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Re:可測集合になること

 投稿者:Imogene  投稿日:2016年12月17日(土)09時23分11秒
  このようにしてみました。

Y:={x∈proj_1(E);f({x}×(N_b∩proj_2(E))⊂C}と置いておきます。

任意の実数rに対して,f^-1(r,+∞)はボレル集合ですね。
そしてY=f^-1(r,+∞)∩proj_1(E)×(N_b∩proj_2(E))でproj_1(E)と(N_b∩proj_2(E))ともボレル集合なので
proj_1(E)×(N_b∩proj_2(E))もボレル集合ですよね。
よって,f^-1(r,+∞)∩proj_1(E)×(N_b∩proj_2(E))もボレル集合。
以上より,Yは可測集合(終り)。

としたのですがこれで大丈夫でしょうか?
 

可測集合になること

 投稿者:Imogene  投稿日:2016年12月13日(火)04時57分9秒
  宜しくお願い致します。

E⊂C^2を開領域とし,bをproj_2(E)の集積点, N_b⊂Cをbの開近傍とする。
もし,f:E→Cが可測関数(任意のボレル集合B⊂Cに対してf^-1(B)⊂C^2もボレル集合)なら,
{x∈proj_1(E);f({x}×(N_b∩proj_2(E))⊂C}は可測集合(ボレル集合)となる事を示せ。

はどうすれば示せますでしょうか?
 

京大特色入試 4番の一般化(その5)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 7日(水)18時17分24秒
  『初等数学』の情報有り難うございます.
いずれにしても,自家用にきちんとまとめる予定です.(そうしないと,じきに忘れてしまうので.)
一般化した問題に答える方が,元の入試問題を「不等式で評価して考える」よりも易しいかもしれません.
(連分数の基本事項を前提とすれば,ですが.)

当初,京大特色入試4番(2)は,難しいだけで,昨年の3番と比べると「数学的構造の面白さ」に欠けると感じていました.
思いがけず〈連分数〉と結びつき,とても楽しめました.昨年の3番が〈巡回行列〉と結びついたことを思い起こします.

【付記】3番は,高校生にとって,∀と∃に関する良い勉強になり,またプログラミングの題材としてもふさわしいと思います.
何か「漸近的な法則」を見出せないものかと,n以下の自然数で後手必勝となるものの個数 f(n) (n≦10^5) を
(すべて)求めてみましたが,徒労に終わりました.ちなみに
 f(100)=20, f(1000)=114, f(10000)=578, f(100000)=2780
でした.
 

『初等数学』

 投稿者:南海  投稿日:2016年12月 7日(水)16時46分9秒
  『初等数学』は,1984年創刊の季刊雑誌です。1冊1000円です。
CiNiiでは
http://ci.nii.ac.jp/ncid/AA11997372
にあります。

私はもう10年以上前からとっていて,2013年にいちど投稿したことがあります。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwasen/egyptian2/node1.html

いつもいくつか面白い文章が載っています。前はサイトもあったのですが,今は「和算の館」の管理人さんがかつてのサイトの一部の写しを置いておられます。
http://www.wasan.jp/shotosugaku/shoto.html

現在は九州の高校の先生が実務をやっておられます。必要なら連絡先など,伝えます。
 

京大特色入試 4番の一般化(その4)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 7日(水)14時20分33秒
編集済
  >論文の紹介ありがとうございます。
実は,私が読んだのは2頁目のLemma1,2(とその証明)だけ(!)です.
Lemma2の最初の等式に目を奪われました.

>4番の一般化をまとめて,『初等数学』などに投稿していただけないでしょうか。
『初等数学』と言いますのは?
 

Re: 京大特色入試 4番の一般化(その3)

 投稿者:南海  投稿日:2016年12月 7日(水)10時36分17秒
  かたつむりさん,論文の紹介ありがとうございます。
印刷したので,読んでみます。
あるいは出題者は,この論文なんかをもとに,4番を作ったのかも知れません。

できればのお願いですが,4番の一般化をまとめて,『初等数学』などに投稿していただけないでしょうか。たいへんおもしろい分野です。
 

京大特色入試 2番

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 6日(火)18時44分7秒
編集済
  2番(2)で,私は
 a_n=∫_{2}^{3}(t^2-1)^{n-1} dt ・・・(*)
と書き換えてから漸化式を導きました.回り道ですが,(*) を見ると
「a_n が有理数であり,分母が奇数の既約分数で表される」理由(?)が分かります.
「被積分関数が偶数巾のみを含む整数係数の整式で表され,上端・下端が整数である」ので.
 

