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線型と線形

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月30日(金)19時57分40秒
編集済
  ご教示ありがとうございます.私の指導教官でした永田先生も「線型」ですね.おられたら先生の意見を聞きたいところですが,もうだいぶ前に亡くなられました.

「形」も大切な言葉ですが歌舞伎の「女形」のように外形のことをいいます.その外形を演じる役者です.それに対して,「型にはめる」というときの「型」は中味まで決めることです.

線型空間は,集合が体上の加群としての構造をもつということで,内部構造に関することです.「形」が線形ということではないはずですから「線形空間」はおかしいです.「線形代数」も代数構造が線型であるということなので,「線型代数」です.

現在の,日本の数学者は,こういう問題にあまりにも無頓着です.「線形代数」の講義を受けている大学生は,いちど教官にどう考えるのか聞いてみてほしいものです.
 

線型と線形

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月30日(金)18時42分2秒
編集済
  こんな頁がありました.
http://archive.fo/Uh6EM

【注】上の文中にミスあり.
   永田雅宣 → 永田雅宜
 

線形代数?

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月30日(金)16時01分5秒
編集済
  >一方で「線型」は「線形」に駆逐されかけているように感じます
そうなのですか.手元のア・イ・マリツェフ『線型代数学』,『演習代数学』なども「線型」で,当然こちらも「線型代数の考え方」 です.
一方,ブルーバックスの『現代数学小事典』は「線形代数学」ですね.大学1年の教科名はどのようになっているのでしょう.

こういう問題はおろそかにしない方がいいのですが.
 

形と型

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月30日(金)14時50分46秒
編集済
  >「形」は外から見た見かけの形で、「型」はそのものの構造、なので「型」の方がいいと思います。
全く同感ですが,一方で「線型」は「線形」に駆逐されかけているように感じます.

なお,『数学英和小辞典』(講談社)では [meromorphic] を「有理形」と訳し,
また,『数学 英和・和英辞典』(共立出版)では「有理形,有理型」と併記していました.
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月30日(金)13時01分30秒
  数直線上にn個の点ai(i=1,2,…n)がある。
(1) 点xから各点aiへの距離の二乗の和h(x)を最小とするxの値、およびその最小値を求めよ。
(2) 各点aiをpai+qに変えたとき、(1)の答えはどうなるか。
よろしくお願いします。aiのiはaの右下に小さくついてる文字です。
 

形と型

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月30日(金)12時10分24秒
編集済
  旧版の「型」をからあえて「形」に変えたのですか。
吉田洋一『函数論』は「有理型函数」、一松信『函数論入門』も吉田洋一監修の倍風館で、「有理型函数」、蟹江さんの『数学用語英和辞典』では[meromorphic]を「有理型」と訳しています。
「形」は外から見た見かけの形で、「型」はそのものの構造、なので「型」の方がいいと思います。
 

有理型と有理形

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月30日(金)10時49分49秒
編集済
  旧版では「有理型函数」となっています.「有理型→有理形」,「函数→関数」と変化.

手元の書物を確認したところ,(辞典を除く)9冊中「有理形」を使っているのは次の1冊のみでした.
  笠原乾吉:『複素解析』実教出版,1978年

高橋礼司『複素解析』,神保道夫『複素解析入門』,杉浦光夫『解析入門』,一松信『解析学序説』などは「有理型」.

『岩波数学辞典』は第2版,第3版ともに「有理形」を,『岩波数学入門辞典』は「有理型」を使っています.

両者が併存しているようですね.(「有理型」が優勢?)
 

有理形関数

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月30日(金)09時07分0秒
  また,本書では有理形関数を使っているのですね.  

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月27日(火)17時17分52秒
編集済
  分岐点の扱いが立ち読みではわかりにくかったので古本を買いました。

P150での有理型関数のリーマン面Sは、有理型関数を一意化するもので、有理型関数としてのw^2=z では0と∞は定義域に入らず、結果,分岐点0と∞に対応する点はSにない。
代数関数としての w^2=z のリーマン面に一致するのは p181 からの分岐リーマン面S^*の方ですね。

P150のリーマン面Sを分岐リーマン面と同じように考えていたので、点0の近傍をどのようにとるのか、わからなかったのです。
 

田村二郎著『解析函数』6

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月27日(火)08時03分55秒
  >分かりかけてきました。
良かったです.

