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初等整数論講義 第5章 2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年10月10日(月)17時13分55秒
編集済
  私のパソコンでは,愛さんの②の記述に「?」が4個見えるのですが,∈,∋ ですか.

>1-ω=(3-√-3)/2だから 1-ω?(3,√-3)
の後半を 1-ω∈(3,√(-3)) と解釈するとして,その根拠が
  1-ω=(3-√(-3))/2
であるというのは,どういう意味ですか?
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年10月10日(月)16時15分24秒
  ①問題3の文中より
α1=7+3√-5,α2=3+5√-5,ω=√-5とすると

ωα1=√-5(7+3√-5)=-15+7√-5
ωα2=√-5(3+5√-5)=-25+3√-5

したがって、GCM(3,5,7,3)=1だから
1=3(-1)+5・0+7・1+3(-1)

(-1)(7+3√-5)+0(3+5√-5)+1(-15+7√-5)+(-1)(-25+3√-5)=3+√-5

②(3,√-3)=(1-ω)であることの証明(書き方が少しくどいですが)

1-ω=(3-√-3)/2だから
1-ω?(3,√-3)
∴(1-ω)⊂(3,√-3)

P258で1-ω~√-3(同伴数)であるから

(1-ω)?√-3、したがって、(1-ω)?ー3
∴(1-ω)?3
∴(1ーω)⊃(3,√-3)



 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年10月 8日(土)19時42分44秒
編集済
  かたつむりさん、ありがとうございます。

書いていただいた内容を自分なりに理解してみます。
また、私の理解不十分なところを指摘していただいて参考になります。

もう一度、問題3と§39を読んでみます。
 

初等整数論講義 第5章

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年10月 8日(土)19時26分53秒
編集済
  ① p.281の[例]
>どうして、後ろの3+√-5が出てくるのでしょうか?
直前の[問題3]を理解していれば(いくらかの試行錯誤が必要でしょうが)導けるはずです.次のことを用います:
   1=3×(-1)+5×0+7×1+3×(-1).

なお,「標準的底」を求めるときに,3+√(-5) を使うことが必須というわけではなく,たとえば
  1=3×2+5×(-1)+7×0+3×0
を用いれば
  A=[***,***,***,***,11+√(-5)]
となり,これを経由して「標準的底」を求めることができます.

② p.291の[例]
(3)=(1-ω)^2 については,§39を理解していれば一目で分かることです.また,
>P=(3,√-3),P´=(3,-√-3)とおくと(1-ω)=Pが示されるのでしょうか?
とありますが,(3,√(-3))=(1-ω) も(§39を読んでいれば)当たり前のことです.


依然,「疑問点を質問して説明してもらえば,本書を読み切れる」と思っておられるようですが,それは大きな勘違いです.
第4章に関する先月のやり取りで,その勘違いに気づかれると期待していたのですが・・・.

 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年10月 8日(土)11時02分21秒
  ①P281の例

K(√-5)においてA=(7+3√-5,3+5√-5)とすれば、

A=[7+3√-5,3+5√-5,-15+7√-5,-25+3√-5](理解できる)

A=[7+3√-5,3+5√-5,-15+7√-5,-25+3√-5,3+√-5]

どうして、後ろの3+√-5が出てくるのでしょうか?

②P291の例において、K(√-3):d=-3,(3)=(1-ω)^2
とありますが、P289ⅱ)と同様に考えて

-3≡1(mod4)であるから、m≡1(mod4)
3は、-3の約数であるから

P=(3,√-3),P´=(3,-√-3)とおくと

(1-ω)=Pが示されるのでしょうか?(自分でやってみたけれども示せない)

だから、(3)=P^2=(1-ω)^2といえるんでしょうか。

ご教授ください。よろしくお願いします。





 

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:南海  投稿日:2016年10月 2日(日)09時15分10秒
編集済
  >f(z)=√zはP150のSの例にはならないんですか。
ここで,「f(z)=√z」で何を指し示していますか.関数ですか? リーマン面ですか.関数なら,有理型関数ですか代数関数ですか.

P155の例4をよく読んでみてください.
P160の問題2にあるように,有理型関数としての f(z)^2=z の定義域に0は入りません.
0と∞を除いたところをDとして,そこを定義域とする f(z)^2=z で定まる有理型関数を一意化するリーマン面がSです.
代数関数としての w^2=z のリーマン面に一致するのは p181 からの分岐リーマン面S^*の方ではないでしょうか.
 

田村二郎著『解析函数』 旧版と新版

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年10月 2日(日)08時05分16秒
編集済
  >なんと,,,そうしますと新版では誤植になってたのですね。
「新版」を見ていないので分かりません.
「旧版」と「新版」とでは文字の使い方などに,少しばかり(?)違いがあるようです.なので,本書に関する発言は控え目にします.
 

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年10月 2日(日)06時48分17秒
  遅くなりまして大変申し訳ありません。

> 分岐点の扱いが立ち読みではわかりにくかったので古本を買いました。

恐縮です。

> P150での有理型関数のリーマン面Sは、有理型関数を一意化するもので、有理型関数としての
> w^2=z では0と∞は定義域に入らず、結果,分岐点0と∞に対応する点はSにない。
> 代数関数としての w^2=z のリーマン面に一致するのは p181 からの分岐リーマン面S^*の方ですね。

え゛っ! f(z)=√zはP150のSの例にはならないんですか。。

>>分かりかけてきました。
> 良かったです.

