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[05京大後期理系]の別解

 投稿者:IT  投稿日:2018年 1月25日(木)20時30分22秒
  (別解研究)確率計算の方法 事象の分解[05京大後期理系]の別解を考えましたので投稿します。

(略解)南海先生の[解1]の計算を楽にしたものといえるかも知れません。
f(x)={(1+1/x)^n}(1+x)^(n+1) を展開したときの係数を考える.

x,x^2,x^3,...,x^(n+1)の係数の和をaとおくと、求める確率はa{(1/2)^(2n+1)}である。 (ここにもう少し説明が必要)

f(x)={(1/x)^n}(1+x)^(2n+1).

ここで,(1+x)^(2n+1)=∑[j=0,2n+1]C(2n+1,j)x^j なので,

a=∑[j=n+1,2n+1]C(2n+1,j)
=∑[j=0,n]C(2n+1,j)=(1/2)(1+1)^(2n+1)
=2^(2n).

よって求める確率は(2^2n){(1/2)^(2n+1)}=1/2.
 

確率統計について

 投稿者:とぅろふ  投稿日:2018年 1月17日(水)15時24分21秒
  以下の問題が分からないので教えていただけると幸いです。

高校生が1ヶ月に使う塾の金額について、公立高校の生徒10人と私立高校の生徒15人について調べたところ、平均は公立9980円、私立11050円であり、標準偏差は公立420円、私立490円であった。母分散はほぼ等しいとして、公立と私立で塾の金額に差があるかを有意水準1%で調べなさいという問題です。

よろしくお願いします。
 

2017年 早大・理工5番-3次巡回多項式

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月16日(火)19時31分49秒
  1月5日の投稿に
>x^3+ax^2-(a(p-r)-3q)x+(p^3-r^3-apr)=0.   (q=-(p^2+pr+r^2), p+r≠0) ・・・(★)
>これが「3次の巡回群をGalois群にもつ3次方程式」の一般形(の一つの形)である.
と書きましたが,重要な「但し書き」を付け忘れました.それは
  「ただし,f(x)=x^3+ax^2-(a(p-r)-3q)x+(p^3-r^3-apr) が既約である場合に限る.」
です.例えば,a=-1, p=2/7, r=4/7 とすると,
   f(x)=x^3-x^2-2x=x(x+1)(x-2)
となります.この場合にも,f(x) の根 0,-1,2 と ψ(x)=(2x-4)/(7x+4) に対し,
   ψ(0)=-1, ψ(-1)=2, ψ(2)=0
が成り立ち,これはこれでチョット面白いのですが,f(x) のGalois群は「自明な群」になります.
したがって,(★)から「既約性が保証される族」を抽出することに意味があるような気がします.
ただ,(★)から次のような定理を証明することができますし,(★)は有意義な結果であると思います.

・2次関数 φ(x)=x^{2}-m(mは正整数)について,既約な3次式 f(x) で
   f(x) の任意の根αに対し φ(α) がまた f(x) の根になる
 ようなものが存在するためには
    m=n^{2}-n+2 (nは正整数)
 と表されることが必要十分である.

・x^3-mx-1(mは整数)のGalois群が3次の巡回群になるのは m=3 のときに限る.

後者は http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/cubicquartic.pdf に
「It is a hard theorem」として証明なしで紹介されていました.

【追記1】「3次の巡回群をGalois群にもつ3次多項式」を指す用語として,一般に
  3次巡回多項式 (cyclic cubic polynomial)
が用いられるようです.

【追記2】近日中に,今回得られた結果を整理し,一つの投稿にまとめたいと思います.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年 1月13日(土)10時04分37秒
編集済
  本問は必要条件でp,qが一組になり、それが同時に十分でもあるので、問いの構造に対応させて解答をどのように書くかの問題ですが、難しいのは、1.でpやqが複数個得られるときです。あるいは、一組でもそれが十分性を満たさず、「p,qなし」が正解である場合です。これらの場合、結局2.のように十分性を確認して確定しなければなりません。

と言うことは、一組だけになる場合でも、かたつむりさんの言われますように、
>「入試の答案」という観点から離れ,数学的内容に焦点を当てるならば,
>問題文を「(*) を満たすための p,q の値を求めよ」と読み替えて考えるのが自然
だと言えます。

出題者が必要条件を求めよといっているのか、必要十分条件を求めよといっているのかは、よく読みはっきりさせるべきなのですが、出題者自身がどこまでそれを自覚しているかは、分かりません。
 

(無題)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月12日(金)09時34分21秒
  >というよりは、問題文の論理構造をつかもうと言うことです.
了解しました.

