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Re:2018年入試問題京大特色2番

 投稿者:南海  投稿日:2017年11月22日(水)21時39分33秒
  ヒントをありがとうございます.
円の方程式とy=x^2が共有点をもつ条件を書いて,それを満たす定数の存在,という方向では難しいです.
図形的な考察をどのように厳密に書くかですね.
 

2018年入試問題京大特色2番

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月22日(水)19時31分3秒
編集済
  入試問題研究2018 に掲載された、 2018年入試問題京大特色2番を考えてみました。

(方針)
格子点を(a,b)だけ変位した各点を中心に半径1/100の円を描く。
変位した各格子点をx軸に平行にみたとき、並ぶ隣接各点の間を区間と呼ぶ。
y=x^2のグラフが原点(0,0)から右上に向けて通り抜けていくと考える。
y座標が1増えたときx座標が1つ大きい区間になる箇所がいくらでもある。
x>25すなわちy>625では,傾き2xが50より大きいので,
 下か上の円の内部(x軸に平行な直径部分を考えれば良い)と共有点を持たずに、
x座標が1増えた区間に移ることはできない。

図を描くと容易そうですが、厳密に記述するのは少しめんどうかも知れません。
こんな感じで,もう少し正確に記述すれば答案になるでしょうか?

y=x^2 の方を(-a,-b) 変位して考えたほうが、記述が簡単かも知れません。
 

RE6:2017年東北大理系後期2番について

 投稿者:SSS  投稿日:2017年11月22日(水)10時53分55秒
  入試として出されたことにはやはり
釈然としませんが、高校数学の限界
なんだということで少し納得しました。

ありがとうございました。
 

RE5:2017年東北大理系後期2番について

 投稿者:南海  投稿日:2017年11月20日(月)09時59分59秒
編集済
  高校のときに数学の先生が「教科書は穴だらけ」といわれたので、穴を見つけて埋めるのが勉強だと、教科書を読んだことを覚えています。
今の教科書はわれわれの頃のと比べていちだんと穴だらけになっています。

巾関数の定義域の問題もその一つですね。
実数巾の定義は何らかの実数論がいりますし、また値域と定義域は複素関数論までいかないと統一的にはつかめないですが、少なくとも有理数指数の範囲で、まとめておきたいものです。

東北大の出題は、逆に、今の高校数学への問題提起かも知れません。
 

RE5:2017年東北大理系後期2番について

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月18日(土)15時00分3秒
編集済
  先ほど紹介した数研の教科書では、x>0に限定せずに、x^pの導関数 pが有理数のとき (x^p)'=px^(p-1) としています。

関数y=3√x,やy=x^(1/3) の定義域や導関数については、
同じく数研出版の「もういちど読む数研の高校数学第2巻」の微分法とその応用の「教科書こぼれ話11」に少し詳しく書いてありますが、
「しかし、教科書でここまで厳密に書く必要はないという結論になりました。」
としています。

この関係のことについて指導要領および同解説にも詳しいことは、記載がありません。
 

RE4:2017年東北大理系後期2番について

 投稿者:SSS  投稿日:2017年11月18日(土)13時20分45秒
  >南海先生
現行教科書の記述については、ITさんの
おっしゃる通りです。
(あくまで数研出版さんは、の話ですが)

逆関数の微分を用いてx^(1/3)の導関数を求め、
結論として1/3・x^(-2/3)が得られたところに、
「x^(1/3)はx^3(x>0)の逆関数である」という
補足書きがあり、定義域は正と考えていることがわかります。

また、知人の教員に聞いたところ、教科書の
教授資料に以下のような記述があるようです。

 n√x(n乗根x)=x^(1/n)として微分の公式を
 用いれるのは、xが正の場合のみである。
 (nが奇数で)xが負の場合には、x=-tとおき、
 n√x=n√-t=-n√tとして正の場合に帰着する
 ことで導関数が定義される。


これが、1/3乗ではなく3乗根ならばよいと
思った理由です。
 

RE3:2017年東北大理系後期2番について

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月18日(土)11時53分23秒
編集済
  現行の数研出版「高等学校数学2、数学3」の状況は下記のとおりです。
--------------------------------------------------------------------------------
数2
[指数関数と対数関数-指数関数ー有理数の指数]
 a>0,m,nは正の整数について a^(m/n) などを定義。

[研究 負の数のn乗根]
  nが正の奇数のときに限り,負の数aに対して,x^n=aを満たす実数xがただ1つある。
 この数xもn√a で表す。・・・・ 。
--------------------------------------------------------------------------------
数3
[関数-逆関数と合成関数]コラム[y=x^3の逆関数]
 関数y=x^3は増加関数なので,逆関数が存在します。
 ・・・
 y=3√x これが,y=x^3の逆関数です。・・・

[微分法-導関数-x^pの導関数]
nが正の整数であるとき、関数y=x^(1/n)の導関数は、逆関数の微分法を用いて、
次のように求められる。
  ・・・
 (dy/dx)=(1/n)x^((1/n)-1)

一般に、次の公式が成り立つ。
 x^pの導関数 pが有理数のとき (x^p)'=px^(p-1)
[証明」・・・
---------------------------------------------------------------------

 3√x はx の3乗根のつもりです。

 

RE2:2017年東北大理系後期2番について

 投稿者:南海  投稿日:2017年11月18日(土)09時26分13秒
編集済
  今の教科書が手元にないのですが、1969年の教科書では、練習問題に
αを実数とするとき、x^αを対数微分法で微分せよ。
があり、定義域は指定されていません。

