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京大特色入試 4番

 投稿者:IT  投稿日:2016年12月 3日(土)22時24分37秒
編集済
  この問題の本質は何か考えて見ました。最初は√5 が無理数であることかと思いましたが違うような気もします。
(無理数だと有理数とちがって繰り返しパターンにならないので難しいということでしょうか?)
また√5>2 が効いている訳でもないようです。

√5 の箇所がどんな正数でも(有理数でも)同じことが言えるような気がしますが、いかがでしょうか?
不等式√5y≦xをay≦x(aは正数) におきかえたとき
条件(H)を満たすような実数Cが存在するようなaは、あるのでしょうか?

なお、南海先生の解答が理解できなかった原因は「3の巾」を「3のベキ」と読んだためでした。
「3のハバ」と読むべきでした。
 

京大特色入試 4番(その4)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 3日(土)20時21分9秒
  ITさんの方針で解答しようとして,点(n,n/√(5)) の付近の扱いが(本質的ではないとしても)気になり,
結局,次のようにまとめました.
表向き「面積」に言及していませんが,ITさんのアイデアを数列の和の計算に持ち込んだだけです.

実数uに対し,u以上の最小の整数を Ceiling(u) と記すことにすると,
  S_n=Σ{y=0 から y=[(n-1)/√(5)] までの和} (n-Ceiling(√(5)y))
と表されます.Ceiling(√(5)y)<√(5)y+1 なので
  S_n>Σ{...} (n-1-√(5)y)
が成り立ちます.(n-1)/√(5) の小数部分をαとおいて,右辺をn,αで表し,0<α<1 を用いれば,
    S_n>n^2/(2√(5))+n(1/2-1/√(5))+定数
という不等式が得られます.1/2-1/√(5)>0 (これが決め手!)により,n→∞ のとき
  S_n-n^2/(2√(5)) → ∞
となります.

なお,私の最初の解答は,南海先生の(1)の解答のように
  S_n=Σ{k=0からk=n-1までの和} [k/√(5)]
と捉え,連続する4項ずつの和を評価したものです.
 

京大特色3番(1)

 投稿者:IT  投稿日:2016年12月 3日(土)19時57分50秒
編集済
  この問題の解答とすると、南海先生の解答が最適だと思いますが、

感覚的には、より一般に、有限回で勝負が付き引き分けが無く、選択肢が有限で偶然に左右されないゲームの場合は、先手必勝か後手必勝のいずれかになると思いますが、これは正しいでしょうか?
また証明はけっこう難しいのでしょうか?

と投稿しましたが、先生の解答ほとんどそのままで一般の場合も言えるようですね。

#その同級生は、時間内に2問半とはすごいですね!
 

Re:京大特色入試 4番

 投稿者:南海  投稿日:2016年12月 3日(土)18時32分19秒
  かたつむり様,IT様

ご意見とご教示ありがとうございます.
こちらの最初の解答は,少し感覚的な点を残したままで作ってみました.

ご教示を参考にこちらも,解答になるものを考えてみます.

ちなみに,教えている生徒の同じ学校の人が,この特色入試を受けていて,
「2番,3番,4番の(1)はできた.1番を家で考えたらできた」と言っていたと教えてくれました.
その人は学校でも数学が抜き出ているようですが,確かにそこまでできれば十分優秀です.

生徒とまた議論しながら考えることもしたいのですが,こういう材料を提供することは,ほんとうにいいことだと思いました.
 

RE:大特色入試 4番(その3)

 投稿者:IT  投稿日:2016年12月 3日(土)13時38分13秒
編集済
  > y方向で考えるということですね.

そうですね。x方向だと√5きざみになりますね。

試行錯誤部分は抜きにすると、解答の手順は

・問題の図に、階段を描く(南海先生がやってくださってました。)
・階段が直線より上の部分と下の部分を色分けする。
・隣同士で面積を比較する。
・面積を式で評価する。
となりました。
 

京大特色入試 4番(その3)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 3日(土)13時16分36秒
編集済
  >階段の水平線と直線との交点をQ[1],Q[2],Q[3],...,Q[i],Q[i+1],... として
>Q[i],Q[i+1]の間の区間について考えれば
IT さんのアイデア,理解しました!
私はxの値を刻んで,x軸の区間
   (0,1),(1,2),...,(k,k+1),(k+1,k+2),...
で考えることに囚われていました.y方向で考えるということですね.
このアイデアをお借りして,自家用の解答を新たにまとめてみようと思います.
(連続する4項の和の評価による自分の解答が虚しく感じられます.)

