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RE:奈良県立医科大

 投稿者:IT  投稿日:2017年 4月27日(木)18時20分41秒
編集済
  n=0  のときは
|a_n-a_[n-1]|+|a_[n-1]-a_[n-2]|+...+|a_2-a_1|+|a_1-a_0|+|a_0|
< n+|a_0| は、成り立たないため
≦ n+|a_0| が正しいので、
β=|a_0|+1などとしないといけませんでした。
 

RE:奈良県立医科大

 投稿者:IT  投稿日:2017年 4月26日(水)23時40分2秒
編集済
  勘違いがあるかも知れません。まちがいがあればご指摘ください。

ある正整数pが存在し
|m-n|≦pを満たす零以上のすべての整数m,nに対して不等式|a_m-a_n|<1が成り立つことから
|m-n|≦1を満たす零以上のすべての整数m,nに対して|a_m-a_n|<1が成り立つ
よって 零以上のすべての整数nに対して|a_[n+1]-a_n|<1…(1)が成り立つ

したがって
零以上のすべての整数nに対して
 |a_n|≦|a_n-a_0|+|a_0| (三角不等式)
 ≦|a_n-a_[n-1]|+|a_[n-1]-a_[n-2]|+...+|a_2-a_1|+|a_1-a_0|+|a_0|数学的帰納法で示す必要があるのかも
 <n+|a_0|  ∵(1)
 α=1,β=|a_0| とおくと |a_n|<αn+βが成り立つ
 

奈良医科大学

 投稿者:受験生  投稿日:2017年 4月25日(火)23時27分0秒
  2017年奈良医科大学の後期の数学問題です。
a_0,a_1,…a_nを実数の数列とする。ある正整数pが存在し
|m-n|≦pを満たす零以上のすべての整数m,nに対して不等式|a_m-a_n|<1
が成り立つとする。このとき,ある正の実数α,βが存在し,零以上の任意の整数
nに対して不等式|a_n|<αn+βが成り立つことを示せ。
はどのようにアプローチすればよいのでしょうか?

 

場合の数について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 4月24日(月)14時51分43秒
  直線α上に、点が6個、直線β上に、点が3個ある。
ただし、2直線とも平行である。
αとβは必ず1回は、結ぶ。
結ばない点や、重複するようには結ばないとする。
何度も投稿してすみません。問題を作ってきました。解いていただけないでしょうか?
(1)全部で何通りあるか。
(2)g,h,iに2本ずつ線を引くのは、何通りあるか?
(3)hに4点集まるのは、何通りあるか?
(4)iに点が少なくとも2本集まるのは何通りあるか?
(5)gに点が3点集まるのは、何通りあるか?
(6)gは、b、c、d以外の点で結ぶのは、何通りか?
大変恐縮ではございますが解答していただけると幸いです。
誠に、申し訳ございませんでした。
 

Re:2017 神大理系4番解答

 投稿者:南海  投稿日:2017年 4月 9日(日)08時53分18秒
  ご指摘ありがとうございます。
これは誤植です。なおしておきます。
 

2017 神大理系4番解答

 投稿者:よおすけ  投稿日:2017年 4月 8日(土)23時31分10秒
  (4)のn=4のときの確率が(4!)/(4^4)=(2/32)になっていますが、こちらで(4!)/(4^4)を計算したら3/32になりました。計算ミスでしょうか?  

ラミーの定理について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 4月 1日(土)10時51分50秒
   問題を作っていただけないでしょうか?調べても、出てこなくて。すみません。お願いできたら、幸いです。  

南海先生へ

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 4月 1日(土)09時10分47秒
  丁寧に答えていただきありがとうございました。  

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 4月 1日(土)08時44分55秒
  横幅1の区間での変化がf(x+1)-f(x) で、これと比 f(x)/x をどのように結びつけるのか 。
そこで区間[M+n,M+n+1]を考える。x→∞のときn→∞。αを[M,M+1]での|f(x)|の最大値とする。

そこで、[M+n,M+n+1]の点M+n+βをとると
|f(M+n+β)-f(M+β)|=|f(M+n+β)-f(M+n-1+β)+f(M+n-1+β)-f(M+n-2+β)+…-f(M+β)|
≦nε  よって|f(M+n+β)|≦α+nε。
よって|f(M+n+β)/M+n+β|≦(α+nε)/(M+n)。

 

