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誤字

 投稿者:rit  投稿日:2017年 1月17日(火)00時49分37秒
  「整数の基本」11ページ
48=3×18 となっています
 

数学について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 1月13日(金)20時41分33秒
  平面上に直線aと直線βがある。2直線とも平行で、直線aに点が6こ直線βに3こ点がある。この場合の数で、729通りとなるには、どのような問題があるか?教えていただけないでしょうか。お願いできないでしょうか?無理でしたら大丈夫です。すみません。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか  

リンク不備

 投稿者:南海  投稿日:2017年 1月 5日(木)11時25分53秒
  ご指摘有り難うございます.直しておきました.
今後ともよろしくお願いします.
 

(続)エルミート行列

 投稿者:杏里  投稿日:2017年 1月 5日(木)10時39分5秒
編集済
  > 「求めたい」ではなく,存在を証明したかったのでは?

そうでした。

> 「A+xB の固有値が,x=0 のある近傍で,n個の微分可能な関数
> λ_1(x),λ_2(x),...,λ_n(x) によって表される」
> ことを示す必要があったのでは?

えっ!? また勘違いですか?? 完璧だと思ってたのに。。
 

(続)エルミート行列

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 1月 5日(木)09時49分18秒
編集済
  >今,d/dx det((A+xB)^r+mI) |_{x=0}を求めたいのですよね。
「求めたい」ではなく,存在を証明したかったのでは?

>(f_1(x),…,f_n(x)):=F(x):=(A+xB)^r+mI, (g_1(x),…,g_n(x)):=G(x):=d/dx F(x) と置く
「置く」と言う前に,そもそも,(A+xB)^r が(微分可能な関数を成分とする行列として)定義可能であること,つまり
 「A+xB の固有値が,x=0 のある近傍で,n個の微分可能な関数 λ_1(x),λ_2(x),...,λ_n(x) によって表される」
ことを示す必要があったのでは?
 

(続)微分可能性

 投稿者:杏里  投稿日:2017年 1月 5日(木)04時00分9秒
  かたつむり先生。明けましておめでとうございます。

かなり昔の未解決問題です。

http://6504.teacup.com/aozoram/bbs?page=39&

タイトル[微分可能性 ]投稿日:2014年 8月22日(金)17時11分57秒

『[定義] Aをn×n正値エルミート行列,rを0<r≦1なる実数とする時,
A^r:=U^*diag(λ_1^r,λ_2^r,…,λ_n^r)U (但し,Uはユニタリ行列,λ_1,λ_2,…,λ_nはAの固有値)と定義します(指数行列の定義)。
その時, A,Bをn×n正値エルミート行列とし、Iをn×n単位行列,mを自然数とすると
行列式|(A+xB)^r+mI|
がx=0(xは実変数)で微分可能となることが分かりません。
かなり,色々といじってみたのですが(対角化の形にしてみたりとか),なかなか式変形すら大変なようです。
どのようにしてx=0での微分可能性が言えますでしょうか?』

という以前の質問ですがもしかしたら解決したかもです。

今,d/dx det((A+xB)^r+mI) |_{x=0}を求めたいのですよね。
(f_1(x),…,f_n(x)):=F(x):=(A+xB)^r+mI,
(g_1(x),…,g_n(x)):=G(x):=d/dx F(x) と置く(f_1(x),…,f_n(x),g_1(x),…,g_n(x)はF(x),G(x)の列ベクトル)と
d/dx det((A+xB)^r+mI) |_{x=0}=Σ_{k=1..n}det(f_1(0),…,f_{k-1}(0),g_k(0),f_{k+1}(x),…,f_n(x))…(*)と変形できる。

そこで一般の二項定理を使って,
(A+xB)^r=A^r+rA^{r-1}xB+(r(r-1))/2!A^{r-2}(xB)^2+(r(r-1)(r-2))/3!A^{r-3}(xB)^3+…
と書けますよね(勿論,行列の積の順序も考慮せねばなりませんが)。

よって,G(0)=rA^{r-1}B=U^*diag(rλ_1^{r-1},rλ_2^{r-1},…,rλ_n^{r-1})UB、
F(0)=A^r=U^*diag(λ_1^r,λ_2^r,…,λ_n^r)U求まるのでこれらを(*)に代入すればよい。

以上から,

行列式|(A+xB)^r+mI|はx=0で微分可能である。 (終り)

でいかがでしょうか?
 

