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昨日の投稿で「互いに素という前提は，(2) の証明では不要」と書きました．その証明の骨子を記します．
見た目より「単純」です．多くの方に確認していただけると有り難いです．
p=2^{n}-1 とおく．性質P(k,n)を持つ数列 a_{1},a_{2},...,a_{n} は（ハ）を満たすので，
2a_{m}-a{m+k}=pl_{m} (1≦m≦n-k), 2a_{m}-a_{m+k-n}=pl_{m} (n-k+1≦m≦n) （l_{m} は整数）
と表される．この数列が（ロ）を満たすことに着目し，l_{m} を評価すると，
前者については l_{m}=0, 後者については l_{m}=1 となることが分かる．
(肝心なところですが，過程を省略します．）
つまり，a_{1},a_{2},...,a_{n} は，
2a_{m}-a{m+k}=0 (1≦m≦n-k), 2a_{m}-a_{m+k-n}=p (n-k+1≦m≦n) , ・・・(*)
即ち 2a_{m}=a{m+k} (1≦m≦n-k), 2a_{m}=a_{m+k-n}+p (n-k+1≦m≦n) ・・・(**)
を満たす．（これらn個の等式を順に縦に並べると，左辺には a_{1},a_{2},...,a_{n} が，
右辺には a_{k+1},...,a_{n},a_{1},...,a_{k} がこの順に現れます．）
b_{m}=a{m+1}-a_{m} (1≦m≦n-1) とおいて数列 {b_m} を定める．（ロ）により，{b_m} の各項は正整数である．
(**) により，m≠k ならば b_{m}=2b_{i} なる i が存在するので，{b_m} の各項を小さい順に並べてできる数列は
「初項 b_{k}=a_{k+1}-a_{k}, 公比 2 の等比数列」になる．（ここも推論過程を省略しています．） だから，
a_{n}=a_{1}+b_{k}(2^{n-1}-1).
ここで，2a_{1}=a_{k+1}>0 により a_{1}≧1 であるから，もし b_{k}≧2 とすると
a_{n}≧1+2(2^{n-1}-1)=2^{n}-1
となってしまう．したがって，
b_{k}=1, 即ち a_{k+1}-a{k}=1.
性質 P(k,n) を持つ数列の存在は，上記の連立方程式(*)の解の性質に帰着します．
これについては，後日，記したいと思います．
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