解析概論

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 3月31日(金)13時03分8秒
  南海先生。以前質問した問題なのですが、
|f(x)/x|≦(α/n+ε)/(M/n+1)<α/n+ε
どうして、この式変形をしたくなると思いつくのでしょうか?
拙くわかりづらい質問で申し訳ありません。

 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 3月29日(水)21時32分59秒
編集済
  確かに。グラフの傾きが1より大きいことをイメージしながら,論述の中に書いていませんでした。
単純にして,訂正しておきます。
 

千葉大11番解答

 投稿者:do-demo  投稿日:2017年 3月28日(火)23時29分42秒
編集済
  (3)のf(x)の平方完成後の
(x-1/2)^2+3/4
の二乗が消えています(誤植)

また、その後の議論でf(x)がx>1/2で単調増加なことから数列が単調増加であることを推論していますが、x≧2でf(x)>xであることを用いるべきではないでしょうか。
(fが単調増加⇒a_(n+1) = f(a_n)で定まる数列a_nが単調増加 は言えないため
反例:f(x) = x^2 a_1 = 1)
 

(無題)

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 3月24日(金)10時31分42秒
  ありがとうございました。勉強してみます。  

凸領域

 投稿者:南海  投稿日:2017年 3月24日(金)09時06分29秒
  こちらが凸について書いているのは
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch04/totu/node3.html
です.この定義で論証できるでしょうか.
 

(無題)

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 3月23日(木)21時37分2秒
  書籍がないとわかりずらい質問で申し訳ありません。
ハーディ数論入門ⅡのP158の定理448の中に だから凸であるという一文があるのですが,なぜ凸なのかわかりません。また,同じような内容ですが,P159の定理450の中に であるからこの領域は凸である。の部分もなぜ凸なのでしょうか?
 

解析概論

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 3月17日(金)22時01分14秒
  南海先生ありがとうございました。  

第1章の練習問題 (7)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 3月17日(金)13時03分16秒
編集済
  もう随分前に『解析概論』の読書会をやっていました。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/dokusyo/gairon.htm
YahooのMLでやっていました。そこは閉じられてしまったのですが、その記録が手元にあります。それをみると次のような解がありました。

◆早速ですが、第1章末の(7)ですが、次のような証明は可でしょうか。
ε>0を任意にとると、M>0が存在して、
M≦xのとき|f(x+1)-f(x)|<ε ①。
ある0以上の整数nが存在して、〔M+n,M+n+1〕がxを含む。
このとき|f(x)/x|≦(α+nε)/(M+n)。
(ここで、αは〔M,M+1〕における|f(x)|の最大値。〔M+1,M+2〕での|f(x)|の最大値は①よりα+εを超えない。繰り返して右辺を得る。)
これから|f(x)/x|≦(α/n+ε)/(M/n+1)<α/n+ε ②。
lim|f(x)/x|=0でないとすると、あるε1>0があって、どんなに大きなxにも|f(x)/x|>ε1となるものがある。しかし、これは②と矛盾する。よって、極限値は0。

◆最後の3行を、以下の通りまとめてみました。別解です。

ε,M,αは上の解答通りとする。

自然数nをn>max(0,α/ε-M)…(1)
となるように適当に選び、以下、M+n≦xとなるxについて評価する。

M+k≦x<M+k+1(kは0又は自然数)…(2)
であるから、既に証明されているように、
|f(x)/x|≦(α+(n+k)ε)/(M+(n+k))…(3)
(1)から、α/ε-M<n≦n+k
よって、α/ε<(n+k)+M…(4)
(3)に代入すると
|f(x)/x|
≦(α+(n+k)ε)/(M+(n+k))
≦α/(M+(n+k))+(n+k)ε/(M+(n+k))
<ε+ε[∵第1項は(4)から]
=2ε
と、もっともらしく仕上がりました。

 

練習問題の質問

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 3月17日(金)07時51分12秒
編集済
  解析概論 第1章の練習問題 (7)
f(x)は(a,∞)で連続で
limx→∞(f(x+1)-f(x))=mならばlimx→∞f(x)/x=m
の証明ができないでいます。ご指導お願いいたします。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 3月17日(金)07時33分49秒
  ご指摘ありがとうございます。確かに誤植です。
訂正しておきます。極限は変わりませんが。
 

東工大4番回答

 投稿者:do-demo  投稿日:2017年 3月16日(木)23時06分28秒
  (2)の
その7番目の文字はcであるので,5番目と8番目は~
の部分は5番目ではなくて6番目の誤植でしょうか?以降の議論で4番目を用いてるところも5番目にずれるように思います。
 

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