 

Re:2017年 早大・理工5番(1)-4

 投稿者:南海  投稿日:2018年 1月12日(金)08時53分41秒
  >入試の答案についての[注意]と推察致します.
というよりは、問題文の論理構造をつかもうと言うことです。

1.(*)が成立する。このとき p.qを求めよ。
2.(*)が成立するような p.qを求めよ。

は、やはり違う構造です。
 

2017年 早大・理工5番(1)-4

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月11日(木)17時35分24秒
編集済
  南海先生の解答の[注意]にある
「問題文が「(*)を満たすとする」とあるときは必要条件でよい」
は,入試の答案についての[注意]と推察致します.
「入試の答案」という観点から離れ,数学的内容に焦点を当てるならば,
問題文を「(*) を満たすための p,q の値を求めよ」と読み替えて考えるのが自然な気がします.
1月7日18時の投稿に記した(1)の解答方針は,そのような趣旨に基づいたものです.そこに記した [4] は
「3次の巡回群をGalois群にもつ3次方程式」の一般形---1月5日の投稿の(★)---を導く際にも役立ちました.

【付記】入試問題にも,「出題者任せ」にすると危ない次のような例があります.
〈2016年 奈良県立医大・前期10番〉
 一辺の長さが5である正三角形ABCとその外接円がある.
 図(略)のように,点Dを直線BCに関して点Aと異なる側で AD=6 となるように(外接円上に)とる.
 このとき,線分 BD+CD の長さを求めよ.  ---(外接円上に)の語句は,私が補いました.---

トレミーの定理を用いると
  BD・AC+CD・AB=AD・BC  により  BD+CD=AD=6
と,すぐに求まってしまいそうですが,実は
 「直線BCに関して点Aと異なる側で AD=6 となるような外接円上の点D」
は存在しません.当時話題になったかどうか知りませんが「見過ごせない出題ミス」です.

 

逆像法について

 投稿者:hakuto  投稿日:2018年 1月11日(木)10時47分10秒
  かたつむりさん
返信ありがとうございました。
 

逆像法について

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月10日(水)19時15分56秒
編集済
  良いと思いますが,気づいたことを少し記します.

>(x^2+y^2+2)/√(9x^2+9y^2)が-1以上1以下
を x^2+y^2 について整理すれば 1≦x^2+y^2≦4 となります.(省略されただけかもしれませんが)

>p(x,y)が求める軌跡上にある= x=cosθ/2+3cosθ'/2,y=sinθ/2+3sinθ'/2という条件を満たす…
最初の等号は ⇔ の書き間違いでしょうか.

>3cosθ'/2
という表記は 3cos(θ'/2) と受け取られる可能性があります.
(3cosθ')/2, あるいは (3/2)cosθ' と書く方が良いでしょう.

「逆像法」の学習として敢えてこの方法を用いたのかもしれませんが,いわゆる「順像法」でも易しく解答できます.
まず,ベクトルの1次結合として
 (x,y)=(1/2)(cosθ,sinθ)+(3/2)(cosθ',sinθ')
と表す.θ'を固定しθを動かすときの (x,y) の軌跡は
 点((3/2)cosθ',(3/2)sinθ') を中心とする半径 1/2 の円
である.これを C_{θ'} とすれば,求める軌跡は
 θ'を0以上2π未満の範囲で動かすときの円 C_{θ'} の和集合(円 C_{θ'} の通過範囲)
として求められる.
 

逆像法について

 投稿者:hakutoメール  投稿日:2018年 1月 9日(火)11時00分25秒
  先の問題の解答の続きについても間違ったところがあったら教えてください。
よって(x-3cosθ'/2)^2+(y-3sinθ'/2)^2=1/4という条件を満たす0以上2π未満のθ’が存在するようなxy平面上の点全体の集合が求める軌跡になる。
この式を変形すると3cosθ'X+3sinθ'Y-X^2-Y^2-2=0と変形され、X=Y=0はこの条件を満たさないのでX=Y=0はこれ以降除外して考える。sinα=3X/√(9x^2+9y^2)、cosα=3Y/√(9x^2+9y^2)と変形された三角関数の合成を考えると
sin(α+θ')=(x^2+y^2+2)/√(9x^2+9y^2)という条件を満たすような0以上2π未満のθ’が存在するようなxy平面上の点全体の集合を求めればよくこれは(x^2+y^2+2)/√(9x^2+9y^2)が-1以上1以下の範囲にあれば良いから答えは
(x^2+y^2+2)/√(9x^2+9y^2)が-1以上1以下の範囲にあるという条件を満たすようなxy平面上の点全体の集合である。
 

逆像法について

 投稿者:hakutoメール  投稿日:2018年 1月 9日(火)10時48分17秒
  すみません。  

逆像法について

 投稿者:hakutoメール  投稿日:2018年 1月 9日(火)10時42分52秒
  xy平面上に置いてθ、θ'が0以上2π未満の範囲を動いた時にM(x,y)=(cosθ/2+3cosθ'/2,sinθ/2+3sinθ'/2)という条件を満たす点全体の集合を求めよという問題で
p(x,y)が求める軌跡上にある= x=cosθ/2+3cosθ'/2,y=sinθ/2+3sinθ'/2という条件を満たす
0以上2π未満のθ、θ'が存在する = (x-3cosθ'/2)^2+(y-3sinθ'/2)^2=1/4という条件を満たす0以上2π未満のθ’が存在する。というふうに言ったのですが何かおかしいところがありましたら教えてください。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年 1月 8日(月)12時32分38秒
  いただいた指摘をもとに、解答を改訂しました。  

