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初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月22日(木)19時26分11秒
編集済
  かたつむりさんが書いていただいたものを見て考えました。

①β+ω^2γ=(β+γ)-(2+ω)γ

ここで、λ=1-ωだから、bar{λ}=1-bar{ω}=1-ω^2
                =1+(ω+1)=ω+2

したがって、β+ω^2γ=(β+γ)-bar{λ}γ

②文章を読みましたが、ω(β+γ)-(β+ωγ)=-λβの約数
 の式の先頭にどうして、ωがあるのか理解できません。

(ⅰ)私のように、力技でなく、高度なやり方で勉強になりました。

(ⅱ)βとγが互いに素だから、その3乗は、一方が1ならば、他方が-1
   または、その反対のことが起きるので0となる。

 

田村二郎著『解析函数』

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月22日(木)10時05分35秒
  >しかし,これなら射影pr(\bf{z})=zの意味が分からなくなってしまいますよね(南海先生が'射影は多:一'だと仰ってるし)。
pr(\bf{z})=z の意味は明白です.また,南海先生が「射影は多:一」と仰っているのは,
  射影 pr:∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ→\bar{C} による z∈\bar{C} の逆像(原像)が2個以上の元をもつ集合になる
ということでしょうから,何ら矛盾しません.

>bf{z}:=∪_{λ∈Λ}{ψ_λ(z)}⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λと表記するという意味ではないかと推測しましたがこれで正解でしょうか?
違います.著者は(言うまでもないことですが)正確に表現しています.

本書の記述は,明晰かつ十二分に「厳密」です.
まずは,本書の記述に即して理解することが必要だと思います.
 

返事

 投稿者:  投稿日:2016年 9月22日(木)10時03分17秒
  かたつむりさん、ていねいに、書いていただいてありがとうございます。
また、わたしの理解不十分な点も補足していただいて感謝しています。

プリントアウトして自分でも書いていただいた内容を考えてみます。

 

初等整数論講義 §40-2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月22日(木)09時36分43秒
編集済
 
>β+ω^2=(β+γ)-(ω+2)γ と私の計算した結果が正しい。ということでよいのですね。
このままでは(4)に続く9行の段落に活かせません.誤植を修正すると
 β+(ω^2)γ=(β+γ)-bar{λ}γ
となります.(バーが抜け落ちた.)
これは直ちに導くことのできる等式ですが,導けますか.
また,これによって下の9行の段落を説明できますか.それには bar{λ} に関するある性質が鍵になります.


>「差を考える」ことをしているように思えるのですが、目的は見えてきません。
当然,ここは,直前の一文の根拠を記す場面です.小さい字の3行の段落では
 「β+γ と β+ωγ にはλ以外の公約数が存在しない」
ことを証明しています.この証明は「p.254の2行目」や「Euclid の互除法」と同類です.
「β+ωγとβ+(ω^2)γにはλ以外の公約数が存在しない」,「β+(ω^2)γとβ+γにはλ以外の公約数が存在しない」の証明は
省略されています.

>もう少し、わかるように教えていただけませんか。
最初から詳しく説明することは,もうしません.(私は.)
理由は,直前の投稿に記しました.


(i) >計算は長いものの3の倍数となることが示せます。
1-η^2=(1+η)(1-η) かつ 1-ηはη-1 と同伴なので,η,η+1,η-1 のうちの一つがλの(即ち√(-3) の)倍数であることを
確認すればよい.これが本筋です.この場面で
「mod λ に関する類別で Z[ω] は3つの類に分かれ,それらは 0,1,-1 によって代表される」
ことを確認しておくべきでしょう.これは,p.247 下部〔注意〕に対応することです.

(ii) >λのあるほうはλ^4で割れる
違います.λ^(3m) は,m=1のときλ^4 で割り切れません.
愛さんの論法では,肝心の「m=1 のとき(3)は不可能」が示せません.

【追記】①の3行目を修正しました.
 

re:解析函数のリーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月22日(木)07時51分51秒
  南海先生,かたつむり先生遅くなりまして大変申し訳ありません。

> 「張」は「貼」の方ですね.

有難うございます。

> 「有理形関数」は「有理型関数」ですね.

了解しました。

> f_Dなどが有理型関数でいいのかどうか,もういちど本で確認してください.

'D_λはz球面\bar{C}の領域'と述べてあるので有理型関数だと思いますが。

> 理論体系を自分で再構成してみるつもりでノートをとりながら読んでください.

了解しました。

> ベクトルとは線型空間の元のことです.単なる集合の
> (2個以上の)直積の元をベクトルとは呼びません.

