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初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月16日(金)11時15分59秒
  すみません、一つ質問させてください。
P261上から10行目

ε(たぶんξの間違い)が√-3で割れないならば(P258注意)

   ±ξ=1+η√-3

とありますが、なぜこのような形であらわせれるのかわかりません。

もちろんλ~√-3は注意から理解しています。
さらに、P258問題1

ξ=x-yωがλ(すなわち√-3)で割り切れるのはx≡y(mod3)

を使うのはわかりますが、自分でいろいろやっても、上の形
にたどり着けません。具体的に、どう計算して上の形になるのでしょうか?



 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月16日(金)10時38分52秒
  P259の下から9行目

(r-√-3)+(r+√-3)=2rは、(4)から見えるように、p
で割り切れない(pは3以外)。

 cf.(4) r^2≡-3(mod p)

は、なぜ割り切れないのでしょうか?

自分なりに考えたのは、もし2rがpで割り切れるならば

2r≡0(mod p)
したがって、r≡0(mod p) (たぶんここがダメと思う)
r^2≡0^2(mod p)
r^2≡0(mod p)となり(4)に反する。

よろしくお願いします。






 

re:解析函数のリーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月15日(木)14時22分34秒
  かたつむり様 補足ありがとうございます.
手元に田村先生の本がなく,立ち読みの記憶で書いていますので,正確ではありませんでした.
 

解析函数のリーマン面

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月15日(木)10時54分56秒
編集済
  いくつか気づいたことを記します.
私の手元にある『解析函数(田村二郎)』は「旧版」なので,食い違いがあった場合は御容赦願います.

(1) >A_1×A_2×…×A_n(×…)の元をベクトル (n≧2),A_1の元をスカラーと呼びます。

ベクトルとは線型空間の元のことです.単なる集合の(2個以上の)直積の元をベクトルとは呼びません.
あるものを「ベクトル」と呼ぶのであれば,あらかじめ線型空間を定めておく必要があります.
また,「スカラー」とは(通常)「線型空間の係数体の元」を意味します.

(2) >射影をpr_{ψ_λ}\bf{z}:=ψ_λ(z)と定義してやれば,\bf{z}=pr_{ψ_λ}^-1(ψ_λ(z))と書けるのですね。

本書(旧版)における「射影 p」は ∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ から \bar{C} への写像です.
これとは別に「λに依存する射影 pr_{ψ_λ}:∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ → \bar{C}_λ」を定義する必要・必然性はありません.

(3) >そして,φ≠D,E⊂\bar{C}をD∩E≠φなる2つの領域,f_D:D→\bar{C},f_E:E→\bar{C}を共に有理形関数,
    >S:=\bf{D}_ψ∪\bf{E}_ωを関数f_Dの(若しくは関数f_Eの)リーマン面と呼ぶ。

話の出発点である解析函数 f とその枝 f_λ (λ∈Λ) はどこに行ってしまったのか.
ここでの目標は「解析函数 f のリーマン面」を定義することだったと思います.

(4) >(∞≠)a∈D∩Eにてf_D(a)=f_E(a)となるような点z=aでf_D,f_Eは正則関数とする時

「旧版」では∞を含めて考えています.(そうしないとリーマン球面 \bar{C} を導入した意味がありません.)
また「旧版」では,「2つの有理型函数 f_λ,f_μ が点aにおいて同値 f_λ~f_μ (a)」という概念に基づいて
「貼り合わせ」を定義しています.その方が自然です.というか,この概念は必須です.
【追記】ここで正則函数に限定すると「解析函数のリーマン面」の定義に到達することは不可能です.


なお,本書の記述は十分に「厳密」です.

 

Re: リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月15日(木)09時07分13秒
編集済
  > スカラーとは何ですか?
スカラーの意味ではなく,本書の中で意味のある言葉か? という問いかけです.
「張」は「貼」の方ですね.
pr_{ψ_λ}^-1(ψ_λ(z))とありますが,射影は多:一ですので,逆射影はありません.
「有理形関数」は「有理型関数」ですね.f_Dなどが有理型関数でいいのかどうか,もういちど本で確認してください.

いずれにしても,こういう本を読むときは,理論体系を自分で再構成してみるつもりでノートをとりながら読んでください.
 

Re: リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月15日(木)07時03分5秒
  有難うございます。

> 自分の先入観というか,

別に先入観など持ってるつもりはなく,(記号的に)矛盾なく理解できるように努めた次第です。

> スカラーとは何ですか?