京大特色入試 4番の一般化(その3)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 5日(月)17時24分4秒
編集済
  昨日の投稿(その2)における設定を踏襲します.
昨日の段階では,「b が 1/2<b<2 の範囲の無理数の場合」は未解決で,解決済みの内容を整理すると次の通りでした:
・b>2 の場合は S_b(n)-(b/2)n^2→-∞ (n→∞) となる.(その1)の【追記】に記したように比較的易しい.
・0<b<1/2 の場合は S_b(n)-(b/2)n^2→∞ (n→∞) となる.元の入試問題と同様の手法(2通り)が使える.
・b が正の有理数(b=q/p) の場合は,
   q>p+1 なら S_b(n)-(b/2)n^2→-∞ (n→∞),  q<p+1 なら S_b(n)-(b/2)n^2→∞ (n→∞),
     q=p+1 ならS_b(n)-(b/2)n^2 は周期数列になる.

今日ようやく,連分数展開を用い,正の無理数bについて,
   S_b(n)-(b/2)n^2 は,b>1 なら下に有界でなく,b<1 なら上に有界でない
ことを証明できました.次の論文の出だし(2頁目のLemma2)が参考になりました.
 http://people.math.sfu.ca/~vjungic/tbrown/tom-27.pdf
そこに,昨日記した和公式
  Σ{k:from 0 to p-1}[kq/p]=(p-1)(q-1)/2  (p,q は互いに素な正整数)
と同等の等式が書かれていてビックリしました.無理数の場合も,結局これに帰着したわけです.

【付記】たとえば,元の入試問題の√(5)を√(2)で置き換えると,さらに難しくなる(だろう)ということです.
 

RE:京大特色入試 4番の一般化(その2)

 投稿者:IT  投稿日:2016年12月 4日(日)19時00分43秒
編集済
  >格子点の問題において,有理数は「特異な存在」で,bが無理数の場合には条件(H)を満たす正数Cは存在しないと思います.

やはり無理数であることに意味があったのですね。

かたつむりさん、ありがとうございました。これから読ませていただきます。
筆記試験後も翌日の口頭試問までに研究を深めるような受験生が合格するのでしょうね。
 

京大特色入試 4番の一般化(その2)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 4日(日)18時51分43秒
  文字を替えて,正数bに対し
  0≦x≦n-1, 0≦y≦bx
を満たす格子点 (x,y) の個数を S_b(n) と表すことにします.(京大特色入試4番は b=1/√(5) の場合に当たる.)
条件(H)を
 (H) すべての自然数nについて |S_b(n)-(b/2)n^2|<C が成立する.
と定めます.

午前中の投稿で,b=2 のとき,条件(H)を満たす正数Cが存在することを記しましたが,
このような b は無数に存在することが分かりました.それは
  b=(p+1)/p (pは正整数)
と表される有理数達です.これ以外の有理数bについては,条件(H)を満たす正数Cは存在しません.
b=(p+1)/p のときは,S_b(n)-(b/2)n^2 (n=1,2,...) は周期pの周期数列をなします.

以上のことを証明するために,次の和公式を準備しました:
 Σ{k:from 0 to p-1}[kq/p]=(p-1)(q-1)/2  (p,q は互いに素な正整数).
(この等式の証明も,単独の問題として面白いのではないかと思います.)

格子点の問題において,有理数は「特異な存在」で,bが無理数の場合には条件(H)を満たす正数Cは存在しないと思います.

IT さんの問題提起がきっかけで,とても良い勉強になりました.
 