(無題)

 投稿者:pencil  投稿日:2017年 1月 5日(木)01時08分1秒
  前回は迅速に対応して頂きありがとうございました。

立て続けで恐縮なのですが、他にも修正をお願いしたい箇所が見つかりました。
2014年入試問題研究、微積分野の横浜市大と香川大の解答のリンクが切れてしまっていますのでご確認下さい。
 

京大特色入試4番の一般化

 投稿者:南海  投稿日:2017年 1月 4日(水)14時42分24秒
編集済
  京大特色入試4番の一般化とその解答を掲載しました.かたつむりさんに紹介いただいた

xを実数,mを正整数,nを整数とする.m,nの最大公約数をdとすると,
     Σ{k:from 0 to m-1}[(kn+x)/m]=(m-1)(n-1)/2+(d-1)/2+d[x/d].

を先に証明しておくと,その後はこれ(と近似分数)を使うことで,できました.
本当にいいろいろ勉強になりました.
 

和公式の対称性

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 1月 4日(水)10時19分53秒
編集済
  和公式 Σ{k:from 0 to q-1}[kp/q]=(p-1)(q-1)/2  (p,q は互いに素な正整数)の対称性について,
知人(J.K.氏)から次のような解釈を教わりました.

この和 S は「座標平面で3点(0,0),(q,0),(q,p)を頂点とする三角形の内部(周を含まない)にある格子点の個数」に等しい.
2点 (0,0),(q,p) を結ぶ線分(両端を除く)上に格子点はないので,
  S=(4点(0,0),(q,0),(q,p),(0,p)を頂点とする長方形の内部(周を含まない)にある格子点の個数)/2
   =(p-1)(q-1)/2.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 1月 3日(火)10時13分38秒
  いろいろありがとうございます.
Concrete Mathematicsの式(3.32)は,x=0でd>1のときは示せたので,x≠0でd=1で示せれば,組みあわせてできそうです.

前文を読むと「Concrete Mathematics」つまり具体数学は,抽象数学と違う数学だということで,70年代からアメリカで展開してきたとのこと.このあたり,情報技術でのアメリカの底力を感じます.
 

Knuth 他 著 Concrete Mathematics

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 1月 3日(火)08時45分18秒
  >それと,<Knuth 他 著 Concrete Mathematics>は計算機科学の教科書ですね.
たしかに,邦訳の書名は『コンピュータの数学』ですが,原著のタイトルからも察せられるように,
「狭義の計算機科学」の本ではないように思います.

>計算機科学の教科書で,このような等式がどのように使われるのか,
例の等式の「計算機科学における意義」は,私には全く見当が付きませんが,その導出・証明はとても良い勉強になりました.

この和は,同書第3章の最後の話題で,p.89(ITさんが紹介されたpdfのp.23)の最後の文から始まります.
p.92(pdfのp.26)中程の書き換えからが「本論」です.
私はそこから読み始め,随時戻って (3.26),(3.25),(3.11) の等式を学習しながら,証明を再構成しました.
 

Concrete Mathematics

 投稿者:IT  投稿日:2017年 1月 2日(月)21時32分49秒
編集済
  <Knuth 他 著 Concrete Mathematics>は
下記にちょうどInteger Functions部分のサンプルページがあり
その等式は3.5 FLOOR/CEILING SUMS の最後の94ページ(PDF28p)にあります。
http://ptgmedia.pearsoncmg.com/images/9780201558029/samplepages/9780201558029.pdf
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 1月 2日(月)18時43分14秒
  それと,<Knuth 他 著 Concrete Mathematics>は計算機科学の教科書ですね.
Knuth は私が1日も使わない日はない TeX の創始者ですね.
計算機科学の教科書で,このような等式がどのように使われるのか,知りたいものです.
 

