (mod λ^4).
    したがって β^3+γ^3≡0 (mod λ^4).
という意味ですか? 合同式を用いて正確に表現しましょう.
上記の意味であるならば,愛さんの主張は間違っています.
β=2, γ=5 は Z[ω] においても素数で,互いに素ですが,
  β^3≡γ^3≡-1 (mod λ^4)
となります.そもそも,β^3+γ^3=ελ^(3m)(α_0)^3 の右辺と切り離して証明できるはずがありません.

【一言】いま必要なことは「自分がどれだけ正確に数学書を読めているか(読めていないか)を徹底的に知ること」であると思います.
「そんなことより,さっさと詳しく説明して欲しい」というお気持ちであれば,他の人に頼んでください.
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月22日(木)19時26分11秒
編集済
  かたつむりさんが書いていただいたものを見て考えました。

①β+ω^2γ=(β+γ)-(2+ω)γ

ここで、λ=1-ωだから、bar{λ}=1-bar{ω}=1-ω^2
                =1+(ω+1)=ω+2

したがって、β+ω^2γ=(β+γ)-bar{λ}γ

②文章を読みましたが、ω(β+γ)-(β+ωγ)=-λβの約数
 の式の先頭にどうして、ωがあるのか理解できません。

(ⅰ)私のように、力技でなく、高度なやり方で勉強になりました。

(ⅱ)βとγが互いに素だから、その3乗は、一方が1ならば、他方が-1
   または、その反対のことが起きるので0となる。

 

田村二郎著『解析函数』

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月22日(木)10時05分35秒
  >しかし,これなら射影pr(\bf{z})=zの意味が分からなくなってしまいますよね(南海先生が'射影は多:一'だと仰ってるし)。
pr(\bf{z})=z の意味は明白です.また,南海先生が「射影は多:一」と仰っているのは,
  射影 pr:∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ→\bar{C} による z∈\bar{C} の逆像(原像)が2個以上の元をもつ集合になる
ということでしょうから,何ら矛盾しません.

>bf{z}:=∪_{λ∈Λ}{ψ_λ(z)}⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λと表記するという意味ではないかと推測しましたがこれで正解でしょうか?
違います.著者は(言うまでもないことですが)正確に表現しています.

本書の記述は,明晰かつ十二分に「厳密」です.
まずは,本書の記述に即して理解することが必要だと思います.
 

返事

 投稿者:  投稿日:2016年 9月22日(木)10時03分17秒
  かたつむりさん、ていねいに、書いていただいてありがとうございます。
また、わたしの理解不十分な点も補足していただいて感謝しています。

プリントアウトして自分でも書いていただいた内容を考えてみます。

 

初等整数論講義 §40-2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月22日(木)09時36分43秒
編集済
 
>β+ω^2=(β+γ)-(ω+2)γ と私の計算した結果が正しい。ということでよいのですね。
このままでは(4)に続く9行の段落に活かせません.誤植を修正すると
 β+(ω^2)γ=(β+γ)-bar{λ}γ
となります.(バーが抜け落ちた.)
これは直ちに導くことのできる等式ですが,導けますか.
また,これによって下の9行の段落を説明できますか.それには bar{λ} に関するある性質が鍵になります.


>「差を考える」ことをしているように思えるのですが、目的は見えてきません。
当然,ここは,直前の一文の根拠を記す場面です.小さい字の3行の段落では
 「β+γ と β+ωγ にはλ以外の公約数が存在しない」
ことを証明しています.この証明は「p.254の2行目」や「Euclid の互除法」と同類です.
「β+ωγとβ+(ω^2)γにはλ以外の公約数が存在しない」,「β+(ω^2)γとβ+γにはλ以外の公約数が存在しない」の証明は
省略されています.

>もう少し、わかるように教えていただけませんか。
最初から詳しく説明することは,もうしません.(私は.)
理由は,直前の投稿に記しました.


(i) >計算は長いものの3の倍数となることが示せます。
1-η^2=(1+η)(1-η) かつ 1-ηはη-1 と同伴なので,η,η+1,η-1 のうちの一つがλの(即ち√(-3) の)倍数であることを
確認すればよい.これが本筋です.この場面で
「mod λ に関する類別で Z[ω] は3つの類に分かれ,それらは 0,1,-1 によって代表される」
ことを確認しておくべきでしょう.これは,p.247 下部〔注意〕に対応することです.