直積集合Π_{λ∈Λ}A_λ (A_λは集合,2≦#Λ)の元をベクトル(Λが非可算の時は他に呼び方があるのかもしれませんが)と呼ぶのに対して,#Λ=1の時の直積集合の元をスカラーと呼んでました。
例えば
A_1×A_2×…×A_n(×…)の元をベクトル (n≧2),A_1の元をスカラーと呼びます。

> 射影も,重ねられた∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元に対し,それに対応する\bar{C}をとるという意味です

つまり, '重ねられ'という語句からψ_λ:\bar{C}→\bar{C}_λを解析同型写像とすると,点z∈\bar{C}に於いて,
\bf{z}_ψ:=∪_{λ∈Λ}{ψ_λ(z)}⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λと定義してあるのですね。
そして,射影をpr_{ψ_λ}\bf{z}:=ψ_λ(z)と定義してやれば,\bf{z}=pr_{ψ_λ}^-1(ψ_λ(z))と書けるのですね。

更に,領域φ≠D⊂\bar{C}に対して,\bf{D}_ψ:=∪_{λ∈Λ}ψ_λ(D)と定義するのですね。

そして,φ≠D,E⊂\bar{C}をD∩E≠φなる2つの領域,f_D:D→\bar{C},f_E:E→\bar{C}を共に有理形関数,
かつ(∞≠)a∈D∩Eにてf_D(a)=f_E(a)となるような点z=aでf_D,f_Eは正則関数とする時,
\bf{D}_ψ,\bf{E}_ω⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ (ここでω_λ:\bar{C}→\bar{C}_λも解析同型写像とする) 夫々からの元,
\bf{a}_ψ∈\bf{D}_ψ,\bf{a}_ω∈\bf{E}_ωを同一視する。つまり,\bf{a}_ψ=g(\bf{a}_ω)なる解析同型写像g:\bf{D}_ψ→\bf{E}_ωが存在する時,
\bf{D}_ψと\bf{E}_ωとは'張りされる'と言い,S:=\bf{D}_ψ∪\bf{E}_ωを関数f_Dの(若しくは関数f_Eの)リーマン面と呼ぶ。

と厳密に記述してみたのですがこれで正しいでしょうか?
 

Re: リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月12日(月)23時48分43秒
編集済
  こういう古典的な本では,自分の先入観とか,「気がする」というのも横において,それまでの記号の理解で判断しないで,どのように定義されているかを,直接読み取らねばなりません.
>∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元は飽く迄スカラーですよね?
スカラーとは何ですか? 本書では定義されていない言葉ですね.∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元はあくまで\bar{C}_λのどれかの上にある複素数です.
射影も,重ねられた∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元に対し,それに対応する\bar{C}をとるという意味です.
>変な気がするのですが。
>記号が矛盾してると思う
それは先入観と違うのでそう思うだけで,本書ではすべて一から定義されており,矛盾はありません.
 

Re: リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月12日(月)22時34分3秒
  有難うございます。

> 直積ではありません.直積にすると次元があがります

えっ? そうしますと\bf{z}をベクトルっぽく太字で表記したり,射影とかいう言葉が登場するのは変な気がするのですが。。

∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元は飽く迄スカラーですよね?

なんだか記号が矛盾してると思うのですが。。
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月12日(月)20時38分55秒
  かたつむりさん、ありがとうございました。

①ξ=(2n+1)+2mi=1+2(n+mi)   (nとmは有理整数)

  ここでη=n+miとおくとξ=1+2η

 もう一つのほうも
 ξ=2n+(2m+1)i=i+2(n+mi)
  ここでもη=n+miとおくとξ=i+2η

納得しました。

②対偶は、私の間違いです。かたつむりさんの書いていただいた
下3行の通りです。2乗では、割り切れないのがわかりました。

自分の浅学がよくわかりました。かたつむりさん、親切に、ていねいに
ありがとうございました

 

初等整数論講義 p.253

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月12日(月)19時58分6秒
 
>3行目にある ξ=1+2η または ξ=i+2η
>と書いてますが前のものは 1+2ηiが正しくて、iが抜けているのですよね。
違います.ξ=1+2η です.

>ηは有理整数を表しているんですね。
違います.ηは複素整数を表しています.

ここで著者は「1-i で割り切れない複素整数 ξ=x+yi については,x,y の一方が奇数で他方が偶数であるから,
 xが奇数でyが偶数なら ξ=1+2η(ηは複素整数)と表され,
  yが奇数でxが偶数なら ξ=i+2η(ηは複素整数)と表される」
と言っているのです.理由は簡単です.
愛さんの解釈では,x=1 あるいは y=1 の場合しか考えていないことになりませんか.


>上文の対偶からγはλで割り切れる。
この文の意味が理解できません.御説明願います.