お蔭様です。

>>そうしますと,書籍での\bf{D}_λの定義は \bf{D}_λ:pr^-1(D_λ)∩\bar{C}_λ とすべきなのですね?
> 本書(旧版では)ちゃんとそのように定義されています:
>  \bf{D}_λ=p^{-1}(D_λ)∩\bar{C}_λ

なんと,,,そうしますと新版では誤植になってたのですね。
 

線型と線形

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月30日(金)19時57分40秒
編集済
  ご教示ありがとうございます.私の指導教官でした永田先生も「線型」ですね.おられたら先生の意見を聞きたいところですが,もうだいぶ前に亡くなられました.

「形」も大切な言葉ですが歌舞伎の「女形」のように外形のことをいいます.その外形を演じる役者です.それに対して,「型にはめる」というときの「型」は中味まで決めることです.

線型空間は,集合が体上の加群としての構造をもつということで,内部構造に関することです.「形」が線形ということではないはずですから「線形空間」はおかしいです.「線形代数」も代数構造が線型であるということなので,「線型代数」です.

現在の,日本の数学者は,こういう問題にあまりにも無頓着です.「線形代数」の講義を受けている大学生は,いちど教官にどう考えるのか聞いてみてほしいものです.
 

線型と線形

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月30日(金)18時42分2秒
編集済
  こんな頁がありました.
http://archive.fo/Uh6EM

【注】上の文中にミスあり.
   永田雅宣 → 永田雅宜
 

線形代数?

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月30日(金)16時01分5秒
編集済
  >一方で「線型」は「線形」に駆逐されかけているように感じます
そうなのですか.手元のア・イ・マリツェフ『線型代数学』,『演習代数学』なども「線型」で,当然こちらも「線型代数の考え方」 です.
一方,ブルーバックスの『現代数学小事典』は「線形代数学」ですね.大学1年の教科名はどのようになっているのでしょう.

こういう問題はおろそかにしない方がいいのですが.
 

形と型

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月30日(金)14時50分46秒
編集済
  >「形」は外から見た見かけの形で、「型」はそのものの構造、なので「型」の方がいいと思います。
全く同感ですが,一方で「線型」は「線形」に駆逐されかけているように感じます.

なお,『数学英和小辞典』(講談社)では [meromorphic] を「有理形」と訳し,
また,『数学 英和・和英辞典』(共立出版)では「有理形,有理型」と併記していました.
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月30日(金)13時01分30秒
  数直線上にn個の点ai(i=1,2,…n)がある。
(1) 点xから各点aiへの距離の二乗の和h(x)を最小とするxの値、およびその最小値を求めよ。
(2) 各点aiをpai+qに変えたとき、(1)の答えはどうなるか。
よろしくお願いします。aiのiはaの右下に小さくついてる文字です。
 

形と型

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月30日(金)12時10分24秒
編集済
  旧版の「型」をからあえて「形」に変えたのですか。
吉田洋一『函数論』は「有理型函数」、一松信『函数論入門』も吉田洋一監修の倍風館で、「有理型函数」、蟹江さんの『数学用語英和辞典』では[meromorphic]を「有理型」と訳しています。
「形」は外から見た見かけの形で、「型」はそのものの構造、なので「型」の方がいいと思います。
 

有理型と有理形

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月30日(金)10時49分49秒
編集済
  旧版では「有理型函数」となっています.「有理型→有理形」,「函数→関数」と変化.

手元の書物を確認したところ,(辞典を除く)9冊中「有理形」を使っているのは次の1冊のみでした.
  笠原乾吉:『複素解析』実教出版,1978年

高橋礼司『複素解析』,神保道夫『複素解析入門』,杉浦光夫『解析入門』,一松信『解析学序説』などは「有理型」.

『岩波数学辞典』は第2版,第3版ともに「有理形」を,『岩波数学入門辞典』は「有理型」を使っています.

両者が併存しているようですね.(「有理型」が優勢?)
 

有理形関数

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月30日(金)09時07分0秒
  また,本書では有理形関数を使っているのですね.  

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月27日(火)17時17分52秒
編集済
  分岐点の扱いが立ち読みではわかりにくかったので古本を買いました。

P150での有理型関数のリーマン面Sは、有理型関数を一意化するもので、有理型関数としてのw^2=z では0と∞は定義域に入らず、結果,分岐点0と∞に対応する点はSにない。
代数関数としての w^2=z のリーマン面に一致するのは p181 からの分岐リーマン面S^*の方ですね。

P150のリーマン面Sを分岐リーマン面と同じように考えていたので、点0の近傍をどのようにとるのか、わからなかったのです。
 

田村二郎著『解析函数』6

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月27日(火)08時03分55秒
  >分かりかけてきました。
良かったです.

>そうしますと,書籍での\bf{D}_λの定義は \bf{D}_λ:pr^-1(D_λ)∩\bar{C}_λ とすべきなのですね?

本書(旧版では)ちゃんとそのように定義されています:
  \bf{D}_λ=p^{-1}(D_λ)∩\bar{C}_λ.
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月27日(火)06時39分6秒
編集済
  かたつむりさん、ありがとうございました。作っていただいた
問題を解くごとに、ジワリ、ジワリと染み渡るように
わかるようになってきました。問題2、問題3もとりくんでみます。
 

Re: 田村二郎著『解析函数』 5

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月27日(火)02時14分55秒
  有難うございます。分かりかけてきました。

> \bf{D}_1∩\bf{D}_2=φ という意味です.

そうしますと,書籍での\bf{D}_λの定義は
\bf{D}_λ:pr^-1(D_λ)∩\bar{C}_λとすべきなのですね?
 

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