(ii) >λのあるほうはλ^4で割れる
違います.λ^(3m) は,m=1のときλ^4 で割り切れません.
愛さんの論法では,肝心の「m=1 のとき(3)は不可能」が示せません.

【追記】①の3行目を修正しました.
 

re:解析函数のリーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月22日(木)07時51分51秒
  南海先生,かたつむり先生遅くなりまして大変申し訳ありません。

> 「張」は「貼」の方ですね.

有難うございます。

> 「有理形関数」は「有理型関数」ですね.

了解しました。

> f_Dなどが有理型関数でいいのかどうか,もういちど本で確認してください.

'D_λはz球面\bar{C}の領域'と述べてあるので有理型関数だと思いますが。

> 理論体系を自分で再構成してみるつもりでノートをとりながら読んでください.

了解しました。

> ベクトルとは線型空間の元のことです.単なる集合の
> (2個以上の)直積の元をベクトルとは呼びません.

列もしくは組と呼ぶべきでした。

> 本書(旧版)における「射影 p」は ∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ から \bar{C} への写像です.

そのように書いてありました。失礼致しました。

\bf{z}は太字で書いてあったり射影という言葉が現れたりしてたので\bf{z}は直積集合Π_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元かと思ってしまいました。

それでもう一度当書を見てみますと,\bf{z}は和集合∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元だと述べてありますよね。
もしそうなら厳密には∃λ∈Λ;\bf{z}∈\bar{C}_λと言えますね(∵和集合の定義)。
しかし,これなら射影pr(\bf{z})=zの意味が分からなくなってしまいますよね(南海先生が'射影は多:一'だと仰ってるし)。

よって,
\bf{z}は∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元ではなくて,∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの部分集合,つまりψ_λ:\bar{C}→\bar{C}_λ for∀λ∈Λを解析同型写像とすると,
\bf{z}:=∪_{λ∈Λ}{ψ_λ(z)}⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λと表記するという意味ではないかと推測しましたがこれで正解でしょうか?
これならpr(\bf{z})=zと書く事に辻褄が合うと思います。

> 話の出発点である解析函数 f とその枝 f_λ (λ∈Λ) はどこに行ってしまったのか.
> ここでの目標は「解析函数 f のリーマン面」を定義することだったと思います.

F={f_λ:D_λ→\bar{C}は有理型関数;λ∈Λ} (ここで\bar{C}⊃D_λは領域)の事ですね。少しお時間を下さい。

> 「旧版」では∞を含めて考えています.(そうしないとリーマン球面 \bar{C} を導入した意味がありません.)

しっかり覚えておきます。

> また「旧版」では,「2つの有理型函数 f_λ,f_μ が点aにおいて同値 f_λ~f_μ (a)」という概念に基づいて
> 「貼り合わせ」を定義しています.その方が自然です.というか,この概念は必須です.

a∈D_λ∩D_μ⊂\bar{C}にてf_λ~f_μの定義は
f_λ(z)=Σ_[k∈Z..+∞]a_n(z-a)^n,f_μ(z)=Σ_[k'∈Z..+∞]a'_n(z-a)^nとaを中心にLaurent展開した時に,k=k',a_n=a'_nとなる事でした。
それでもって,
f_λはf_μに(a∈)⊿⊂D_λ∩D_μな連結成分⊿にて'貼り付け'られるの定義は,f_λがf_μに⊿にて直接接続になっている事ですね。

【追記】ここで正則函数に限定すると「解析函数のリーマン面」の定義に到達することは不可能です.
なお,本書の記述は十分に「厳密」です.