(無題)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 1月 2日(月)17時46分58秒
  この入試問題は知りませんでした.ありがとうございます.

解答---(2.2)の補題---に記しましたように,私が前提として用いたのは,この上智大入試問題の(4)の性質だけなので,
ここまでさかのぼれば,高校数学の範囲に収まります.
 

近似分数

 投稿者:南海  投稿日:2017年 1月 2日(月)13時56分21秒
  かたつむりさんの解答の近似分数ですが,2000年に入試に出ています。上智大後期
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2000/jyouti2.htm
最良近似であることまではいらないので,この問題と解答を再掲して使い,一般化された問題とその解答を,これまでの議論を元に作ってみます。
高校範囲で一般化でき解答できることを確認してみようと思います。
 

京大特色入試4番の一般化に関わる〈和公式〉

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月31日(土)12時31分1秒
  >完璧な一般化ですね。
ありがとうございます.ITさんの問題提起がなければ試みなかったと思います.

例の〈和公式〉の証明は,次のようにしました.ITさんの証明と,実質的に同じだと思います.

kpをqで割った余りを r_k とおくと(商は [kp/q] なので),
  kp=q[kp/q]+r_k, 即ち [kp/q]=(kp-r_k)/q
が成り立つ.p,qは互いに素なので,
    r_i=r_j ⇔ i=j
が成立(詳細略)し,
  Σ{k:from 0 to q-1}r_k=Σ{k:from 0 to q-1}k
となる.したがって,
  Σ{k:from 0 to q-1}[kp/q]=Σ{k:from 0 to q-1}(kp-r_k)/q
                             =(p-1)/q Σ{k:from 0 to q-1}k
                             =((p-1)/q)(q(q-1)/2)
                             =(p-1)(q-1)/2.

調べたところ,Knuth 他 著 Concrete Mathematics に,この和公式を特殊な場合として含む
(恐ろしく)一般的な公式が載っていました:

  xを実数,mを正整数,nを整数とする.m,nの最大公約数をdとすると,
     Σ{k:from 0 to m-1}[(kn+x)/m]=(m-1)(n-1)/2+(d-1)/2+d[x/d].

著者は次のように記しています:
This is astonishing, because there's no reason to suspect that such a sum should be symmetrical.
 

Re:京大特色入試 4番の一般化(まとめと補足)

 投稿者:IT  投稿日:2016年12月31日(土)00時29分46秒
編集済
  かたつむりさん、完璧な一般化ですね。

> 和公式
> Σ{k:from 0 to q-1}[kp/q]=(p-1)(q-1)/2  (p,q は互いに素な正整数,[kp/q] は kp/q の整数部分)
> です.(右辺が p,q について対称であることが,ちょっと不思議な気がします.)
私も不思議な気がしたので、不思議を減らそうとしてみました。
結局証明をすることになりました。(かたつむりさんの証明と同じかもしれませんが)

ガウス記号なしで考えると,
 Σ{k:from 0 to q-1}(kp/q)=(q(q-1)/2)p/q=p(q-1)/2 なので, (#ここでなんとなく対称の可能性が見えてきました。)

ここからガウス記号で失われる小数部分の和が p(q-1)/2 - (p-1)(q-1)/2 =(q-1)/2 であることを示せばいい.
 これは、折り返して足すと出てきます.

 pとqは互いに素なので k=1,..,q-1 についてkp はq で割り切れない。

 qが奇数のときは、1からq-1まで偶数個で
  (p/q)-[p/q]+((q-1)p/q)-[(q-1)p/q]=p-([p/q]+[(q-1)p/q])=1などと,1が(q-1)/2 個作れる.

 qが偶数のときは、1からq-1まで奇数個、またpは奇数
  (p/q)-[p/q]+((q-1)p/q)-[(q-1)p/q]=p-([p/q]+[(q-1)p/q])=1などと,1が(q-2)/2 個作れる.
  ペアにならず真ん中に残る1個は ((q/2)p/q)-[(q/2)p/q]=(p/2)-[p/2]=1/2.
  合わせて(q-1)/2 となる.

p,q を入れ替えると,同様に
 Σ{k:from 0 to p-1}(kq/p)=(p(p-1)/2)q/p=q(p-1)/2 なので
 ガウス記号で失われる小数部分の和が q(p-1)/2 -(p-1)(q-1)/2 =(p-1)/2.
こう考えるとp,q について対称であることが納得できます。図解できるとさらに分かりやすいと思います.

