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かたつむり先生。明けましておめでとうございます。
かなり昔の未解決問題です。
http://6504.teacup.com/aozoram/bbs?page=39&
タイトル[微分可能性 ]投稿日：2014年 8月22日(金)17時11分57秒
『[定義] Aをn×n正値エルミート行列,rを0<r≦1なる実数とする時,
A^r:=U^*diag(λ_1^r,λ_2^r,…,λ_n^r)U (但し,Uはユニタリ行列,λ_1,λ_2,…,λ_nはAの固有値)と定義します(指数行列の定義)。
その時, A,Bをn×n正値エルミート行列とし、Iをn×n単位行列,mを自然数とすると
行列式|(A+xB)^r+mI|
がx=0(xは実変数)で微分可能となることが分かりません。
かなり,色々といじってみたのですが(対角化の形にしてみたりとか),なかなか式変形すら大変なようです。
どのようにしてx=0での微分可能性が言えますでしょうか?』
という以前の質問ですがもしかしたら解決したかもです。
今,d/dx det((A+xB)^r+mI) |_{x=0}を求めたいのですよね。
(f_1(x),…,f_n(x)):=F(x):=(A+xB)^r+mI,
(g_1(x),…,g_n(x)):=G(x):=d/dx F(x) と置く(f_1(x),…,f_n(x),g_1(x),…,g_n(x)はF(x),G(x)の列ベクトル)と
d/dx det((A+xB)^r+mI) |_{x=0}=Σ_{k=1..n}det(f_1(0),…,f_{k-1}(0),g_k(0),f_{k+1}(x),…,f_n(x))…(*)と変形できる。
そこで一般の二項定理を使って,
(A+xB)^r=A^r+rA^{r-1}xB+(r(r-1))/2!A^{r-2}(xB)^2+(r(r-1)(r-2))/3!A^{r-3}(xB)^3+…
と書けますよね(勿論,行列の積の順序も考慮せねばなりませんが)。
よって,G(0)=rA^{r-1}B=U^*diag(rλ_1^{r-1},rλ_2^{r-1},…,rλ_n^{r-1})UB、
F(0)=A^r=U^*diag(λ_1^r,λ_2^r,…,λ_n^r)U求まるのでこれらを(*)に代入すればよい。
以上から,
行列式|(A+xB)^r+mI|はx=0で微分可能である。 (終り)
でいかがでしょうか?
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