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京大特色入試 4番(その2)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 3日(土)09時57分3秒
編集済
  12/2付の解答を拝見しました.

〈Weyl の一様分布に関する定理〉を援用すれば,確かに
   ([k/\sqrt{5}]+1+[(k+1)/\sqrt{5}]+1+[(k+2)/\sqrt{5}]+1)-(対応する台形の面積)>1/4
となる自然数 k が無数に存在すると言えます.
しかし,{k/\sqrt{5}}(小数部分)が1に極めて近いとき,
   ([k/\sqrt{5}]+1+[(k+1)/\sqrt{5}]+1+[(k+2)/\sqrt{5}]+1)-(対応する台形の面積)
は負の値をとります.これを考慮する必要はありませんか.

【追記】連続する2項の和については,つねに
  ([k/\sqrt{5}]+1+[(k+1)/\sqrt{5}]+1)-(対応する台形の面積)>0
が成り立ちます.さらに,〈Weyl の一様分布に関する定理〉を援用すれば
  ([k/\sqrt{5}]+1+[(k+1)/\sqrt{5}]+1)-(対応する台形の面積)>1/2
となる自然数 k が無数に存在すると言えます.
つまり,〈Weyl の定理〉を用いるのであれば,連続する2項の和を考えるだけで済みます.
連続する3項の和で証明するのは,かえって面倒になると思います.

【追記2】上の記述では,√(5) を \sqrt{5} と記しました.

【追記3】連続する4項の和を丁寧に評価すれば,〈Weyl の定理〉の助けを借りることなく証明できます.

 

京大特色入試 1番

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 2日(金)17時41分27秒
編集済
  条件(A)を
 「すべての自然数nに対して sin((n-1)πr) sin((n-2)πr)≧0 ・・・(*)」
と言い換えて r=q/p<1/2(p,q は互いに素な自然数)とおいた後,もう一段階
 (A)⇔「q(m-1)<pl<qm を満たす整数 m(≧0),l が存在しない」
と言い換えておくと見通しが良くなると思います.(n-1=mとおいたのは記述を短くするためで本質的ではありません.)

こうすると,「q=1 のとき(A)が成り立つ」は一目で分かります.
また,q≧2 の場合は,pをqで割って p=qs+r (0<r<q) と書けば,
     qs<p<q(s+1)
となるので,(A)が成り立たないと言えます.

私は最初,(*) の前の cos((2n-3)πr)≦cos(πr) (0<r<1/2) を用いて
 (A)⇔「すべての整数 m(≧0)に対して cos((2m-1)πr)≦cos(πr) 」
として考えました.r=q/p<1/2(p,q は互いに素な自然数)とおけば
 「点 (cos((2m-1)πr),sin((2m-1)πr)) (m=0,1,2,...) は正p角形の頂点をなす」
と言えます.(もちろん,証明が必要です.) すると,最終的に
 (A)⇔「2点 (cos(πq/p),-sin(πq/p)), (cos(πq/p),sin(πq/p)) が正p角形の隣り合う2頂点となる」
となって解決できます.
でもやはり,(*) まで書き換えた方がすっきりします.

念のため.
以上の記述の「(A)⇔・・・」では,(A) を「有理数 r (0<r<1/2) に関する条件」として考えています.
r=1/2 の考察は先に済ませられるので.
 

Re: 京大特色入試 4番

 投稿者:南海  投稿日:2016年12月 1日(木)22時00分48秒
  昨日までに1~3番を作ってみましたが,間違いがあればご指摘ください.
4番の(2)がいちばん難しいですね.
もう少し定性的な論証ができないか,明日考えてみます.
 

京大特色入試 4番

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 1日(木)09時28分11秒
編集済
  京大特色入試問題をやってみました.

4番(2)が(私には)とても難しく,なんとか
  S_{4m}>(4m)^2/(2√(5))+2(1-2/√(5))m
という評価を導いて解決しました.数値計算の結果を観察すると,もっと良い不等式
  S_{n}>n(n+1)/(2√(5))
が成り立ちそうですが,これは証明できていません.

1,2,3番も,良い勉強になりました.
こちらのホームページの解答は,これから拝見します.
 

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年11月28日(月)03時13分40秒
  すっかり遅くなりまして大変申し訳ありません。
もう一度整理させてください。

[定義ア] 『a,b∈⊿⊂D_λ∩D_μ (ここで,D_λ,D_μ⊂\bar{C}は開領域,⊿は連結成分) をとする。
\bf{a},\bf{b}∈∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ(ここで,{\bf{a}}=pr^-1(a)∩\bar{C}_λ,{\bf{b}}=pr^-1(b)∩\bar{C}_μ)に対して,
∃λ,μ∈Λ;(\bf{a},\bf{b})∈\bf{D}_λ×\bf{D}_μ (但し,\bf{D}_λ:=pr^-1(D_λ)∩\bar{C}_λ,\bf{D}_μ:=pr^-1(D_μ)∩\bar{C}_μ)。その時,

