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ベクトルについて。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年12月 1日(金)22時15分0秒
  空間の1点Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。

教えていただけると幸いです。
 

京大特色入試2番:別解

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年11月29日(水)11時29分18秒
編集済
  ssdさんの
>|c-a|<εを満たすような無理数cを1つ取り、
の「無理数」を,「分母が十分大きい既約分数で表される有理数」とすれば,
〈クロネッカーの稠密定理〉を用いずに解答できると思います.
当初,この方法で解答をまとめましたが,ITさんのアイデアを拝見し,自身の主解答をそちらに切り替えました.

本問は言い換えると,「写像
 (x,x^2)→({x},{x^2})   ({ } は小数部分を表すものとする)
による像が,正方形 {(x,y)|0≦x<1,0≦y<1} の中で稠密である」
という話なので,ssd さんの方法は自然であると感じました.
 

特色2番

 投稿者:ssd  投稿日:2017年11月29日(水)06時29分30秒
  横のラインの距離から見る答案が多いですが、ほぼ縦のラインからでも行けます。
(m+a,n+b)と(m+c,(m+c)^2)
の距離を考えると(0≦c<1)
√(c-a)^2+(n+b-m^2-2mc-c^2)^2
で与えられるが、
|c-a|<εを満たすような無理数cを1つ取り、
更に
2mc= N+d(0≦d<1)
とすると第2項は
(n- N-m^2+b-d-c^2)^2となり、
-1<b-c^2<1であるから、クロネッカーの定理よりmを上手く選ぶことで
b-d-c^2の小数部分も任意のεで抑えることができ、
後は整数部分が0になるようnを選んでやれば、
距離の式は全てεで抑え込めることになります。
勿論クロネッカーの定理は証明を要しますし、横のラインで見た方が簡単ではありますが。
 

京大特色入試4番(2)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年11月28日(火)12時20分36秒
編集済
  昨日の投稿で「互いに素という前提は,(2) の証明では不要」と書きました.その証明の骨子を記します.
見た目より「単純」です.多くの方に確認していただけると有り難いです.

p=2^{n}-1 とおく.性質P(k,n)を持つ数列 a_{1},a_{2},...,a_{n} は(ハ)を満たすので,
2a_{m}-a{m+k}=pl_{m}  (1≦m≦n-k),  2a_{m}-a_{m+k-n}=pl_{m}  (n-k+1≦m≦n)  (l_{m} は整数)
と表される.この数列が(ロ)を満たすことに着目し,l_{m} を評価すると,
前者については l_{m}=0, 後者については l_{m}=1 となることが分かる.
(肝心なところですが,過程を省略します.)

つまり,a_{1},a_{2},...,a_{n} は,
    2a_{m}-a{m+k}=0  (1≦m≦n-k),   2a_{m}-a_{m+k-n}=p  (n-k+1≦m≦n) ,  ・・・(*)
即ち  2a_{m}=a{m+k}  (1≦m≦n-k),   2a_{m}=a_{m+k-n}+p  (n-k+1≦m≦n)   ・・・(**)
を満たす.(これらn個の等式を順に縦に並べると,左辺には a_{1},a_{2},...,a_{n} が,
右辺には a_{k+1},...,a_{n},a_{1},...,a_{k} がこの順に現れます.)

b_{m}=a{m+1}-a_{m} (1≦m≦n-1) とおいて数列 {b_m} を定める.(ロ)により,{b_m} の各項は正整数である.
(**) により,m≠k ならば b_{m}=2b_{i} なる i が存在するので,{b_m} の各項を小さい順に並べてできる数列は
「初項 b_{k}=a_{k+1}-a_{k}, 公比 2 の等比数列」になる.(ここも推論過程を省略しています.)  だから,
  a_{n}=a_{1}+b_{k}(2^{n-1}-1).
ここで,2a_{1}=a_{k+1}>0 により a_{1}≧1 であるから,もし b_{k}≧2 とすると
 a_{n}≧1+2(2^{n-1}-1)=2^{n}-1
となってしまう.したがって,
 b_{k}=1, 即ち a_{k+1}-a{k}=1.