2017年 早大・理工5番(1)

 投稿者:IT  投稿日:2018年 1月 8日(月)08時12分8秒
編集済
  問題文には 「(ただし,p≠q,q≠0)」とあり、下記予備校の解答では、このことを使ってα≠-1,0 を導いています。
条件(*) からもα≠-1,0 が出てきますので、出題側のサービスということでしょうか?(解法によっては邪魔になる?)

また、数学が得意で厳密に考える受験生は、p,qが虚数の場合を考慮して、より難問になります。
虚数の場合は考えなくていいのなら「p,q は実数」と明記すべきと思いますがいかがでしょうか?
(予備校の解答では、p,qが虚数の場合を考慮してるものもありますね)

http://sokuho.yozemi.ac.jp/sokuho/s_mondaitokaitou/1/kaitou/kaitou/1281422_4426.html
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年 1月 8日(月)04時43分13秒
  了解です。ありがとうございます。  

2017年 早大・理工5番(1)-3

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月 7日(日)23時48分40秒
編集済
  >方程式f(x)=0が重解をもつ場合f(x)=(x-α)^2(x-β)とおき、t=-1/(x+1)で変数を変換すると、
>tの満たす3次方程式も{(α+1)t-1}^2{(β+1)t-1)=0となり重解となる。

問題の条件(*)は「f(α)=0 ならば f(g(α))=0」ですから,
 f(x)=(x-α)(x-α)(x-β),  g(α)=β, g(β)=α, α≠β
という場合も,(*) は成り立ちます.
このとき,g(α), g(α), g(β) は f(x)=0 の3根ではありません.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年 1月 7日(日)20時24分25秒
  -1/(α+1)= -1/(β+1)⇔α=β などより異なる解のときは、言える。
方程式f(x)=0が重解をもつ場合f(x)=(x-α)^2(x-β)とおき、t=-1/(x+1)で変数を変換すると、
tの満たす3次方程式も{(α+1)t-1}^2{(β+1)t-1)=0となり重解となる。
などよりこれらが f(x)=0 の3つの解であるといえると考えたのですが。
 

2017年 早大・理工5番(1)-2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月 7日(日)19時22分53秒
  連続投稿,失礼します.

南海先生の解答に,
「f(x)=0 の3つの解を α,β,γとするとき -1/(α+1), -1/(β+1), -1/(γ+1) も,3つの解である」
として解と係数の関係が使われていますが,
-1/(α+1), -1/(β+1), -1/(γ+1) のそれぞれが f(x)=0 の解であるというだけでは,
これらが f(x)=0 の3つの解であるとは言えないと思いますが?
 

2017年 早大・理工5番(1)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月 7日(日)18時33分54秒
編集済
  >虚数の場合も考えると少しめんどうになりそうですね。
たしかに (1) は気を使う問題ですね.私は
 [1] x=g(x), x=g(g(x)), g(x)=g(g(x) は,どれも x^2+x+1=0 と同値であること,および g(g(g(x))=x を示す.
 [2] x^2+x+1=0 の2解をω,ω'とするとき,f(x)=0 はω,ω'以外の解αをもつことを示す.
   (f(x)の2次の係数が1であることが根拠となります.)
 [3] α,β=g(α),γ=g(β) が f(x)=0 の3解であることを確認し,
      g(α),g(β),g(γ) が f(x)=0 の3解であること,即ち α,β,γ が f((g(x))=0 の3解であることに着目する.
 [4] p,q の満たすべき必要十分条件は「f(x)=0 ⇔ f(g(x))=0 が成立すること」であることを述べ,
   これから p,q の連立方程式を導いて値を決定する.
という方針で解答しました.
 

2017年 早大・理工5番(4)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 1月 7日(日)17時55分27秒
  >かたつむりさんの言われる別解を考えていて入力していたので使いましたが、
私の昨夕の投稿は,そこに記した(※)が眼目で,そこから直ちに (3),(4) に答えられることを示したものです.
((3),(4) の答案としてきちんと記述してはいませんが.)
「(3)の結果を用いて(4)に答える」解答とは根本的に異なります.

ITさんが書かれているように
>(2) でf(x)=0 は -2<x<2 に異なる実数解を3つ持つことが示してあるので、
3つの解は 2cosθ_{1}, 2cosθ_{2}, 2cosθ_{3}  (0<θ_{1}<θ_{2}<θ_{3}<π)
と表されます.(3) の結果を用いれば,θ=θ_{k} として θ=2π/7, 4π/7, 6π/7 が導かれるので,
その過程を記述するだけで(4)の解答としては十分だと思います.
 

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