\bf{a}~\bf{b} (\bf{a}と\bf{b}とは同一視されるといい,本書では'='という記号を使用してる)

a=b且つf_λ(z)=Σ_{k=n..+∞}c_k(z-a)^k=f_μ(z)…(*)なる(k,(c_k)_{k=n..+∞})∈Z×(\bar{C}^ω)が存在するような有理型関数f_λ:D_λ→\bar{C},f_μ:D_μ→\bar{C}が存在する』

[定義イ] 『\bf{a}∈∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λに対して,∃λ∈Λ;{\bf{a}}=pr^-1(a)∩\bar{C}_λ.
その時,{\bf{z}∈pr^-1(Disc[a,ε))\\bar{C}_λ;\bf{z}~\bf{w}}=φ for∀\bf{w}∈Disc[\bf{b},ε) なるε>0が存在する。
この時,Disc[\bf{a},ε)を\bf{a}の近傍といい,N(\bf{a})と表記する(但しDisc[\bf{a},ε):={\bf{z}∈\bar{C}_λ;|\bf{a}-\bf{z}|<ε})』

が同一視と近傍のの定義だと思います。それでもってp151の定理2(iii)について下記の様に証明してみました。

((iii)の証明)

(ウ) pr(\bf{a})=:a≠b:=pr(\bf{b})の場合はN(\bf{a})とN(\bf{b})の半径εを夫々|a-b|/2と取れば,N(\bf{a})∩N(\bf{b})=φとなる。

(エ) a=bの場合は,同一視の定義より,\bf{a} \not~ \bf{b}…(**) となるので(*)となるようなf_λ,f_μが存在しない。
即ち,G_ε:={\bf{z}∈pr^-1(Disc[a,ε))\\bar{C}_λ;\bf{z}~\bf{w}}=φ for∀\bf{w}∈Disc[\bf{b},ε) なるε>0が存在せねばならない。
何故なら,もし任意のε>0に対してもG_ε≠φだとすると,∩_{ε>0}G_ε(≠φ)は単集合となり,然も∩_{ε>0}G_ε={\bf{a},\bf{b}}且つ\bf{a}~\bf{b}となってしまい(**)に矛盾する。
従って,N(\bf{a})∩N(\bf{b})=φなるε>0が取れる筈である。  (終)

としたのですが大丈夫でしょうか?
 

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年11月 4日(金)23時46分33秒
  有難うございます。

p151の上から5行目'互いに交わらない領域'とあったのですが,
規約にて\bf{a}が同一視されてる場合は複数の\bf{D}_λに\bf{a}は含まれるのですね。

'幾つか'は同一視もカウントしているという意味だったのですね。

よって,\bf{a}の近傍と言ったら,\bf{a}と同一視されてる\bf{a}_λ(∈\bf{D}_λ)を指定して
\bf{a}_λを中心とする開円盤N(\bf{a}_λ)(⊂\bf{D}_λ)を\bf{a}の近傍といいN(\bf{a})と表記するのですね。
 

余弦定理と加法定理について。

 投稿者:コルム  投稿日:2016年11月 4日(金)18時16分37秒
  問題をつくっていただけないでしょうか?すみません。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか。お願いできないでしょうか?無理でしたら大丈夫です。すみません。  

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:南海  投稿日:2016年11月 4日(金)09時20分36秒
  >今\bf{D}_λ∩\bf{D}_μ=φ (λ≠μ)となってますよね。
どこにそんなことが書いていますか?
規約の最初の2行を読んでください.
 

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年11月 3日(木)06時03分21秒
  > \bar{D}などは,上線(bar)の意味ではなく,太字の意味ですね.

そうでした。\bf{D}です。失礼致しました。


> 質問の件は,p151の規約の対偶です,
> f_λ(z)とf_μ(z)がaにおいて同じ関数要素を定めるなら,その上の点,
> 太字{a}と太字{b}は同一視する.太字{a}≠太字{b}なので異なる関数要素を定める.

なるほど。納得です。

ところでp151の近傍の定義の箇所
「Sの点\bf{a}は(幾つかの)\bf{D}_λに属する。~N(\bf{a})を\bf{a}の近傍と定める」
についてなのですが,
今\bf{D}_λ∩\bf{D}_μ=φ (λ≠μ)となってますよね。故に\bf{a}∈\bf{D}_λなるλ∈Λが唯一つ存在するはずですよね。
なのにどうして'幾つかの'と形容詞がついてるのでしょうか?
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年10月31日(月)11時22分2秒
  ①P303例において

K(√17):d=17,a<(√17)/2<3,a=1またはa=2

さて、N((3+√17)/2)=-2 故に2の因子は単項イデアルである。

これは、-2=((3+√17)/2)((3-√17)/2)であるから、

    2=-((3+√17)/2)((3-√17)/2)となるから
2の因子である((3+√17)/2)と(3-√17)/2)は前にマイナスはついているが
マイナスは単数だから、イデアルとしてみる場合どちらのイデアルにマイナスが
ついてもイデアルとして同じものだから、因子は単項イデアルである。

という理解は、正しいのでしょうか?