了解いたしました。これについも少しお時間を下さい。
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月21日(水)20時20分6秒
  ①については

β+ω^2=(β+γ)-(ω+2)γ

と私の計算した結果が正しい。ということでよいのですね。

②「差を考える」ことをしているように思えるのですが、目的は見えてきません。
もう少し、わかるように教えていただけませんか。

以下については自分のノートで実際確かめています。

(ⅰ)η=x-yωとおくとき
 x≡y(mod3)のときは割り切れることは明らか。
そうでないときは、x-y=±1(mod3)
x-y=±1+3a(a:整数)
x=…にしたものを1-η^2に代入し計算し、問題1を適用すれば
計算は長いものの3の倍数となることが示せます。

(ⅱ)についても、左辺が2やー2ならば左辺から右辺の差をとった場合
 λのあるほうはλ^4で割れるが、2やー2はλがないので割り切れない
 したがって、左辺は0

(ⅲ)三辺の右辺を左辺に移行して、非自明解なので係数行列式=0をつかえば理解できる
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月21日(水)16時25分21秒
  かたつむりさん、ありがとうございます。
書いていただいた内容をゆっくりとみてみます。

①は、誤植でしたか、②はよく読んでみます。

後ほど、返事します。いましばらく時間をください。
 

初等整数論講義 §40

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月21日(水)11時17分55秒
編集済
 
>β+ω^2γ=(β+γ)-λγ
誤植であることに,即気づかなくてはいけません.これが正しければ ω=ω^2 が成り立ってしまいます.

>左辺=・・・=(β+γ)-(ω+2)γ
これを導いてもこのままでは,その後の数行の推論には役立ちません.


>なぜ左が、ω(β+γ)となるのでしょうか?
>(5)で3式の差をとるのであれば、
「差を考える」ことがここでの目的ではありません.


これらを解明できないのは「本書のここまでの部分をちゃんと読めていない」証しです.
明快に解説することは難しくありませんが,愛さんが「それを読んで安心して次に進んでしまう」のでは同じことの繰り返しです.
(結局,解説する側の私の勉強になるだけです.)
本書は「この程度の行間は自力で埋められる」ような読者を想定しているはずです.

①, ② と同程度のポイントが§40 にはいくつもあります.例えば次のことは証明済みですか.

(i)   p.261 13行目「ηか 1-η^2 かが√(-3) で割り切れる.」
(ii)  p.261 下から3行目「左辺は0であることを要する.」
(iii) p.263 7行目「行列式が0に等しい.」

 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月21日(水)10時19分0秒
  x^3+y^3=z^3の不可能性の証明
全体の流れは、理解できるのですが2か所わからないところがあるので教えてください。

①P262上から8行目(4)なる下の式はどうしてもそうなりません。

 β+ω^2γ=(β+γ)-λγ

自分は、ωは3乗根なので、ω^2=-ω-1を左辺に代入して

左辺=β+(-ω-1)γ=β-ωγ-γ
  =β+γ-ωγ-γ-γ=(β+γ)-(ω+2)γ

ここで、λとω+2が同じことがいえるのでしょうか?
λ=1-ωは、既知

②下から6行目
ω(β+γ)-(β+ωγ)=-λβとありますが
なぜ左が、ω(β+γ)となるのでしょうか?

(5)で3式の差をとるのであれば、左の式は
β+ω^2γをとるべきではないのでしょうか?
もちろんそうすれば、右辺は変わってくると思いますが

よろしくお願いします。
 

Re:数論初歩 演習問題

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月18日(日)22時51分41秒
編集済
  ご指摘有り難うございます.直しておきました.  

数論初歩 演習問題

 投稿者:よおすけ  投稿日:2016年 9月18日(日)12時24分24秒
  問題48の「平方数の和で表せ」の解答48で、13だけまちがいがありました。

誤:13=9^2+2^2
正:13=3^2+2^2
 

数学の本を読むとき 2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月18日(日)12時23分19秒
  人様の学習方針に口出しは無用と思いますが一言(?)述べます.(これを最後とします.)

>今年中に何とかこの本を読み切るのが私の目標です。
期限は設定しない方が良いと思います.『初等整数論講義』はそれほど軽い書物ではありません.
特に最後の「附録の章」については,第4章・第5章を「自分の言葉で語れる」ようになっていなければ手を着けることすら無理です.

なお「自分の言葉で語れるように再構成する」は,何ら特別なことではなく,数学の学習「そのもの」です.
これを欠いて数学を学ぶということはあり得ません.
 

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