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確率について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 8月15日(火)00時36分32秒
  1から1000まで書かれたカードが1枚ずつあります。
その中から無作為に2枚同時に引き、大きい方の数をP、小さいほうの数をQ
とするとき、
log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log103
となる確率を求めたいのですが、どこから手をつけてよいのか分かりません。
教えていただけると幸いです。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 8月14日(月)23時50分22秒
  ご指摘ありがとうございます。
直しておきました。
 

95京大後期理系5番の解答

 投稿者:IT  投稿日:2017年 8月14日(月)20時22分7秒
  95京大後期理系5番の解答の(1)の最後の行の末尾の q[1]=3/4 は、q[2]=3/4 の誤植ではないでしょうか?  

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月21日(金)17時31分25秒
  ご指摘ありがとうございます.
直しておきました.
 

積分可能性

 投稿者:gulse  投稿日:2017年 7月20日(木)18時15分30秒
  積分可能というページの積分可能性の条件に関して、「整数ε」→「正数ε」だと思われます。  

(無題)

 投稿者:Qwenthur  投稿日:2017年 7月 5日(水)09時33分26秒
  危ない危ない。自作のヒントを自ら投下してしまうところでしたよ。
そもそもの問題が成立するのか、というところから始めないといけないあたり、一般の大学受験生からすると難しい部類にはなるのでしょうか?
問題文をそのまま受け取れないところもポイント高いw
 

(無題)

 投稿者:Qwenthur  投稿日:2017年 7月 5日(水)09時23分29秒
編集済
  南海先生の単純化された問題に対しては、
(言ってはいけないことを言ってしまった気がしたので削除しました)
という結果が出た気がします
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月 5日(水)09時05分35秒
  単順化して次のような問題もあります。
3実数a,b,cが ab+bc+ca=a+b+c>0 を満たしている時,a+b+c の最小値はいくらか。
 

Re: 自作問題の訂正内容

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月 2日(日)08時45分45秒
編集済
  g(a,b)=[a^6 / {(b-c)^2+8}] + [b^6 / {(c-a)^2+8}] + [c^6 / {(a-b)^2+8}] + [6 / {3(a+b+c)-1}]
としても,a=b=c=1のとき∂g/∂a=0です。同様に∂g/∂b=0もわかりa=b=c=1のとき,最小値が9/8ですか。
こちらが何か思い違いをしているかもしれませんが。

もとの問題の方が最小値1できれいかもしれません。誤植のお陰で新しい問題ができた!
いずれにしても,まず解析方法を仕上げること,つまり∂^2g/∂a^2>0などをしめすことと,他に代数的な解法があるはずで,それも考えてみます。
 

自作問題の訂正内容

 投稿者:Qwenthur  投稿日:2017年 7月 2日(日)03時13分18秒
  初項:b+c → b-c
第2項:c+a → c-a
第3項:a+b → a-b
と訂正いたします。
ネット空間とはいえ、夜分に失礼いたしました。
 

申し訳ありません!!!訂正が。。。

 投稿者:Qwenthur  投稿日:2017年 7月 2日(日)03時07分36秒
  まさかの、問題を打ち間違える失敗をしてしまいました!(確認作業を怠った自分が恨めしい)
正しくは

問題:
3実数a , b , c が ab + bc + ca = a + b + c > 0 を満たしている時、
[a^6 / {(b-c)^2+8}] + [b^6 / {(c-a)^2+8}] + [c^6 / {(a-b)^2+8}] + [6 / {3(a+b+c)-1}]
の最小値を求めよ。

でした!!考えてくださった方、特に南海先生に深く謝罪申し上げます。
申し訳ありませんでした!
 

Re: 自作問題(最小値)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月 1日(土)22時32分26秒
編集済
  まだ途中なのですが。
a,b,cの間に関係式が1つあるのでc=1+(1-ab)/(a+b-1)でcをaとbの関数とし,
f(a,b)=[a^6 / {(b+c)^2+8}] + [b^6 / {(c+a)^2+8}] + [c^6 / {(a+b)^2+8}] + [6 / {3(a+b+c)-1}] とおきます。

∂c/∂a=(-b^2+b-1)/(a+b-1)^2を用いて,∂f/∂aを計算します。複雑な式になりますが,a=b=c=1のとき∂f/∂a=0です。同様に∂f/∂b=0もわかり,ここで(2変数の)極です。
極小の証明がまだできていませんが,a=b=c=1のとき,最小値が1と考えられます。
 

青空学園数学科入り口

 投稿者:IT  投稿日:2017年 7月 1日(土)13時18分49秒
  対応ありがとうございます。直りました。  

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 7月 1日(土)10時45分18秒
  ご指摘ありがとうございます。直しました。再読込で正しく表示されるはずです。  

青空学園数学科入り口

 投稿者:IT  投稿日:2017年 7月 1日(土)08時28分4秒
  南海先生 「青空学園」を愛読しております。

数学科の入り口が国語科に変わっているようですのでお知らせします。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/index2.html
上記で「数学科扉」をクリックしても「国語科」に行きます。
 

自作問題(最小値)

 投稿者:Qwenthur  投稿日:2017年 6月28日(水)23時25分48秒
  初めまして。大学1年のQwenthurと申します。
突然ですが、僕は高校時代に数学研究部なるところで活動していました。その学校の文化祭では、数学研究部の企画の一つとして、部員有志の自作問題を集めた「和田杯」という数学コンテストをやっているのですが、如何せん一般の方に興味を持っていただくのが難しく、問題によっては殆ど解いてもらえません。僕が作ったのもその中の一問になってしまい、このままでは寂しいので、この問題に興味を持ってくださる方が少しでもいらっしゃるところに出そうと探していると、知恵袋でここが紹介されているのを見つけました。(ただ、その問題は高校内容のものなので、雰囲気がどちらかというと現代数学に傾いている感じがしないでもないこの場所に出すのは気後れしますが、気にしない、気にしない、気にしたら負けだ・・・)