 

京大特色入試 4番(2)

 投稿者:IT  投稿日:2016年12月 3日(土)10時12分51秒
編集済
  南海先生の解答を拝見しました。
本質のところは未だ理解してないので恐縮ですが、

・答案の書き方としては、
「√5は無理数なので直線は原点以外の格子点を通らない」ことは、先に宣言しておいた方が良いかなと思いました。
「直線が点Pに限りなく近づいた極限で領域Aの面積と領域Bの面積が等しくなり、」のところは
「領域Aの面積と領域Bの面積が等しくなるのは、直線が点Pを通るときだが、直線は原点以外の格子点を通らないので・・・」とした方がスッキリするのではないでしょうか。

・本質的な議論部分では、
階段状の領域をもれなく重複無く分割して
すべての区間で A[i]=各区間の階段部分の面積-各区間の領域Dの面積≧0
かつ 無限箇所において,A[i]≧a(正定数) とできることを示しておられるのかなと思いますが、南海先生の解答でそう言えているのか理解できていません。

階段の水平線と直線との交点をQ[1],Q[2],Q[3],...,Q[i],Q[i+1],... として
Q[i],Q[i+1]の間の区間について考えればどうでしょうか?

各区間の
マイナス部分の面積<(1/2)(1×(1/√5)), プラス部分の面積>(1/2)((√5-1)×(√5-1)/√5))
差し引き>(1/2)((√5-1)×(√5-1)/√5)-(1/2)(1/√5):正定数 となると思います。

#思いつくまでには、図を描いて、かなり試行錯誤しましたので時間内に思いつけるかは疑問です。
 
 

京大特色入試 4番(その2)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 3日(土)09時57分3秒
編集済
  12/2付の解答を拝見しました.

〈Weyl の一様分布に関する定理〉を援用すれば,確かに
   ([k/\sqrt{5}]+1+[(k+1)/\sqrt{5}]+1+[(k+2)/\sqrt{5}]+1)-(対応する台形の面積)>1/4
となる自然数 k が無数に存在すると言えます.
しかし,{k/\sqrt{5}}(小数部分)が1に極めて近いとき,
   ([k/\sqrt{5}]+1+[(k+1)/\sqrt{5}]+1+[(k+2)/\sqrt{5}]+1)-(対応する台形の面積)
は負の値をとります.これを考慮する必要はありませんか.

【追記】連続する2項の和については,つねに
  ([k/\sqrt{5}]+1+[(k+1)/\sqrt{5}]+1)-(対応する台形の面積)>0
が成り立ちます.さらに,〈Weyl の一様分布に関する定理〉を援用すれば
  ([k/\sqrt{5}]+1+[(k+1)/\sqrt{5}]+1)-(対応する台形の面積)>1/2
となる自然数 k が無数に存在すると言えます.
つまり,〈Weyl の定理〉を用いるのであれば,連続する2項の和を考えるだけで済みます.
連続する3項の和で証明するのは,かえって面倒になると思います.

【追記2】上の記述では,√(5) を \sqrt{5} と記しました.

【追記3】連続する4項の和を丁寧に評価すれば,〈Weyl の定理〉の助けを借りることなく証明できます.

 

京大特色入試 1番

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 2日(金)17時41分27秒
編集済
  条件(A)を
 「すべての自然数nに対して sin((n-1)πr) sin((n-2)πr)≧0 ・・・(*)」
と言い換えて r=q/p<1/2(p,q は互いに素な自然数)とおいた後,もう一段階
 (A)⇔「q(m-1)<pl<qm を満たす整数 m(≧0),l が存在しない」
と言い換えておくと見通しが良くなると思います.(n-1=mとおいたのは記述を短くするためで本質的ではありません.)

こうすると,「q=1 のとき(A)が成り立つ」は一目で分かります.
また,q≧2 の場合は,pをqで割って p=qs+r (0<r<q) と書けば,
     qs<p<q(s+1)
となるので,(A)が成り立たないと言えます.

私は最初,(*) の前の cos((2n-3)πr)≦cos(πr) (0<r<1/2) を用いて
 (A)⇔「すべての整数 m(≧0)に対して cos((2m-1)πr)≦cos(πr) 」
として考えました.r=q/p<1/2(p,q は互いに素な自然数)とおけば
 「点 (cos((2m-1)πr),sin((2m-1)πr)) (m=0,1,2,...) は正p角形の頂点をなす」
と言えます.(もちろん,証明が必要です.) すると,最終的に
 (A)⇔「2点 (cos(πq/p),-sin(πq/p)), (cos(πq/p),sin(πq/p)) が正p角形の隣り合う2頂点となる」
となって解決できます.
でもやはり,(*) まで書き換えた方がすっきりします.

