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千葉大11番解答

 投稿者:do-demo  投稿日:2017年 3月28日(火)23時29分42秒
編集済
  (3)のf(x)の平方完成後の
(x-1/2)^2+3/4
の二乗が消えています(誤植)

また、その後の議論でf(x)がx>1/2で単調増加なことから数列が単調増加であることを推論していますが、x≧2でf(x)>xであることを用いるべきではないでしょうか。
(fが単調増加⇒a_(n+1) = f(a_n)で定まる数列a_nが単調増加 は言えないため
反例:f(x) = x^2 a_1 = 1)
 

(無題)

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 3月24日(金)10時31分42秒
  ありがとうございました。勉強してみます。  

凸領域

 投稿者:南海  投稿日:2017年 3月24日(金)09時06分29秒
  こちらが凸について書いているのは
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch04/totu/node3.html
です.この定義で論証できるでしょうか.
 

(無題)

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 3月23日(木)21時37分2秒
  書籍がないとわかりずらい質問で申し訳ありません。
ハーディ数論入門ⅡのP158の定理448の中に だから凸であるという一文があるのですが,なぜ凸なのかわかりません。また,同じような内容ですが,P159の定理450の中に であるからこの領域は凸である。の部分もなぜ凸なのでしょうか?
 

解析概論

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 3月17日(金)22時01分14秒
  南海先生ありがとうございました。  

第1章の練習問題 (7)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 3月17日(金)13時03分16秒
編集済
  もう随分前に『解析概論』の読書会をやっていました。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/dokusyo/gairon.htm
YahooのMLでやっていました。そこは閉じられてしまったのですが、その記録が手元にあります。それをみると次のような解がありました。

◆早速ですが、第1章末の(7)ですが、次のような証明は可でしょうか。
ε>0を任意にとると、M>0が存在して、
M≦xのとき|f(x+1)-f(x)|<ε ①。
ある0以上の整数nが存在して、〔M+n,M+n+1〕がxを含む。
このとき|f(x)/x|≦(α+nε)/(M+n)。
(ここで、αは〔M,M+1〕における|f(x)|の最大値。〔M+1,M+2〕での|f(x)|の最大値は①よりα+εを超えない。繰り返して右辺を得る。)
これから|f(x)/x|≦(α/n+ε)/(M/n+1)<α/n+ε ②。
lim|f(x)/x|=0でないとすると、あるε1>0があって、どんなに大きなxにも|f(x)/x|>ε1となるものがある。しかし、これは②と矛盾する。よって、極限値は0。

◆最後の3行を、以下の通りまとめてみました。別解です。

ε,M,αは上の解答通りとする。

自然数nをn>max(0,α/ε-M)…(1)
となるように適当に選び、以下、M+n≦xとなるxについて評価する。

M+k≦x<M+k+1(kは0又は自然数)…(2)
であるから、既に証明されているように、
|f(x)/x|≦(α+(n+k)ε)/(M+(n+k))…(3)
(1)から、α/ε-M<n≦n+k
よって、α/ε<(n+k)+M…(4)
(3)に代入すると
|f(x)/x|
≦(α+(n+k)ε)/(M+(n+k))
≦α/(M+(n+k))+(n+k)ε/(M+(n+k))
<ε+ε[∵第1項は(4)から]
=2ε
と、もっともらしく仕上がりました。

 

練習問題の質問

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 3月17日(金)07時51分12秒
編集済
  解析概論 第1章の練習問題 (7)
f(x)は(a,∞)で連続で
limx→∞(f(x+1)-f(x))=mならばlimx→∞f(x)/x=m
の証明ができないでいます。ご指導お願いいたします。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 3月17日(金)07時33分49秒
  ご指摘ありがとうございます。確かに誤植です。
訂正しておきます。極限は変わりませんが。
 

東工大4番回答

 投稿者:do-demo  投稿日:2017年 3月16日(木)23時06分28秒
  (2)の
その7番目の文字はcであるので,5番目と8番目は~
の部分は5番目ではなくて6番目の誤植でしょうか?以降の議論で4番目を用いてるところも5番目にずれるように思います。
 

ありがとうございました

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 3月11日(土)17時37分26秒
  南海先生
1点目の解説ありがとうございました。はっきりしました。
2点目は自分でももう少しがんばってみます。
 

Re:質問2点

 投稿者:南海  投稿日:2017年 3月11日(土)12時18分57秒
編集済
  1点目:
C(P,r)の振動量をv(P,r).v(P,r)<εとなるrの上限がρ.ρはPの関数なのでρ(P)と書く.Pを変化させたときのρ(P)の最小値がρ_0.

これは何を意味するか.
ρ_0は,K内でPを動かしたときの最小値なので,任意のPに対し,PQ<ρ_0にとったQはC(P,ρ_0)に属し,
そこでの最大値と最小値をM,mとすると,このとき,|f(P)-f(Q)|≦|M-m|=v(P,ρ_0)≦ε となる.

2点目は本がないので,本屋で見てからですが,質問のことは
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node38.html
の定理79を一般次元にしたものではないでしょうか.
これは,『解析概論』の96.変数の変換 にもあります.
 

質問2点

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 3月11日(土)00時05分9秒
  解析概論第1章の11連続函数の性質の定理14の最後の部分「ρ?>0でv(P,ρ?/2)≦v(P,ρ?/2)<ε.すなわちPQ<ρ?」のところがよく分からないのですが。
ハーディーの数論入門Ⅱの第24章数の幾何∬…dξ?dξ?…dξn=|△|dx?dx?…dn
*nは右下の小さい文字
を証明も含めてきちんと理解したいのですが、どんな教科書を参照すればといでしょうか?