性質 P(k,n) を持つ数列の存在は,上記の連立方程式(*)の解の性質に帰着します.
これについては,後日,記したいと思います.
 

京大特色入試4番

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年11月27日(月)13時22分1秒
編集済
  本問では要求されていませんが,
「互いに素で k<n を満たす自然数 k, n に対し,性質 P(k,n) を持つ数列がただ1つ存在する」・・・(*)
ことも証明してみました.
「互いに素」という前提は,(2) の証明では不要というか意識しなくても済みますが,(*) の証明で効いてきます.

(*) の証明では,巡回行列の性質を用いました.
2年前,その年の京大特色入試3番に関連して巡回行列を学習したことが,少し生きました.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年11月27日(月)09時21分46秒
  >第2問も円の方程式とy=x^2が共有点をもつ条件を書いて,それを満たす定数の存在,という方向
これはなかなか難しいですが,別解として考える意味があり,この方法と図形的方法との関係まで調べると面白いです.
 

RE:京大特色入試

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月26日(日)23時15分36秒
編集済
  きれいな答案より、それに至る思考過程の方が意味があると思います。
それを競争試験の限られた時間で測定するのは難しいでしょうが,特色入試では口頭試問である程度カバーされるのかも知れませんね。

第2問も円の方程式とy=x^2が共有点をもつ条件を書いて,それを満たす定数の存在,という方向でがんばるのも意味はありますね。
 

京大特色入試

 投稿者:南海  投稿日:2017年11月26日(日)21時27分58秒
  このようにいろいろ考える幅のある問題を提供することはたいへんいいことです.
その意味で特色入試は,いい試みだと思っています.
高校生で,これを機会に考える人が出てくればいいのですが.

私の方は4番の(2)をいろいろ考えています.
 

京大特色入試3番

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年11月26日(日)17時58分1秒
編集済
  (1) では2進法と樹形図を念頭に置いて考えました.
いくらか見通しがよくなりますが,解答をまとめるのは苦労しました.
また,余事象を考えずに p_{n+1}=(1/2)(p_{n}+p_{n}-(p_{n})^2) を導きました. P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) を適用.

(2),(3) では,最終段階で
 log(n+1)-log(n)-1/(n+2)=∫_{n}^{n+1}(1/x)dx-1/(n+2)>1/(n+1)-1/(n+2)
となり,「少し余裕がある」ことが気になりました.
そこで,(3) で与えられた不等式に頼らずに,p_n の大きさを評価することを試みました.

a_{n}=2/p_{n}-1 とおくと,a_{1}=3 で,a_{k+1}=a_{k}+1+1/a_{k} が成り立つ(過程は省略)ので,n≧2 のとき
 a_{n}=a_{1}+(1+1/a_{1})+・・・+(1+a_{n-1})=(n+2)+(1/a_{1}+・・・+1/a_{n-1})
となる.これから a_{n}≧n+2 が分かるので,
 1/a_{1}+・・・+1/a_{n-1}≦1/3+・・・+1/(n+1)≦∫_{2}^{n+1}(1/x)dx=log((n+1)/2).
したがって,n+2≦a_{n}≦n+2+log((n+1)/2) が成り立つ.これを p_{n} で表すと,
 2/(n+3+log((n+1)/2))≦p_{n}≦2/(n+3)
となる.

ちょっとだけ良い評価が得られました.
 