②P315下から3行目の例で

一番下の√21/(1+ε)=・・・
どのような根拠でこの式が、出るのでしょうか?

P316の上から4行目の例で
上から5行目

√6/(3+√6)=・・・

どのような根拠でこのような式が出るのでしょうか?

③P318下から4行目
ε。をK(√m)の基本単数とすれば、もちろん(ε。,f)=1であるから

とありますが、なぜ、ε。とfが互いに素なのでしょうか?

よろしくお願いします。




 

Re:ルベーグ可測関数である事

 投稿者:Imogene  投稿日:2016年10月30日(日)05時12分26秒
  fの連続性からg(y)も連続になりますね。 よって,任意のr∈Rに対して,もしr=inf(|h(y,z)|;(y,z)∈A×(B\{z_0})}なら
{y∈A;g(y)>r}は閉集合でr>inf(|h(y,z)|;(y,z)∈A×(B\{z_0})}なら{y∈A;g(y)>r}は開集合になりますよね。
従って,gは可測関数になると思うのですがこれで正しいでしょうか?
 

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:南海  投稿日:2016年10月28日(金)16時39分17秒
  \bar{D}などは,上線(bar)の意味ではなく,太字の意味ですね.

質問の件は,p151の規約の対偶です,
f_λ(z)とf_μ(z)がaにおいて同じ関数要素を定めるなら,その上の点,太字{a}と太字{b}は同一視する.太字{a}≠太字{b}なので異なる関数要素を定める.
 

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年10月28日(金)02時46分23秒
  遅くなりまして申し訳ありません。

「定理2 Sは連結した相空間である」の(iii)の証明を読んでいます(P155の例4も読んでます)。

'a=bの時は\bar{a}∈\bar{D}_λ,\bar{b}∈\bar{D}_μとする時,f_λ(z)とf_μ(z)はaにおいて異なる関数要素を定める'

の下りの所なのですが,どうして異なる関数要素を定めると分かるのでしょうか?
 

Re:ルベーグ可測関数である事

 投稿者:Imogene  投稿日:2016年10月21日(金)02時25分34秒
  h(y):=(f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0)(∈C)と置くと,h(y)は連続なので|h(y)|も連続ですよね。
この時,g(y)も連続になる事が言えればお仕舞いだと思うのですが。。
 

ルベーグ可測関数である事

 投稿者:Imogene  投稿日:2016年10月20日(木)06時38分44秒
  C^2は2次元の複素数体とする。
φ≠E⊂C^2はコンパクトでEの第一射影,第二射影を夫々A:=proj_1E,B:=proj_2E(この時,E⊂A×Bとなります),
f:E→Cは連続でfはBで偏導関数可能と仮定します。
この時,
g(y):=sup{|(f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0)|∈[0,+∞);z_0≠z∈B}と置くと,g:A→[0,+∞]はルベーグ可測関数になる事を示したいのですが,
どうすればいいでしょうか?
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年10月16日(日)22時08分21秒
編集済
  かたつむりさん、チェックしていただいて
ありがとうございました。
内容が、頭に滲みてくるのに時間がかかる方ですので
ようやく、目の前が開けてきた感じです。
 

初等整数論講義 第5章 4

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年10月16日(日)16時47分58秒
編集済
  御自身で解決されて良かったです.要するに,
  1-ω, 1-bar{ω}, √(-3) が同伴で,3=(1-ω)(1-bar{ω}) である
ことにより,
   (3,√(-3))=(√(-3))=(1-ω),  (3)=((1-ω)^2)
となるわけです.
p.291[例]の他の項目も,簡単に確かめられますが,本書の§44は全般に非常に読みにくく,
(この分野を初めて学習する人なら誰でも)「解読」するのは容易ではないと思います.

p.289下部の i), ii) では,m≡1 (mod 4) の場合の考察が抜け落ちています.
「同様」で済ませられることではなく,断り書きもないことから,書き忘れではないか(?)と思います.
再構成するときに「やりがい」のあるセクションであるとも言えます.
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年10月16日(日)11時22分19秒
  (3,√ー3)=(1-ω)の証明

λ=1-ωとおくと、P258より
λ~√-3であり、3~λ^2であるから

√-3=ελ, 3=τ(λ^2)
(ただし、ε,τは、単数)

(3,√-3)=(τ(λ^2),ελ)⊂(λ)

また、λ=ρ√-3(ただし、ρは、単数)であるから

(λ)⊂(√-3)⊂(3,√ー3)



 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年10月11日(火)11時20分6秒
  かたつむりさん、ありがとうございます。
もう一度、考えてみます。
 

初等整数論講義 第5章 3

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年10月11日(火)11時13分44秒
  >自分でも、②は、くどい証明だなーと思っています。
くどいかどうかではなく,根拠が間違っているということです.

1-ω=(3-√(-3))/2 という書き換えによって 1-ω∈(3,√(-3)) が根拠づけられるわけではありません.
1/2 は(いま考えている2次体の)整数ではないのですから.
 

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