 

京大理系3番

 投稿者:南海  投稿日:2017年 3月 8日(水)09時42分41秒
  ご指摘ありがとうございます。
これは細かい話ではなく、先に確認しておかなければなりませんでした。
証明中で、q=1のときのことを書いていますが、q=1ではtan2βが定義されないので、
無意味な議論になっています。
今日中に訂正しておきます。
 

京大理系3番

 投稿者:IT  投稿日:2017年 3月 7日(火)20時58分31秒
編集済
  細かい話ですが、京大理系3番の解答について
q=1,β=π/4,2β=π/2 となる場合を別に考えないといけないのではないでしょうか?

(理由)
tan(2β)=tan(π/2) は+∞となり定義されませんが、αの値によってはtan(α+2β)は、有限な値を持ち定義されますので。

なお、高校の数2の教科書(数研)のtanの加法定理では、α、β、α+βがπ/2になる場合について特に除外していません。
 

ジョルダン開曲線

 投稿者:Sarah  投稿日:2017年 3月 7日(火)08時44分42秒
  確認させて戴きたいことが有ります。

n次元複素空間C^nに於いて,
a∈C^nに対して,B[a,1/k):={z∈C^n;|z-a|<1/k} (k∈N)を中心をaとする半径1/kの開n次元球体,
,B[a,1/k]:={z∈C^n;|z-a|≦1/k} (k∈N)を中心をaとする半径1/kの閉n次元球体と呼ぶ事にする。
B[a,1)\B[a,1/2]≠φなのでb_1∈B[a,1)\B[a,1/2]という適当な一点が取れる。
続いてb_2∈B[a,1/2)\B[a,1/3]という適当な一点が取れる。
この時,B[a,1)\B[a,1/3]は開領域なのでb_1を始点としb_2を終点とする連続曲線γ(b_1,b_2)が採れますよね。
同様に,B[a,1/2)\B[a,1/4]\γ(b_1,b_2)も開領域なのでb_2を始点としb_3を終点とする連続曲線γ(b_2,b_3)が採れますよね。
同様に,B[a,1/3)\B[a,1/5]\γ(b_1,b_2)\γ(b_2,b_3)も開領域なのでb_2を始点としb_3を終点とする連続曲線γ(b_3,b_4)が採れますよね。
:
これらの連続曲線を順に繋いでいって,
∪_{j=1..k}γ(b_j,b_{j+1})とするb_1を始点としb_{k+1}を終点とする連続曲線γ(b_1,b_{k+1})がえんえんと伸ばせますよね(∵選択公理)。
勿論,lim_{k→∞}b_k=aとなりますね。

そこで本題ですが,

{a}∪(∪_{j=1..∞}γ(b_j,b_{j+1}))はb_1を始点としaを終点とする連続曲線γ(b_1,a)が採れると思います。

その際,Γ:[0,1]→γ(b_1,a)はという媒介変数t∈[0,1]を用いたb_1を始点としaを終点とする連続曲線ですよね?
 

Re:Re:orelとLebesgueの包含関係は?

 投稿者:たまり  投稿日:2017年 3月 1日(水)10時26分5秒
  ご回答誠に有難うございます。Lebesgueσ集合体はBorelσ集合を完備化したものという定義を見かけましたのでつい拡張された概念かと思い込んでしまいました。  

ありがとうございました

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 2月28日(火)14時05分9秒
  かたつむり先生
ご指導ありがとうございました。見直しを繰り返して理解を深めていきます。
 

Re:orelとLebesgueの包含関係は?

 投稿者:南海  投稿日:2017年 2月28日(火)13時26分1秒
編集済
  私の考えですが,数学の体系と,概念の歴史的な発展とが混同されているのではないでしょうか.

Borel集合は,Lebesgeu測度の概念より先にありました.Lebesgeu可測の概念ができたときに,Borel集合は,Lebesgeu可測であることもわかりました.ただそのことは,

>Lebesgueσ集合体はBorelσ集合体を一般化した概念かと思います。
といえるかどうかわかりません.Lebesgeu測度は,ジョルダン測度の一般化と考えられ,リーマン積分の一般化です.

>Lebesgueσ集合体はBorelσ集合体の特殊な概念かと思います
新しい概念が生まれ,それによって定義されたものが,それ以前のものはそれを用いないで定義されることを理由に,その古い方が一般的に定義されているとは言えません.

連続の公理のもとに構成された実数は連続の公理なしに構成できる自然数を特殊化した,とは言えないのではないでしょうか.
 

BorelとLebesgueの包含関係は?

 投稿者:たまり  投稿日:2017年 2月27日(月)23時58分23秒
  Ωを全体集合とする。

Borelσ集合体とLebesgueσ集合体の関係について疑問が有ります。

Borelσ集合体B(Ω)の定義は"Ωを含む最小のσ集合体"をBorelσ集合体と呼ぶのだと思います。
そして,
Lebesgeulσ集合体の定義は,μを測度とし,N_μ:={E∈2^Ω;E⊂∃F∈B(Ω)}について,B(Ω)∪N_μをLebesgeuσ集合体と呼ぶのだと思います。

その時,
Borel集合⇒Lebesgue集合
という関係が有りますよね。一般に逆は成立ちませんよね。

よってLebesgueσ集合体はBorelσ集合体を一般化した概念かと思います。

然しながら,
Lebesgueσ集合体はBorelσ集合体とは異なり定義に測度の概念を必要としますので,
Lebesgueσ集合体はBorelσ集合体の特殊な概念かと思います
(つまり,Borelσ集合体はLebesgueσ集合体を一般化した概念)。

となってしまいどっちつかずになって困ってます。

どのように考えればいいのでしょうか?
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 2月27日(月)21時10分54秒
  ご指摘有り難うございます。OCRでとったので、エルになってしまいました。
明日中に直しておきます。
 

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