京大特色入試3番

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月26日(日)15時17分35秒
編集済
  いずれの方法も類似の不等式の証明を知ってないと難しいかも知れませんね

南海先生の解答の③の次の
((n+2)/(n+1))^(n+2) < ((n+1)/n)^(n+1)
⇔1 < {((n+1)/n)^(n+1)}{((n+1)/(n+2))^(n+1)}{(n+1)/(n+2)}

右辺=[{(n^2+2n+1)/(n^2+2n)}^(n+1)]{(n+1)/(n+2)}
=[{1+ 1/(n^2+2n)}^(n+1)]{(n+1)/(n+2)}
二項定理により
≧{1+(n+1)/(n^2+2n)}{(n+1)/(n+2)}
=(n^3+4n^2+4n+1)/(n^3+4n^2+4n)>1
という方法もありますが、これも最後までやってみないと分からないので初めてだと難しいですね。

私は以前同様な不等式の証明を上記のように行った後、ネットで調べて定積分を使う前記の証明を見つけて感心したのでした。
 

京大特色入試3番

 投稿者:南海  投稿日:2017年11月26日(日)14時31分8秒
編集済
  確かに.ご指摘ありがとうございます.
ここはこちらが『解析基礎』に書いた
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node20.html
の補題2とその下の別証明を思い出して解答にしましたが,これは知らないと難しいです.
積分の方が明解でいいですね.
こちらを解とし,私の方は別解として入れさせていただきます.
 

京大特色入試3番

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月26日(日)10時54分44秒
編集済
  京大特色入試3番 について、南海先生の解答を拝見しています。
メイン部分である前半を実験による考察で明解に解いておられて大変参考になります。

さて後半の不等式 1/(n+2)+logn≦log(n+1) の証明は、天下り的かも知れませんが定積分を使うと

1/(n+2)+logn≦log(n+1)
⇔1/(n+2)≦log(n+1)-logn=∫[x=n,n+1](1/x)dx
右辺は1/(n+1)以上なので不等式は成立
とできると思います。
 

RE:京大特色入試2番

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月23日(木)18時35分44秒
編集済
  かたつむりさん、きちんとした答案を示していただきありがとうございます。
受験生は、4時間で4問を解くにあたって どの程度の答案にするか悩ましいところですね。

(筆記通過者は翌日の口頭試問で考え方などを問われるようですね)
 

京大特色入試2番:IT さんのアイデアを全面的にお借りして

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年11月23日(木)13時46分37秒
編集済
  IT さんの解答を自分なりに再構成してみました.

y=x^2 上の点(m+a,(m+a)^2)(m は正整数)に対し,
n+b-1<(m+a)^2≦n+b, 即ち sqrt{n+b-1}<m+a≦sqrt{n+b}
を満たす正整数 n が定まる.
このとき,y=x^2 上の点(sqrt{n+b},n+b)と点(m+a,n+b) との距離Lについて
 L=sqrt{n+b}-(m+a)<sqrt{n+b}-sqrt{n+b-1}=1/(sqrt{n+b}+sqrt{n+b-1})<1/(2 sqrt{n+b-1})
が成り立つ.だから m を,m>sqrt{50^2+1}, 即ち m≧51 の範囲にとれば,
 sqrt{n+b-1}>50 により L<1/100
が成り立つ.(sqrt{}は平方根を表す.)

IT さん,ありがとうございました.
 

2018年入試問題京大特色2番 -2

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月23日(木)09時41分0秒
編集済
  xをyの関数とみてやってみました。

y=x^2のグラフ…Aのうちx≧0の部分がいずれかの円の内部と共有点を持つことを示せば十分。
この部分はx=√y,(y≧0)…Bと書ける。

Bが円の内部のうちx軸に平行な直径の内部{(x,y)|m+a-1/100<x<m+a+1/100,y=n+b}:C(m,n)とおく
と共有点を持つような2つの整数m,nが存在することを示す。

負でない整数nに対して、f(n)=√(n+b) とおくと, f(n)は単調増加で,lim(n→∞)f(n)=∞である.