「γはλの一乗だけで割り切れる」は (5) から直ちに導かれることです.
 γ^2≡2 (mod 8) により,γ^2 は 2=i(λ^2) で割り切れるので,γはλ=1-i で割り切れる.
 γ^2≡2 (mod 8) により,γ^2 は 4 で割り切れないので,γは 2=i(λ^2) で割り切れない.
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月12日(月)11時39分0秒
  P253の証明中で

① 3行目にある ξ=1+2η または ξ=i+2η
  と書いてますが前のものは 1+2ηiが正しくて、iが抜けているのですよね。
  さらに、ηは、ギリシャ文字ですがここでは、ηは有理整数を表しているんですね。

②同じP253の真ん中あたりに、γはλの一乗だけで割り切れるから
 とありますが、まず
 1乗で割り切れるのは、(5)のγ^2≡2(mod8)であるからγ^4≡4(mod8)
 上文の対偶からγはλで割り切れる。

と考えるのですが、しかし、γはλ^2では、割り切れないのでしょうか。

よろしくお願いします。
 

Re: リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月12日(月)09時44分53秒
編集済
  >『Π_{λ∈Λ}\bar{C}_λの点を\bf{z}で表そう(Πは直積集合を表す)』と書くべきだと思いますが,この解釈で正しいでしょうか
直積ではありません.直積にすると次元があがります.ここはあくまで複素1次元の複素平面の和集合です.それを規約によって貼り合わせてゆくのです.こうして得られるリーマン面はあくまで1次元の複素多様体です.

最後の解釈はほぼ正しいと思います.ただ,
>同相写像g
は違います.gもg^{-1}も解析的な,解析同型写像です.「同相」というと位相同型ですが,ここはそれよりずっと強く解析同型でなければなりません.
 

Re: リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月12日(月)04時52分17秒
  ご回答誠に有難うございます。

> \bar{C}_λ∩\bar{C}_μ で何を意味されているのでしょうか。

和集合が出てきたのでつい各\bar{C}_λの互いの関係はどうなってるのかとおもってしまいました。

なかなかこの本の説明が曖昧に感じるので自分なりに厳密に何とか解釈できるよう試みました。

厳密には集合的には\bar{C}と\bar{C}_λと\bar{C}_μ (λ≠μ)はどれも互いに素ですが,\bar{C}≡\bar{C}_λ≡\bar{C}_μ (≡は位相同形の意味) という関係なのですね。

更にφ≠D⊂\bar{C}なら,Dから\bar{C}_λ(for∀λ∈Λ)への埋込みψ_λ(つまりD≡ψ_λ(D))が存在すると言えるのですね。

『∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの点を\bf{z}と表そう』とはボールド体でzを表記してあるし,その直後に射影が登場してるので\bf{z}はベクトルの事だと思います(ここでΛは高々可算とは限らないので'ベクトル'という呼び方が適切かどうかはさておき)。
つまり,『Π_{λ∈Λ}\bar{C}_λの点を\bf{z}で表そう(Πは直積集合を表す)』と書くべきだと思いますが,この解釈で正しいでしょうか(∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの点はどうあがいてもベクトルにはなりませんから)?

そして,D_⊂\bar{C}から\bar{C}_λへの埋込みをψ_λで表す事にすれば
\bf{z}=(ψ_λ(z))_{λ∈Λ}∈Π_{λ∈Λ}ψ_λ(D)⊂Π_{λ∈Λ}\bar{C}_λという関係になってるのですね。

そして, pr_{ψ_λ}(\bf{z}):=ψ_λ(z)と定め,
φ≠D⊂\bar{C}に対して,\bf{D}:=pr_{ψ_λ}^{-1}(ψ_λ(D))⊂Π_{λ∈Λ}\bar{C}_λで\bf{D}を定めるのですね。

『これまでのところ\bar{D}_λは互いに交わらない領域ではあるが』とありますが
『これまでのところ\bar{D}と\bar{D}~は\bf{D}:=pr_{ψ_λ}^{-1}(ψ_λ(D))と\bf{D}~:=pr_{ψ~_λ}^{-1}(ψ~_λ(D))という,'∃λ∈Λ;ψ_λ≠ψ~_λなるψ_λ及びψ~_λはDから\bar{C}_λへの埋込み'があれば\bar{D}と\bar{D}~とは互いに交わらない領域ではあるが』…(ア)
という意味ですか?