列もしくは組と呼ぶべきでした。

> 本書(旧版)における「射影 p」は ∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ から \bar{C} への写像です.

そのように書いてありました。失礼致しました。

\bf{z}は太字で書いてあったり射影という言葉が現れたりしてたので\bf{z}は直積集合Π_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元かと思ってしまいました。

それでもう一度当書を見てみますと,\bf{z}は和集合∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元だと述べてありますよね。
もしそうなら厳密には∃λ∈Λ;\bf{z}∈\bar{C}_λと言えますね(∵和集合の定義)。
しかし,これなら射影pr(\bf{z})=zの意味が分からなくなってしまいますよね(南海先生が'射影は多:一'だと仰ってるし)。

よって,
\bf{z}は∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元ではなくて,∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの部分集合,つまりψ_λ:\bar{C}→\bar{C}_λ for∀λ∈Λを解析同型写像とすると,
\bf{z}:=∪_{λ∈Λ}{ψ_λ(z)}⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λと表記するという意味ではないかと推測しましたがこれで正解でしょうか?
これならpr(\bf{z})=zと書く事に辻褄が合うと思います。

> 話の出発点である解析函数 f とその枝 f_λ (λ∈Λ) はどこに行ってしまったのか.
> ここでの目標は「解析函数 f のリーマン面」を定義することだったと思います.

F={f_λ:D_λ→\bar{C}は有理型関数;λ∈Λ} (ここで\bar{C}⊃D_λは領域)の事ですね。少しお時間を下さい。

> 「旧版」では∞を含めて考えています.(そうしないとリーマン球面 \bar{C} を導入した意味がありません.)

しっかり覚えておきます。

> また「旧版」では,「2つの有理型函数 f_λ,f_μ が点aにおいて同値 f_λ~f_μ (a)」という概念に基づいて
> 「貼り合わせ」を定義しています.その方が自然です.というか,この概念は必須です.

a∈D_λ∩D_μ⊂\bar{C}にてf_λ~f_μの定義は
f_λ(z)=Σ_[k∈Z..+∞]a_n(z-a)^n,f_μ(z)=Σ_[k'∈Z..+∞]a'_n(z-a)^nとaを中心にLaurent展開した時に,k=k',a_n=a'_nとなる事でした。
それでもって,
f_λはf_μに(a∈)⊿⊂D_λ∩D_μな連結成分⊿にて'貼り付け'られるの定義は,f_λがf_μに⊿にて直接接続になっている事ですね。

【追記】ここで正則函数に限定すると「解析函数のリーマン面」の定義に到達することは不可能です.
なお,本書の記述は十分に「厳密」です.

了解いたしました。これについも少しお時間を下さい。
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月21日(水)20時20分6秒
  ①については

β+ω^2=(β+γ)-(ω+2)γ

と私の計算した結果が正しい。ということでよいのですね。

②「差を考える」ことをしているように思えるのですが、目的は見えてきません。
もう少し、わかるように教えていただけませんか。

以下については自分のノートで実際確かめています。

(ⅰ)η=x-yωとおくとき
 x≡y(mod3)のときは割り切れることは明らか。
そうでないときは、x-y=±1(mod3)
x-y=±1+3a(a:整数)
x=…にしたものを1-η^2に代入し計算し、問題1を適用すれば
計算は長いものの3の倍数となることが示せます。

(ⅱ)についても、左辺が2やー2ならば左辺から右辺の差をとった場合
 λのあるほうはλ^4で割れるが、2やー2はλがないので割り切れない
 したがって、左辺は0

(ⅲ)三辺の右辺を左辺に移行して、非自明解なので係数行列式=0をつかえば理解できる
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月21日(水)16時25分21秒
  かたつむりさん、ありがとうございます。
書いていただいた内容をゆっくりとみてみます。

①は、誤植でしたか、②はよく読んでみます。

後ほど、返事します。いましばらく時間をください。
 

初等整数論講義 §40

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月21日(水)11時17分55秒
編集済
 
>β+ω^2γ=(β+γ)-λγ
誤植であることに,即気づかなくてはいけません.これが正しければ ω=ω^2 が成り立ってしまいます.

>左辺=・・・=(β+γ)-(ω+2)γ
これを導いてもこのままでは,その後の数行の推論には役立ちません.


>なぜ左が、ω(β+γ)となるのでしょうか?
>(5)で3式の差をとるのであれば、
「差を考える」ことがここでの目的ではありません.


これらを解明できないのは「本書のここまでの部分をちゃんと読めていない」証しです.
明快に解説することは難しくありませんが,愛さんが「それを読んで安心して次に進んでしまう」のでは同じことの繰り返しです.
(結局,解説する側の私の勉強になるだけです.)
本書は「この程度の行間は自力で埋められる」ような読者を想定しているはずです.