RE:京大特色入試 4番の一般化

 投稿者:IT  投稿日:2016年12月 4日(日)10時11分29秒
編集済
  かたつむり さん
> a=1/2 のときは,S_n=n^2/(2a) となるので,任意の正数Cが条件(H)を満たします.
回答ありがとうございます。私もざっと調べたのですが見つけられませんでした。
 

京大特色入試 4番の一般化

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 4日(日)09時40分30秒
編集済
  >不等式√5y≦xをay≦x(aは正数) におきかえたとき
>条件(H)を満たすような実数Cが存在するようなaは、あるのでしょうか?

a=1/2 のときは,S_n=n^2/(2a) となるので,任意の正数Cが条件(H)を満たします.

a>2 のときは,S_n-n^2/(2a) → ∞ (n→∞) となることが,
  S_n>Σ{...} (n-1-ay)
を調べて分かりました.(a=√(5)の場合と同様に証明できます.)

他の場合については未確認です.

【追記】
0<a<1/2 のとき,S_n-n^2/(2a) → -∞ (n→∞) となることが,
  S_n<Σ{from x=0 to x=n-1} (x/a+1)
を調べると分かります.
 

京大特色入試 4番

 投稿者:IT  投稿日:2016年12月 3日(土)22時24分37秒
編集済
  この問題の本質は何か考えて見ました。最初は√5 が無理数であることかと思いましたが違うような気もします。
(無理数だと有理数とちがって繰り返しパターンにならないので難しいということでしょうか?)
また√5>2 が効いている訳でもないようです。

√5 の箇所がどんな正数でも(有理数でも)同じことが言えるような気がしますが、いかがでしょうか?
不等式√5y≦xをay≦x(aは正数) におきかえたとき
条件(H)を満たすような実数Cが存在するようなaは、あるのでしょうか?

なお、南海先生の解答が理解できなかった原因は「3の巾」を「3のベキ」と読んだためでした。
「3のハバ」と読むべきでした。
 

京大特色入試 4番(その4)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 3日(土)20時21分9秒
  ITさんの方針で解答しようとして,点(n,n/√(5)) の付近の扱いが(本質的ではないとしても)気になり,
結局,次のようにまとめました.
表向き「面積」に言及していませんが,ITさんのアイデアを数列の和の計算に持ち込んだだけです.

実数uに対し,u以上の最小の整数を Ceiling(u) と記すことにすると,
  S_n=Σ{y=0 から y=[(n-1)/√(5)] までの和} (n-Ceiling(√(5)y))
と表されます.Ceiling(√(5)y)<√(5)y+1 なので
  S_n>Σ{...} (n-1-√(5)y)
が成り立ちます.(n-1)/√(5) の小数部分をαとおいて,右辺をn,αで表し,0<α<1 を用いれば,
    S_n>n^2/(2√(5))+n(1/2-1/√(5))+定数
という不等式が得られます.1/2-1/√(5)>0 (これが決め手!)により,n→∞ のとき
  S_n-n^2/(2√(5)) → ∞
となります.

なお,私の最初の解答は,南海先生の(1)の解答のように
  S_n=Σ{k=0からk=n-1までの和} [k/√(5)]
と捉え,連続する4項ずつの和を評価したものです.
 

京大特色3番(1)

 投稿者:IT  投稿日:2016年12月 3日(土)19時57分50秒
編集済
  この問題の解答とすると、南海先生の解答が最適だと思いますが、

感覚的には、より一般に、有限回で勝負が付き引き分けが無く、選択肢が有限で偶然に左右されないゲームの場合は、先手必勝か後手必勝のいずれかになると思いますが、これは正しいでしょうか?
また証明はけっこう難しいのでしょうか?

と投稿しましたが、先生の解答ほとんどそのままで一般の場合も言えるようですね。

#その同級生は、時間内に2問半とはすごいですね!
 

Re:京大特色入試 4番

 投稿者:南海  投稿日:2016年12月 3日(土)18時32分19秒
  かたつむり様,IT様

ご意見とご教示ありがとうございます.
こちらの最初の解答は,少し感覚的な点を残したままで作ってみました.

ご教示を参考にこちらも,解答になるものを考えてみます.

ちなみに,教えている生徒の同じ学校の人が,この特色入試を受けていて,
「2番,3番,4番の(1)はできた.1番を家で考えたらできた」と言っていたと教えてくれました.
その人は学校でも数学が抜き出ているようですが,確かにそこまでできれば十分優秀です.

生徒とまた議論しながら考えることもしたいのですが,こういう材料を提供することは,ほんとうにいいことだと思いました.
 