規約については単純に2つの領域φ≠D,E⊂\bar{C}で書かせて戴きますと,
もしf_D:D→\bar{C},f_E:E→\bar{C}が(∞≠)a∈D∩Eにて同じ関数要素を持つなら(有理形関数f_Dとf_Eがf_D(a)=f_E(a)∈Cなら),
(ψ_λ(a))_{λ∈Λ}∈\bf{D}:=Π_{λ∈Λ}ψ_λ(D)と(ψ~_λ(a))_{λ∈Λ}∈\bf{E}:=Π_{λ∈Λ}ψ~_λ(E)とを同一視する
(ここで,任意のλ∈Λに対して,ψ_λ:D→\bar{C}_λ,ψ~_λ:E→\bar{C}_λは埋込み)。

つまり,g((ψ_λ(a))_{λ∈Λ})=g((ψ~_λ(a))_{λ∈Λ)なる\bf{D}から\bf{E}への同相写像gが存在するという意味なのですね。

そして,S:=∪_{λ∈Λ}\bf{D}_λ (ここで各\bf{D}_λは(ア)の様に仮定されている) を有理形関数f_D(若しくはf_E)のリーマン面という。

と結論づいたのですがこのような解釈で正しいでしょうか?
 

Re: リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月 8日(木)09時32分25秒
編集済
  >\bar{C}_λ∩\bar{C}_μ=φの右辺は何になるのでしょうか?
立ち読みしただけだったので、こちらの言い方が不十分でしたが、Cieraさんは \bar{C}_λ∩\bar{C}_μ で何を意味されているのでしょうか。
分岐の数だけ\bar{C}を集めた段階なので、\bar{C}_λ∩\bar{C}_μには意味がないように思われます。

大切なことは右のページに書いてあるD_λ,D_μ の貼り合わせの規約と、それによって構成されるリーマン面Sの定義です。これによって\bar{C}_λと\bar{C}_μのD_λ∩D_μに対応する部分集合が同一視されます。その意味で、\bar{C}_λ∩\bar{C}_μ≠φです。

それと、リーマン面はあくまで解析関数を一意化するものであって、解析関数が先にあり、出来上がったリーマン面は解析関数によって異なるということです。
 

Re: リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月 8日(木)02時17分19秒
  有難うございます。

> 等号ではありません.
>>λ≠μなら\bar{C}_λ∩\bar{C}_μ=φ
> も正しくありません.

そうしますと,λ≠μなら\bar{C}_λ∩\bar{C}_μ=φの右辺は何になるのでしょうか?
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月 7日(水)13時40分20秒
  さっそく、南海先生、お返事ありがとうございます。

指摘していただいたP249下半分を読みましたが、読解力
がないのか、あまりすっきりとしませんが、下から9行目

 aは4n+3の形の素因数qを有するとすれば・・・矛盾するのでダメ(理解できる)

 aが4n+1の形の素数pをちょうどh個含むとすれば・・・(この部分の理解が不足か)

この理解不足の下5行を考えてみます。なんとなくわかる気がするのですが・・・

次に、2乗の件、書いていただいた文章で理解できます。うまく、互いに素をここで
使っているのですね。ありがとうございます。






 

Re:初等整数論講義(高木)

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月 7日(水)09時49分34秒
  > また、x+yiとx-yiとは互いに素でなければならない。
ここはp249  下半分で示されているところではないでしょうか.
> x+yi=ε(m+ni)^2,x-yi=¥bar(ε)(m-ni)^2
x+yiとx-yiの積がz^2で平方数であり,互いに素なので,単数分を除けばいずれも平方数である.
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月 7日(水)06時20分36秒
  南海先生、ありがとうございます。
参考に、示されたものを見てみます。
本をごらんになって、アドバイスをお願いいたします。
 

Re:初等整数論講義(高木)

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月 6日(火)23時26分35秒
  (x,y,z)=1の正の整数解については
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuronintro/node11.html
にあります.『初等整数論講義』とは証明の道筋が違うのですが,参考にしてください.
『初等整数論講義』は近日中に見てみます.
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月 6日(火)22時42分43秒
  P251 問題2 X^2+y^2=z^2,(x,y)=1の正の整数解は
    x、y=m^2-n^2,2mn ;z=m^2+n^2
ただし、(m,n)=1,m>n>0 またm,nのうち一つは奇数一つは偶数である。

解 (x,y)=1なる制限のもとでは、zは2で割り切れてはいけない。
  (もし、zが2で割り切れると z^2が4で割り切れてしまい素因数2を2個含むことに  なるので 定理4.3からダメなのは理解できます)

また、x+yiとx-yiとは互いに素でなければならない。(理解できない)
(たぶん、Z[i]での互いに素とは思うのですが、いまひとつなぜ互いに素なのかわからない)

よって
 x+yi=ε(m+ni)^2,x-yi=¥bar(ε)(m-ni)^2
(なぜ、この形にいきなりかけるのかわからない、特に2乗の形になぜかけるのかがわからない)

よろしくお願いします




 

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