①, ② と同程度のポイントが§40 にはいくつもあります.例えば次のことは証明済みですか.

(i)   p.261 13行目「ηか 1-η^2 かが√(-3) で割り切れる.」
(ii)  p.261 下から3行目「左辺は0であることを要する.」
(iii) p.263 7行目「行列式が0に等しい.」

 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月21日(水)10時19分0秒
  x^3+y^3=z^3の不可能性の証明
全体の流れは、理解できるのですが2か所わからないところがあるので教えてください。

①P262上から8行目(4)なる下の式はどうしてもそうなりません。

 β+ω^2γ=(β+γ)-λγ

自分は、ωは3乗根なので、ω^2=-ω-1を左辺に代入して

左辺=β+(-ω-1)γ=β-ωγ-γ
  =β+γ-ωγ-γ-γ=(β+γ)-(ω+2)γ

ここで、λとω+2が同じことがいえるのでしょうか?
λ=1-ωは、既知

②下から6行目
ω(β+γ)-(β+ωγ)=-λβとありますが
なぜ左が、ω(β+γ)となるのでしょうか?

(5)で3式の差をとるのであれば、左の式は
β+ω^2γをとるべきではないのでしょうか?
もちろんそうすれば、右辺は変わってくると思いますが

よろしくお願いします。
 

Re:数論初歩 演習問題

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月18日(日)22時51分41秒
編集済
  ご指摘有り難うございます.直しておきました.  

数論初歩 演習問題

 投稿者:よおすけ  投稿日:2016年 9月18日(日)12時24分24秒
  問題48の「平方数の和で表せ」の解答48で、13だけまちがいがありました。

誤:13=9^2+2^2
正:13=3^2+2^2
 

数学の本を読むとき 2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月18日(日)12時23分19秒
  人様の学習方針に口出しは無用と思いますが一言(?)述べます.(これを最後とします.)

>今年中に何とかこの本を読み切るのが私の目標です。
期限は設定しない方が良いと思います.『初等整数論講義』はそれほど軽い書物ではありません.
特に最後の「附録の章」については,第4章・第5章を「自分の言葉で語れる」ようになっていなければ手を着けることすら無理です.

なお「自分の言葉で語れるように再構成する」は,何ら特別なことではなく,数学の学習「そのもの」です.
これを欠いて数学を学ぶということはあり得ません.
 

散歩のとき

 投稿者:  投稿日:2016年 9月18日(日)09時44分59秒
  かたつむりさん、南海先生、ありがとうございます。

その日読んだ中で、わからなかったことを夜、散歩のときに
自分なりに考えてみることがあります。体も使っているせいか
パーと気づくことがあります。

しかし、自分には、粘りに欠ける点があるのでなかなか
かたつむりさんのいうレベルまで持って行けていないのが現状です。

ノートでまとめて、その後、理解が不足している場合は、わら半紙にその
内容をもう一度、理解しながら、書いていくのですが、なかなか内容が
定着していない部分があります。

今努力しているのは、わからないところをほったらかしにしないで
徹底的にわかるようにするということをしています。

わからないところに付箋を貼り、わかれば、ノートの欄外に書き
どうしてもわからないところは、質問させていただいています。

今年中に何とかこの本を読み切るのが私の目標です。
かたつむりさん、南海先生、今後とも
よろしくお願いします。
 

自分の言葉で語る

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月17日(土)22時01分8秒
  私は、いちどは数学の勉強をやめていたのですが,25年ほど前に高校生に教えるようになって,高校数学の背景となるいろんなことを,もういちど勉強はじめました.
数学対話』は,その過程で自分で語り直そうとした記録です.いろいろ勉強すると,高校生のときの自分が今の自分に,もっとわかるように言ってくれと,言うのです.それで,昔の自分に今の自分が語って聞かせた記録です.『数論初歩』,『解析基礎』,『幾何学の精神』等は,まさに再構成した記録です.こういうふうに書いてゆくことで,理解が深まります.ほんの少しですが,一般化できているところもあります.
ですから,自分の内側で,あれやこれやと対話することが大切です.そうすると,夢にまで出てきて,明け方に目が覚めたときに,「あっ」とわかると言うことも起こります.そういう「わかった」という経験を,ぜひ積んでください.
 

数学の本を読むとき

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月17日(土)20時58分50秒
  数学の本を読むとき,「自分の言葉で解説できる」段階まで達しないと,その時は理解したつもりでも,
結局,読まなかったことと同じになります.
(自戒を込めて記しています.)
何冊読んでもザルで水をすくっているようなものです.
(2番目の文は,河東泰之氏の http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/grad.htm からお借りしました.)