RE:大特色入試 4番(その3)

 投稿者:IT  投稿日:2016年12月 3日(土)13時38分13秒
編集済
  > y方向で考えるということですね.

そうですね。x方向だと√5きざみになりますね。

試行錯誤部分は抜きにすると、解答の手順は

・問題の図に、階段を描く(南海先生がやってくださってました。)
・階段が直線より上の部分と下の部分を色分けする。
・隣同士で面積を比較する。
・面積を式で評価する。
となりました。
 

京大特色入試 4番(その3)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 3日(土)13時16分36秒
編集済
  >階段の水平線と直線との交点をQ[1],Q[2],Q[3],...,Q[i],Q[i+1],... として
>Q[i],Q[i+1]の間の区間について考えれば
IT さんのアイデア,理解しました!
私はxの値を刻んで,x軸の区間
   (0,1),(1,2),...,(k,k+1),(k+1,k+2),...
で考えることに囚われていました.y方向で考えるということですね.
このアイデアをお借りして,自家用の解答を新たにまとめてみようと思います.
(連続する4項の和の評価による自分の解答が虚しく感じられます.)

 

京大特色入試 4番(2)

 投稿者:IT  投稿日:2016年12月 3日(土)10時12分51秒
編集済
  南海先生の解答を拝見しました。
本質のところは未だ理解してないので恐縮ですが、

・答案の書き方としては、
「√5は無理数なので直線は原点以外の格子点を通らない」ことは、先に宣言しておいた方が良いかなと思いました。
「直線が点Pに限りなく近づいた極限で領域Aの面積と領域Bの面積が等しくなり、」のところは
「領域Aの面積と領域Bの面積が等しくなるのは、直線が点Pを通るときだが、直線は原点以外の格子点を通らないので・・・」とした方がスッキリするのではないでしょうか。

・本質的な議論部分では、
階段状の領域をもれなく重複無く分割して
すべての区間で A[i]=各区間の階段部分の面積-各区間の領域Dの面積≧0
かつ 無限箇所において,A[i]≧a(正定数) とできることを示しておられるのかなと思いますが、南海先生の解答でそう言えているのか理解できていません。

階段の水平線と直線との交点をQ[1],Q[2],Q[3],...,Q[i],Q[i+1],... として
Q[i],Q[i+1]の間の区間について考えればどうでしょうか?

各区間の
マイナス部分の面積<(1/2)(1×(1/√5)), プラス部分の面積>(1/2)((√5-1)×(√5-1)/√5))
差し引き>(1/2)((√5-1)×(√5-1)/√5)-(1/2)(1/√5):正定数 となると思います。

#思いつくまでには、図を描いて、かなり試行錯誤しましたので時間内に思いつけるかは疑問です。
 
 

京大特色入試 4番(その2)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 3日(土)09時57分3秒
編集済
  12/2付の解答を拝見しました.

〈Weyl の一様分布に関する定理〉を援用すれば,確かに
   ([k/\sqrt{5}]+1+[(k+1)/\sqrt{5}]+1+[(k+2)/\sqrt{5}]+1)-(対応する台形の面積)>1/4
となる自然数 k が無数に存在すると言えます.
しかし,{k/\sqrt{5}}(小数部分)が1に極めて近いとき,
   ([k/\sqrt{5}]+1+[(k+1)/\sqrt{5}]+1+[(k+2)/\sqrt{5}]+1)-(対応する台形の面積)
は負の値をとります.これを考慮する必要はありませんか.

【追記】連続する2項の和については,つねに
  ([k/\sqrt{5}]+1+[(k+1)/\sqrt{5}]+1)-(対応する台形の面積)>0
が成り立ちます.さらに,〈Weyl の一様分布に関する定理〉を援用すれば
  ([k/\sqrt{5}]+1+[(k+1)/\sqrt{5}]+1)-(対応する台形の面積)>1/2
となる自然数 k が無数に存在すると言えます.
つまり,〈Weyl の定理〉を用いるのであれば,連続する2項の和を考えるだけで済みます.
連続する3項の和で証明するのは,かえって面倒になると思います.

【追記2】上の記述では,√(5) を \sqrt{5} と記しました.

【追記3】連続する4項の和を丁寧に評価すれば,〈Weyl の定理〉の助けを借りることなく証明できます.

 

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