1/xでもそうですが、特に指定しなくとも、実数値が一意に定まり関数値が定まる範囲を定義域とする、ということだと考えられます。

x^{p/q}(p,q互いに素な正整数)の場合、qが奇数なら実数全体、qが偶数なら非負実数が、定義である。

と出題者は考えたのだと思われます。つまり一般の巾関数ではなく、有理数指数の無理関数と考え、定義域は負も含むとしたのでしょう。

>被積分関数が1/3乗ではなく3乗根であれば、
この違いは何でしょうか。
 

RE2:2017年東北大理系後期2番について

 投稿者:SSS  投稿日:2017年11月16日(木)20時19分55秒
  すみません。
23a+7b=0が正しい条件式です。
 

RE:2017年東北大理系後期2番について

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月16日(木)01時16分36秒
編集済
  河合塾の解答では b=(-23/7)a となっていますが、7a+23b=0 が正しいならば
b=(-7/23)a では?
河合塾解答
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/17/th2.html

東北大2017後期問2 があるサイト
http://server-test.net/math/php_q.php?name=04_tohoku&v1=1&v2=2017&v3=2&y1=2017&n1=a&y2=2017&n2=b&y3=2017&n3=c&y4=2017&n4=d&y5=2017&n5=e&y6=2017&n6=f&y7=0000&n7=0
 

2017年東北大理系後期2番について

 投稿者:SSS  投稿日:2017年11月15日(水)22時48分6秒
  7a+23b=0(a>0)のとき、
関数F(x)=∫(x→2x+1)(at+b)^(1/3)dtの最小値を求めよ、という問題です。

河合塾と本屋にある聖文社の解答では、
微積分の基本定理を使ってF(x)を微分して増減表をかき、
x=1のときに最小値をとる、としています。
x=1のとき、積分区間は1≦x≦3になりますが、この区間で
被積分関数は負の値をとり、答も負の数になっています。

しかし高校の教科書では、指数が非整数実数のときは
底が正の場合しか定義していません。
数Ⅲで導関数を求める際にも、定義域は暗黙に正の
範囲としています。

被積分関数が1/3乗ではなく3乗根であれば、
負の値でも定義されるので問題ないかと
思いますが、その場合でも積分計算の際に
負の数の4/3乗が出てきてしまい、上記解答では
これが正の数になるとしています。
(一応、4乗してから1/3乗する、というように
指数法則を都合よく用いれば整合しますが…)

被積分関数が正の範囲で考えるならば、
定義域は7a+23b=0よりx>23/7になるので、
積分区間が23/7<x≦53/7となり、その後の計算でも
不都合は起きません。
ただこの場合は、被積分関数のグラフの概形から
答はほぼ明らかで、微積分の基本定理を用いる意味が
あまりありません。
それに、区間の左端が除外点で定積分を
考えられるのか、ということにもなります。

どのように思われるでしょうか。
 

Re5:正多角形上の鋭角三角形の個数

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月 6日(月)21時27分58秒
編集済
  >これは、外接円の「半周」分の点で数えている場合では?BとA_iを結んで、その片側だけで考えているのではと愚考したけど

Bが正n角形のすべての頂点を動きますので、もれなく重複なくすべてのパターンをカバーすると思います。
 

Re4:正多角形上の鋭角三角形の個数

 投稿者:Passersby  投稿日:2017年11月 6日(月)18時35分22秒
  Bと結ぶと外接円の直径になる頂点をA_iとすると、A,CはBからA_iまで(Bを含まずA_iを含む)の間(時計回りに見て)にある
>これは、外接円の「半周」分の点で数えている場合では?BとA_iを結んで、その片側だけで考えているのではと愚考したけど
 

Re3:正多角形上の鋭角三角形の個数

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月 5日(日)09時27分9秒
編集済
  > 直角・鈍角三角形の個数はn×{(n/2)C2} 通り。
>ではなく、この2倍では?
根拠を教えてください。

n=6のとき 正6角形ABCDEFの頂点で三角形を作るとき
∠Aが直角・鈍角になるのは、△ABF,△ABE,△ACFの3通りなので
直角・鈍角三角形の個数 =3×6=18個 ={(n/2)C2}×n になると思いますが、
漏れがあれば教えてください。
 

Re2:正多角形上の鋭角三角形の個数

 投稿者:Passersby  投稿日:2017年11月 4日(土)19時11分3秒
  直角・鈍角三角形の個数はn×{(n/2)C2} 通り。
>ではなく、この2倍では?
 

合同式~行列

 投稿者:南海  投稿日:2017年11月 3日(金)11時25分27秒
編集済
  もし小学生か中学生なら先生に聞こう.
高校生以上なら教科書などを読もう.
 

行列

 投稿者:鈴木  投稿日:2017年11月 3日(金)11時23分11秒
  行列A= 0 5 と B= 1 -3 について、A+Bの逆行列を計算せよ。
     -1 2           3   1
行列について分かる方教えてください。
 

置換

 投稿者:鈴木  投稿日:2017年11月 3日(金)11時20分38秒
  置換σ= 1 2 3 4 と γ= 1 2 3 4 についてσγγを求めよ。
     3 1 2 4      2 3 4 1

置換について分かる方教えてください。
 

最大公約数

 投稿者:鈴木  投稿日:2017年11月 3日(金)11時20分6秒
  697と493の最大公約数を求めよ。
最大公約数について分かる方教えてください。
 

合同式

 投稿者:鈴木  投稿日:2017年11月 3日(金)11時19分14秒
  1次合同式 23x≡1(mod13)を解け。
合同式が分かる方教えてください。
 

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