「自分の言葉で解説できる」は,南海先生がおっしゃる「自ら再構成する」に通じると思います.
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月17日(土)15時34分41秒
編集済
  なるほど、p≡1(mod 3)
なる条件があるので、p=2は、自然に除外されることになるのですね。
そうすれば、私の書いたので、良い、ということになりますね。

かたつむりさん、ありがとうございます。

英単語でも、知っていると、使いこなせるは、別のものです。
私自身、そのレベルへの移行がかなり時間のかかる人間です。
今は、まず、はいつくばっても、内容を理解するを第一に考えています。

それができたら、かたつむりさんの「自分の言葉で説明できる」を目指します。
 

初等整数論講義 §39 -2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月17日(土)12時21分56秒
編集済
  >p=2のとき、そうはいくのかな?
p≡1 (mod 3)


>人に説明できるか? と問われたら、そこまで自分のものになっていないのが実情です。
>アップ、アップして何とか理解できたというのが、正しいと思います。

局所的な理解を積み重ねるだけでは不十分です.
やはり「自分の言葉で解説できる」ところまでいかないと「数学の本を読んだ」ことになりません.
このことは,大学などで「輪講」を経験した人には,うなずいてもらえると思います.
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月17日(土)10時42分7秒
編集済
  まず、x^4+y^4=z^4の不可能性の証明に関しては
帰納法の中に、対偶を使って証明をしていることに
驚きましたし、一つ一つを理解していくのにたいへんヘビーな
内容でしたがノートで、計算や行間を埋める努力で何とかできました。
焦らず、あきらめずの精神でやりましたが、人に説明できるか?
と問われたら、そこまで自分のものになっていないのが実情です。

アップ、アップして何とか理解できたというのが、正しいと思います。

さて、P261の質問の書いていただいた内容に関して
ていねいに書いていただいた内容全部理解できます。
ありがとうございました。

P258の注意は理解できているのですが、自分はうまく使いこなす
レベルになっていなかったということがわかりました。

かたつむりさんが書いていただいた内容を見ると,計算中に

λ~√-3をうまく使って、λ・bar{λ}=3やλ=bar{ω}√-3
などお、巧みに使えています。私にはそれが自分のものになっていませんでした。
こんなに丁寧に、詳しく書いて感謝します。ノートに内容を書き留めさせていただきます。

次に、P259の質問ですが、
 2r≡0(mod p)
から r≡0(modp)
ですが、pが奇素数ならば2と互いに素なのでこの場合は良いのですが
p=2のとき、そうはいくのかな?
平方剰余の話、上で出ているのでp=2の場合は、このとき、除外して考えての良いのかな?
と自分に確信が持てないのです。ご教授をお願いします
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月17日(土)09時36分42秒
  取り急ぎ、かたつむりさん、ありがとうございます。
書いていただいた内容を自分なりに理解してみますので
今一度、少々時間をください。

その後、返事をしますのでよろしくお願いします。
 

初等整数論講義 §39

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月16日(金)20時15分24秒
  ずいぶん速く読み進めていますね.
老婆心ながら,先日の§38「x^4+y^4=z^4 に関する定理」の理解は万全ですか.あの凄い証明を味わい尽くしましたか.
p.253~p.255には「行間を埋めるべき微妙な箇所」が多数あったと思います.
§38に限りませんが,「本やノートを見ずに他人に詳しく解説できるかどうか」(を想像してみること)で,
自分の理解度をチェックできると思います.
-------------------------
p.261 の質問.
>ε(たぶんξの間違い)が√-3で割れないならば(P258注意)
>    ±ξ=1+η√-3
>とありますが、なぜこのような形であらわせれるのかわかりません。
つまり,p.258〔注意〕が理解できないということでしょうか?

   ξ=x-yω が√(-3) で割り切れない(即ちλ=1-ωで割り切れない)ときには,
   x-y≡±1 (mod 3)
   であるから,
     ξ=x-yω=(x-y)+y(1-ω)=(x-y)+yλ=(±1+3a)+yλ  (aは有理整数)
        =±1+aλ bar{λ}+yλ=±1+λ(a bar{λ}+y)     (bar{λ} はλの共役)
    =±1+λη                  (η=a bar{λ}+y は K(√(-3)) の整数)
    =±1+bar{ω}√(-3) η
        =±1+ζ√(-3)                           (ζ=bar{ω}η は K(√(-3)) の整数)
    と表される.
-------------------------
p.259 の質問.
>たぶんここがダメと思う
そう思う理由は?
 

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