>そうしますと,書籍での\bf{D}_λの定義は \bf{D}_λ:pr^-1(D_λ)∩\bar{C}_λ とすべきなのですね?

本書(旧版では)ちゃんとそのように定義されています:
  \bf{D}_λ=p^{-1}(D_λ)∩\bar{C}_λ.
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月27日(火)06時39分6秒
編集済
  かたつむりさん、ありがとうございました。作っていただいた
問題を解くごとに、ジワリ、ジワリと染み渡るように
わかるようになってきました。問題2、問題3もとりくんでみます。
 

Re: 田村二郎著『解析函数』 5

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月27日(火)02時14分55秒
  有難うございます。分かりかけてきました。

> \bf{D}_1∩\bf{D}_2=φ という意味です.

そうしますと,書籍での\bf{D}_λの定義は
\bf{D}_λ:pr^-1(D_λ)∩\bar{C}_λとすべきなのですね?
 

初等整数論講義 §40 ①【解説】(締めくくり)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月26日(月)21時01分24秒
  >ゆえに、λはbar{μ}でわりきれる。
bar{μ}はbar{λ}の書き間違いですが,きれいに解決しましたね.

様々な方法が考えられますが,一つだけ記します.

[問1] の【解答例】
  bar{λ}=1-bar{ω}=1-ω^2=(1+ω)(1-ω)
      =(-ω^2)λ
であるから,bar{λ}はλで割り切れる.ここで,(-ω^2) は単数で,(-ω)(-ω^2)=1 であるから,
  λ=(-ω)bar{λ}.
つまり,λは bar{λ}で割り切れ,λ と bar{λ} は同伴である.

複素平面上でλ, bar{λ}, √(-3) が原点を中心とする正六角形の3頂点になっていることからも,
これら3数が同伴であることが分かります.

p.247 に「λ=1-i は(Z[i] において)素数で,その共軛 bar{λ}=1+i=iλ と同伴である.」とあります.
Z[i] において,素数λ=1-i は特別な存在でした.
[問1] はこのことに対応するものです.

λ と bar{λ} が同伴であることを確認したので,誤植を修正した(4)を用いれば [問2], [問3] を解決できると思います.
やり取りが長くなりましたし,Gauss による証明の核心部分(一番美味しい所)はご自分でじっくり味わってください.
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月26日(月)20時27分17秒
編集済
  問題1追加 λは、bar{λ}で割れきれるか?

証明 先のことから、bar{λ}は、λで割り切れるので

  bar{λ}=λμ ただし、μはK(√ー3)の整数

と書ける。両辺の共役をとると

bar{bar(λ)}=bar{λμ}

 λ=bar{λ}bar{μ}

ここで、bar{μ}もK(√-3)の整数

ゆえに、λはbar{μ}でわりきれる。



 

初等整数論講義 §40 ① p.262上部-2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月26日(月)13時55分36秒
編集済
  問を付け足していたのですが,
 [問1] bar{λ} はλで割り切れるか? λは bar{λ} で割り切れるか?
の後半はどうなりますか?
計算とは別に,複素平面上に λ, bar{λ}, √(-3) を図示してみることをお勧めします.

先の投稿で「締めくくりの言葉」を書いてしまいましたが,上記の問の答を伺ってから【解説】を書きます.
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月26日(月)11時51分19秒
編集済
  問題1 bar{λ}はλで割り切れるか

証明 bar{λ}=1-bar{ω}=1-ω^2
       =1-(-ω-1)=2+ω
       =2-(-1)ω となりP258問題1より
    2≡-1(mod3)なので、bar{λ}は、λで割り切れる。


 

初等整数論講義(締めくくり)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月26日(月)08時31分44秒
編集済
  >懇切丁寧に、説明していただき、感謝しています。
「締めくくり」のお言葉のようなので,私もこれにて締めくくります.
おかげさまで私自身の「第4章」についての理解が深まりました.