念のため.
以上の記述の「(A)⇔・・・」では,(A) を「有理数 r (0<r<1/2) に関する条件」として考えています.
r=1/2 の考察は先に済ませられるので.
 

Re: 京大特色入試 4番

 投稿者:南海  投稿日:2016年12月 1日(木)22時00分48秒
  昨日までに1~3番を作ってみましたが,間違いがあればご指摘ください.
4番の(2)がいちばん難しいですね.
もう少し定性的な論証ができないか,明日考えてみます.
 

京大特色入試 4番

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月 1日(木)09時28分11秒
編集済
  京大特色入試問題をやってみました.

4番(2)が(私には)とても難しく,なんとか
  S_{4m}>(4m)^2/(2√(5))+2(1-2/√(5))m
という評価を導いて解決しました.数値計算の結果を観察すると,もっと良い不等式
  S_{n}>n(n+1)/(2√(5))
が成り立ちそうですが,これは証明できていません.

1,2,3番も,良い勉強になりました.
こちらのホームページの解答は,これから拝見します.
 

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年11月28日(月)03時13分40秒
  すっかり遅くなりまして大変申し訳ありません。
もう一度整理させてください。

[定義ア] 『a,b∈⊿⊂D_λ∩D_μ (ここで,D_λ,D_μ⊂\bar{C}は開領域,⊿は連結成分) をとする。
\bf{a},\bf{b}∈∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ(ここで,{\bf{a}}=pr^-1(a)∩\bar{C}_λ,{\bf{b}}=pr^-1(b)∩\bar{C}_μ)に対して,
∃λ,μ∈Λ;(\bf{a},\bf{b})∈\bf{D}_λ×\bf{D}_μ (但し,\bf{D}_λ:=pr^-1(D_λ)∩\bar{C}_λ,\bf{D}_μ:=pr^-1(D_μ)∩\bar{C}_μ)。その時,

\bf{a}~\bf{b} (\bf{a}と\bf{b}とは同一視されるといい,本書では'='という記号を使用してる)

a=b且つf_λ(z)=Σ_{k=n..+∞}c_k(z-a)^k=f_μ(z)…(*)なる(k,(c_k)_{k=n..+∞})∈Z×(\bar{C}^ω)が存在するような有理型関数f_λ:D_λ→\bar{C},f_μ:D_μ→\bar{C}が存在する』

[定義イ] 『\bf{a}∈∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λに対して,∃λ∈Λ;{\bf{a}}=pr^-1(a)∩\bar{C}_λ.
その時,{\bf{z}∈pr^-1(Disc[a,ε))\\bar{C}_λ;\bf{z}~\bf{w}}=φ for∀\bf{w}∈Disc[\bf{b},ε) なるε>0が存在する。
この時,Disc[\bf{a},ε)を\bf{a}の近傍といい,N(\bf{a})と表記する(但しDisc[\bf{a},ε):={\bf{z}∈\bar{C}_λ;|\bf{a}-\bf{z}|<ε})』

が同一視と近傍のの定義だと思います。それでもってp151の定理2(iii)について下記の様に証明してみました。

((iii)の証明)

(ウ) pr(\bf{a})=:a≠b:=pr(\bf{b})の場合はN(\bf{a})とN(\bf{b})の半径εを夫々|a-b|/2と取れば,N(\bf{a})∩N(\bf{b})=φとなる。

(エ) a=bの場合は,同一視の定義より,\bf{a} \not~ \bf{b}…(**) となるので(*)となるようなf_λ,f_μが存在しない。
即ち,G_ε:={\bf{z}∈pr^-1(Disc[a,ε))\\bar{C}_λ;\bf{z}~\bf{w}}=φ for∀\bf{w}∈Disc[\bf{b},ε) なるε>0が存在せねばならない。
何故なら,もし任意のε>0に対してもG_ε≠φだとすると,∩_{ε>0}G_ε(≠φ)は単集合となり,然も∩_{ε>0}G_ε={\bf{a},\bf{b}}且つ\bf{a}~\bf{b}となってしまい(**)に矛盾する。
従って,N(\bf{a})∩N(\bf{b})=φなるε>0が取れる筈である。  (終)

としたのですが大丈夫でしょうか?
 