# 結果的には,ガウス記号で失われる小数部分の和を考えるより,
 直接[1p/q]+[(q-1)p/q]=p-1 などと考えた方が簡明ですね。(後から気がつきました)

 

京大特色入試 4番の一般化(まとめと補足)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年12月30日(金)11時39分49秒
編集済
  年が変わる前に,改めて整理しておきます.(長文失礼します)

[問題の定式化]
正の実数αと自然数nに対し,xy平面上で
  0≦x≦n-1, 0≦y≦αx  ・・・(*)
を満たす格子点(x,y)の個数をS_{α}(n)とおく.
(1) lim_{n→∞} S_{α}(n)/n^2=α/2  を示せ.
(2) 以下の条件(H)を満たすような実数Cが存在するかどうか調べよ.
     (H) すべての自然数nについて,|S_{α}(n)-(α/2)n^2|<C が成立する.

(注)京大・特色入試4番は α=1/√(5) の場合に当たります.
(注)(α/2)n^2 は,3点(0,0), (n,0), (n,αn) を頂点とする三角形の面積に等しく,
   S_{α}(n) は,「(*) を満たす格子点を左下の頂点とする単位正方形のなす図形」の面積に等しい.
     (1)は両者の比が1に収束することの証明,(2)は両者の差を考察する問題です.

[(2) の結論]
αが無理数の場合,次のことが成り立つ:
α>1 のとき S_{α}(n)-(α/2)n^2 は下に有界でない;
α<1 のとき S_{α}(n)-(α/2)n^2 は上に有界でない.
(注)〈連分数展開による近似分数列〉の性質を用いて証明できます.

αが有理数の場合,α=p/q(p,q は互いに素な自然数)とおくと,次のことが成り立つ:
p>q+1 のとき S_{α}(n)-(α/2)n^2 は下に有界でない;
p<q+1 のとき S_{α}(n)-(α/2)n^2 は上に有界でない;
p=q+1 のとき S_{α}(n)-(α/2)n^2 は周期qの周期数列をなす.(特に,α=2/1=2 のときは「定数列」となる.)

したがって,条件(H)を満たすCが存在するのは,α=(q+1)/q(q は自然数)と表される場合に限る.

[補足1]問題解決の〈決め手〉となったのは,和公式
      Σ{k:from 0 to q-1}[kp/q]=(p-1)(q-1)/2  (p,q は互いに素な正整数,[kp/q] は kp/q の整数部分)
です.(右辺が p,q について対称であることが,ちょっと不思議な気がします.)
この証明だけでも,一つの入試問題になり得ると思います.

[補足2]元の入試問題(2)に対し,高校数学の範囲で答えるには,「ITさんのアイデア」が最適だと思います.
その本質は,x軸に平行な線分上の格子点の個数を数えてそれらを加える,つまり,格子点の総数を
    Σ{y:from 0 to [(n-1)/√(5)]}(x軸に平行な線分上の格子点の個数を表すn,yの式)
と計算することにあります.([(n-1)/√(5)] は (n-1)/√(5) の整数部分.)
和の上限 [(n-1)/√(5)] の扱いが少し面倒ですが,√(5) を2より大きい実数で置き換えた場合にもそのまま使えます.
 

お礼

 投稿者:南海  投稿日:2016年12月29日(木)13時12分10秒
編集済
  誤植のご指摘有り難うございます。直しておきました。  

誤植でしょうか

 投稿者:pencil  投稿日:2016年12月29日(木)12時29分35秒
  初めまして。いつも拝見させて頂いております。
今年の京大特色3番の解答についてですが、(2)の最初の行は「n-456=15」ではなく「n-441=15」だと思います。些細なことかもしれませんが、受験生のために注を加えて頂ければと思います。宜しくお願い致します。
 

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