>一つの、技術として覚えておきます。
p.36-p.40 にも出てきます.単なる「技術」ではありません.
van der Waerden の『代数学』を読まれていたと記憶していますが,環準同型について,これに対応することを学んでいると思います.

先に,
>今努力しているのは、わからないところをほったらかしにしないで徹底的にわかるようにするということをしています。
と書かれていましたが,実際には
「分かっていないこと自体に気づかない」とか「疑問を持って立ち止まり深く検討するべき所を素通りしてしまう」
ことが多々あるように思います.これが独習で陥りやすい陥穽です.
独習では特に,自身の力に合った書物の選択が重要となります.
 

田村二郎著『解析函数』 5

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月26日(月)08時03分55秒
編集済
  >'これまでのところ,\bf{D}_λは互いに交わらない領域であるが' の箇所は,
>pr^-1(D_1)∩\bar{C}_1=φという意味でしょうか?

\bf{D}_1∩\bf{D}_2=φ という意味です.(最初書き間違えました.修正済.)
 

Re:リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月26日(月)05時23分55秒
  > 南海先生が仰ったのは「本書で定義された射影 p は
> 1対1写像(単射)ではない」ということです

了解です。
pr:∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ→\bar{C}は部分集合{z_λ}_{λ∈Λ}⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λに対して,pr(∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ):={z}と定義するのですね
(zとz_λは同一視,z~z_λ for∀λ∈Λ)。

Λ={1,2,3}の場合,\bar{C}_1∪\bar{C}_2∪\bar{C}_3の元がz_1∈\bar{C}_1ならpr(z_1)=zでpr^-1{z}={z_1,z_2,z_3} (z_1~z_2~z_3~z)と言えるのですね。

> 2月にCieraさんが質問されていたw^2=zで定まるw=f(z)について考えてはどうでしょうか.

了解です。シンプルにΛ:={1,2}で順を追って考えてさせて下さい。今,\bar{C}_1~\bar{C}_2~\bar{C}と解析同型になっています
(勿論,当初の質問:\bar{C}_1∩\bar{C}=\bar{C}_2∩\bar{C}=\bar{C}_1∩\bar{C}_2=φである事は明らかでした(^_^;))。

z∈\bar{C}に同一視される\bar{C}_1の元はz_1,\bar{C}_2の元はz_2と表す事にします(記号で表すとz~z_1~z_2)。
この時,pr(z_1)=zでpr^-1(z)={z_1,z_2}…(ア)となるわけですね(※書籍ではこのz_1やz_2を\bf{z}と表してたのですね)。

そして,'λを任意に決め'とありますのでここでは例えばλ:=1と決めますと,
D_1⊂\bar{C}と同じ領域を\bar{C}_1に中に定めるとは,今pr^-1(D_1)⊂\bar{C}_1∪\bar{C}_2となっているので(∵定義(ア)),
\bf{D}_1:=pr^-1(D_1)∩\bar{C}_1と\bf{D}_1を定義するのですね。

'これまでのところ,\bf{D}_λは互いに交わらない領域であるが' の箇所は,
私の例では\bf{D_1}は互いに交わらない,つまりpr^-1(D_1)∩\bar{C}_1は互いに交わらないという事になりますが,
pr^-1(D_1)∩\bar{C}_1=φという意味でしょうか?
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月25日(日)22時02分30秒
編集済
  かたつむりさん、ていねいに、たくさん書いていただいて
ありがとうございます。
今の自分には、λ^3で割り切れることに置き換えて考える
発想がすぐ出てきません。
なるほどと思いました。その発想がP263にも使われているのですね。
一つの、技術として覚えておきます。

②の件は、やはり、行間を読むのはまだまだだなと思いました。
書いていることで、精一杯、書いていないことまで力が及ばない。

情けない話ですが、これが今の私の力です。2,3のことですが
多くのことを学ばせていただきました。

こんな私のために、懇切丁寧に、説明していただき、感謝しています。
かたつむりさん、お世話になりありがとうございました。


 

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