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年11月 4日(金)23時46分33秒
  有難うございます。

p151の上から5行目'互いに交わらない領域'とあったのですが,
規約にて\bf{a}が同一視されてる場合は複数の\bf{D}_λに\bf{a}は含まれるのですね。

'幾つか'は同一視もカウントしているという意味だったのですね。

よって,\bf{a}の近傍と言ったら,\bf{a}と同一視されてる\bf{a}_λ(∈\bf{D}_λ)を指定して
\bf{a}_λを中心とする開円盤N(\bf{a}_λ)(⊂\bf{D}_λ)を\bf{a}の近傍といいN(\bf{a})と表記するのですね。
 

余弦定理と加法定理について。

 投稿者:コルム  投稿日:2016年11月 4日(金)18時16分37秒
  問題をつくっていただけないでしょうか?すみません。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか。お願いできないでしょうか?無理でしたら大丈夫です。すみません。  

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:南海  投稿日:2016年11月 4日(金)09時20分36秒
  >今\bf{D}_λ∩\bf{D}_μ=φ (λ≠μ)となってますよね。
どこにそんなことが書いていますか?
規約の最初の2行を読んでください.
 

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年11月 3日(木)06時03分21秒
  > \bar{D}などは,上線(bar)の意味ではなく,太字の意味ですね.

そうでした。\bf{D}です。失礼致しました。


> 質問の件は,p151の規約の対偶です,
> f_λ(z)とf_μ(z)がaにおいて同じ関数要素を定めるなら,その上の点,
> 太字{a}と太字{b}は同一視する.太字{a}≠太字{b}なので異なる関数要素を定める.

なるほど。納得です。

ところでp151の近傍の定義の箇所
「Sの点\bf{a}は(幾つかの)\bf{D}_λに属する。~N(\bf{a})を\bf{a}の近傍と定める」
についてなのですが,
今\bf{D}_λ∩\bf{D}_μ=φ (λ≠μ)となってますよね。故に\bf{a}∈\bf{D}_λなるλ∈Λが唯一つ存在するはずですよね。
なのにどうして'幾つかの'と形容詞がついてるのでしょうか?
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年10月31日(月)11時22分2秒
  ①P303例において

K(√17):d=17,a<(√17)/2<3,a=1またはa=2

さて、N((3+√17)/2)=-2 故に2の因子は単項イデアルである。

これは、-2=((3+√17)/2)((3-√17)/2)であるから、

    2=-((3+√17)/2)((3-√17)/2)となるから
2の因子である((3+√17)/2)と(3-√17)/2)は前にマイナスはついているが
マイナスは単数だから、イデアルとしてみる場合どちらのイデアルにマイナスが
ついてもイデアルとして同じものだから、因子は単項イデアルである。

という理解は、正しいのでしょうか?

②P315下から3行目の例で

一番下の√21/(1+ε)=・・・
どのような根拠でこの式が、出るのでしょうか?

P316の上から4行目の例で
上から5行目

√6/(3+√6)=・・・

どのような根拠でこのような式が出るのでしょうか?

③P318下から4行目
ε。をK(√m)の基本単数とすれば、もちろん(ε。,f)=1であるから

とありますが、なぜ、ε。とfが互いに素なのでしょうか?

よろしくお願いします。




 

Re:ルベーグ可測関数である事

 投稿者:Imogene  投稿日:2016年10月30日(日)05時12分26秒
  fの連続性からg(y)も連続になりますね。 よって,任意のr∈Rに対して,もしr=inf(|h(y,z)|;(y,z)∈A×(B\{z_0})}なら
{y∈A;g(y)>r}は閉集合でr>inf(|h(y,z)|;(y,z)∈A×(B\{z_0})}なら{y∈A;g(y)>r}は開集合になりますよね。
従って,gは可測関数になると思うのですがこれで正しいでしょうか?
 

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:南海  投稿日:2016年10月28日(金)16時39分17秒
  \bar{D}などは,上線(bar)の意味ではなく,太字の意味ですね.

質問の件は,p151の規約の対偶です,
f_λ(z)とf_μ(z)がaにおいて同じ関数要素を定めるなら,その上の点,太字{a}と太字{b}は同一視する.太字{a}≠太字{b}なので異なる関数要素を定める.
 

Re: 田村二郎著『解析函数』

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年10月28日(金)02時46分23秒
  遅くなりまして申し訳ありません。

「定理2 Sは連結した相空間である」の(iii)の証明を読んでいます(P155の例4も読んでます)。

'a=bの時は\bar{a}∈\bar{D}_λ,\bar{b}∈\bar{D}_μとする時,f_λ(z)とf_μ(z)はaにおいて異なる関数要素を定める'

の下りの所なのですが,どうして異なる関数要素を定めると分かるのでしょうか?
 

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