では、早速。。。僕が初等幾何以外に初めて作った代数分野の問題です。

問題:
3実数a , b , c が ab + bc + ca = a + b + c > 0 を満たしている時、
[a^6 / {(b+c)^2+8}] + [b^6 / {(c+a)^2+8}] + [c^6 / {(a+b)^2+8}] + [6 / {3(a+b+c)-1}]
の最小値を求めよ。

という問題です。要は、4つの分数の和の最小値はなんでしょう?というものです。個人的には、分子に6がいっぱいあって、そこそこ綺麗なかたちに見えて気に入っているのですが・・・。
通勤時や、時間に余裕のある方で、少しでも興味を持ってくださった方がいらっしゃれば幸いです。

それでは失礼いたします。
 

(別解3)

 投稿者:IT  投稿日:2017年 6月27日(火)22時40分44秒
編集済
  (別解3) 別解2と共通部分は一部省略してます。グラフを描いてみて気づいた解法です。
f(x)=(x-2)^2+a-4なので,y=f(x)のグラフはx=2を軸として対称である.
よって,y=f(f(x))-f(x) のグラフもx=2を軸として対称である.
したがって,f(f(x))-f(x)=0 がちょうど奇数個の実数解を持つためには,x=2が解であることが必要.
f(f(2))-f(2)=0 より(a-6)^2=0.
よってa=6. 以下省略。

(注)f(f(x))=f(x)の形が気になって、できるだけこのことを意識した別解を考えました。
本番では、最初の解がある意味素直で実戦的かも知れません。

 

別解2

 投稿者:IT  投稿日:2017年 6月27日(火)21時58分18秒
編集済
  (別解2)
f(x)=x^2-4x+a とおくと(1)はf(f(x))=f(x)と書ける.
y=f(x)のグラフは軸がx=2の放物線なので,
実数α、βについて,f(α)=f(β)となる⇔α=βまたは(α+β)/2=2
よって実数xが(1)の解⇔f(x)=xまたはf(x)+x=4
⇔x^2-5x+a=0…(2)またはx^2-3x+a-4=0…(3)  #実は(1)は(x^2-5x+a)(x^2-3x+a-4)=0
したがって
(1)がちょうど3つの異なる実数解を持つ
⇔A:(2),(3)の一方が重解を持ち他の一方が異なる2つの実数解を持ち重解とも異なる.
 または、
 B:(2),(3)がそれぞれ2つの異なる実数解を持ち,そのうち1つが共通解.

Aのとき (2)の判別式D=0よりa=25/4,(3)の判別式D=0よりa=25/4、よってAの場合はない.
Bのとき、(2)(3)から2x=4∴x=2 これを(2)に代入しa=6.
a=6のとき(2)(3)は共通解x=2を持つ、またそれぞれ2つの異なる実数解を持ち、一方は互いに異なる。
     よって(1)はちょうど3個の異なる実数解を持つ。(もう少していねいな説明が必要です)
 

別解

 投稿者:南海  投稿日:2017年 6月24日(土)08時48分48秒
編集済
  下記の問題の別解です.
f(x)=0が重解αをもつ条件は.f(α)=f'(α)=0 であることを用いる.

t=x^2-4x+a とし,f(x)=t^2-5t+a とする.df/dx=(2t-5)(2x-4) である.
x=αのとき,2t-5=0でかつf(x)=t^2-5t+a=0なら,tの2次方程式t^2-5t+a=0自体が重解をもち,f(x)=0の異なる解の個数は0~2個になる.
よって3個になるためには,2α-4=0が必要で,α=2.このときt=-4+aなので,(-4+a)^2-5(-4+a)+a=0.これからa=6.
df/dx=0で2t-5≠0 となるxはこの1つなので,重解は他にはない.
他の2解が実数解である確認はITさんの下2行と同じである.
 

RE:解の個数

 投稿者:IT  投稿日:2017年 6月19日(月)20時10分16秒
編集済
  (x^2-4x+a)^2 -4(x^2-4x+a)+a=x^2-4x+a…(1)

t=x^2-4x+aとおくと
(1)はt^2-4t+a=t、移項してt^2-5t+a=0…(2)
(1)がちょうど3つの異なる実数解を持つためには
tについての二次方程式(2)が2つの異なる実数解を持ち、
 そのうちのひとつの解αについて t=αすなわちx^2-4x+a=α…(3)は重解を持ち…(A)
 残りのひとつの解βについて  t=βすなわちx^2-4x+a=β…(4)は2つの異なる実数解を持つ…(B)
ことが必要十分条件である。

(A) より, 判別式D/4=4-(a-α)=0 ∴α=a-4
これを(2)に代入
 (a-4)^2-5(a-4)+a=0
∴(a-4)^2-4(a-4)+4=0
∴(a-4)=2 ∴a=6、α=2
このとき
 (2)はt^2-5t+6=0∴(t-2)(t-3)=0 なので β=3.
 (4)はx^2-4x+6=3∴ x^2-4x+3=0 これの判別式D/4=4-3>0なので2つの異なる実数解を持つ。

以上から条件を満たすのはa=6.

 

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