f(n+1)-f(n)=√(n+1+b)-√(n+b)=1/{√(n+1+b)+√(n+b)}なので,
n≧10000のとき
  0<f(n+1)-f(n)<1/200
  m+a-1/100<x<m+a+1/100,(mは整数)は等間隔に無数におかれた幅2/100の水溜りと考えることが出来る。
 f(n)の歩幅は2/100より小さいので、遠くへ行くためには必ずどこかで水溜りの中に足を突っ込む。

すなわち m+a-1/100<f(n)<m+a+1/100 となるような整数m,nが存在する。
このとき B上の点(x,y)=(√(n+b),n+b)はC(m,n)との共有点となる。

(注)nはもっと小さい数でいいですが、切りよく1万にしました。
 微分ではなく差分を使いました。
 イメージしやすくするため、「水溜り」、「歩幅」、「遠く」などと記述しました。
 歩幅が2/100未満になった後、進行方向に1つでも水溜りがあれば落っこちます。
 

Re:2018年入試問題京大特色2番

 投稿者:南海  投稿日:2017年11月22日(水)21時39分33秒
  ヒントをありがとうございます.
円の方程式とy=x^2が共有点をもつ条件を書いて,それを満たす定数の存在,という方向では難しいです.
図形的な考察をどのように厳密に書くかですね.
 

2018年入試問題京大特色2番

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月22日(水)19時31分3秒
編集済
  入試問題研究2018 に掲載された、 2018年入試問題京大特色2番を考えてみました。

(方針)
格子点を(a,b)だけ変位した各点を中心に半径1/100の円を描く。
変位した各格子点をx軸に平行にみたとき、並ぶ隣接各点の間を区間と呼ぶ。
y=x^2のグラフが原点(0,0)から右上に向けて通り抜けていくと考える。
y座標が1増えたときx座標が1つ大きい区間になる箇所がいくらでもある。
x>25すなわちy>625では,傾き2xが50より大きいので,
 下か上の円の内部(x軸に平行な直径部分を考えれば良い)と共有点を持たずに、
x座標が1増えた区間に移ることはできない。

図を描くと容易そうですが、厳密に記述するのは少しめんどうかも知れません。
こんな感じで,もう少し正確に記述すれば答案になるでしょうか?

y=x^2 の方を(-a,-b) 変位して考えたほうが、記述が簡単かも知れません。
 

RE6:2017年東北大理系後期2番について

 投稿者:SSS  投稿日:2017年11月22日(水)10時53分55秒
  入試として出されたことにはやはり
釈然としませんが、高校数学の限界
なんだということで少し納得しました。

ありがとうございました。
 

RE5:2017年東北大理系後期2番について

 投稿者:南海  投稿日:2017年11月20日(月)09時59分59秒
編集済
  高校のときに数学の先生が「教科書は穴だらけ」といわれたので、穴を見つけて埋めるのが勉強だと、教科書を読んだことを覚えています。
今の教科書はわれわれの頃のと比べていちだんと穴だらけになっています。

巾関数の定義域の問題もその一つですね。
実数巾の定義は何らかの実数論がいりますし、また値域と定義域は複素関数論までいかないと統一的にはつかめないですが、少なくとも有理数指数の範囲で、まとめておきたいものです。

東北大の出題は、逆に、今の高校数学への問題提起かも知れません。
 

RE5:2017年東北大理系後期2番について

 投稿者:IT  投稿日:2017年11月18日(土)15時00分3秒
編集済
  先ほど紹介した数研の教科書では、x>0に限定せずに、x^pの導関数 pが有理数のとき (x^p)'=px^(p-1) としています。

関数y=3√x,やy=x^(1/3) の定義域や導関数については、
同じく数研出版の「もういちど読む数研の高校数学第2巻」の微分法とその応用の「教科書こぼれ話11」に少し詳しく書いてありますが、
「しかし、教科書でここまで厳密に書く必要はないという結論になりました。」
としています。

この関係のことについて指導要領および同解説にも詳しいことは、記載がありません。
 

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