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(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月31日(水)09時40分50秒
  正則性の公理は,
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node9.html
にも書いていますが,素朴集合論の矛盾の反省から生まれた公理です.
>元でしかないもの、集合も、集合の集合も、集合の集合の集合も含むような集合
も有限回の操作でできたものであれば,正則性の公理に反しないので,集合ではないでしょうか.
すべての集合の集まり,これが集合から除かれクラスになります.
 

集合とは何か(著:竹内外史)の118ページ 正則性の公理ついて

 投稿者:わなないな  投稿日:2017年 5月30日(火)22時36分37秒
  先生もお持ちの本でつかみにくい部分があったので久々に質問に参りました。
任意の集合aの元をanとして
a∋a1∋a2∋a3∋...と続けたら有限回で空集合が右に出てくる部分についてです。
自分はここで言うaは1,2,{1, 2},{{1, 2}},{{{1, 2}}}のような、
元が元でしかないもの、集合も、集合の集合も、集合の集合の集合も含むような集合と考えました。
ですが、119ページには順序数と紐づけされた、順序数を元とする集合で説明されています。
2={0,1}1={0}の辺りが自分に言うことと同様にも思えますが、確信がもてません。
高校までの集合のイメージから離れきれてないのもあり、
自分の考え方が正しいのかよくわかりません。
間違いやより良い捉え方があればご教授ください。
よろしくお願いします。
 

(無題)

 投稿者:高2  投稿日:2017年 5月30日(火)08時04分13秒
  南海先生、度々アドバイスありがとうございます
複素平面については食わず嫌いをせず取り組んでみます
極限を扱わないので、特別な準備なく学習できそうですね

幾何による解法はエレガントですね
図形の対称性の利用は使いこなすのが難しそうです
この問題の原典は何か良くわからないのですが、もし大学入試問題であるならば、出題者の意図はこちらだったのかもしれませんね。(難易度的にはどの程度になるのでしょうか。。。?)

無事解決です、ありがとうございました!
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月29日(月)22時12分47秒
  正多角形の頂点の位置ベクトルの和は,中心である.この幾何的証明.
多角形の対称性から,頂点をそれぞれ隣の頂点に中心まわりに回転しても、その和は動かない.
つまり中心まわりの角2π/nの回転で不変.よって和は中心.
この和を接線方向とそれに垂直な方向に分解することにより,接線と垂直方向の和も0.
よって接線への垂線の和はn.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月28日(日)21時50分13秒
  複素数平面はいまは数学IIIに入っていますが,これは人為的なもので,昔は数学IIBまでの文理共通範囲でした.ですからあまり数学IIIということは気にしないでやってください.
複素数と言っても使うのはドモアブルの定理で,これは加法定理と同値ですので,三角関数の数列の和の計算に翻訳すれば,複雑ではあるが,おなじことです.
 

(無題)

 投稿者:高2  投稿日:2017年 5月28日(日)21時31分31秒
編集済
  ITさん、南海先生、ありがとうございます
やはり、数Ⅲで解くのが自然なんですね
自然数nに関することがらなので、てっきり数学的帰納法を用いるのかと誤解しておりました

正多角形の頂点の位置ベクトルの和は0になると何かで読みました
本質的には南海先生の複素数平面上の計算と同じですね
これを用いればITさんの指針もうまくいくかもしれません
ぜひ試してみようかと思います。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月28日(日)20時20分49秒
編集済
  数学IIIですが,複素数平面で考え,次のようにしてはどうでしょうか.

α=cos a+isin a,ω=cos2π/n+isin 2π/n として, n個の点を次のように決める.
α,αω,…,αω^{n-1}
このときα+αω+…+αω^{n-1}=α・(1-ω^n)/1-ω=0 なので,x軸への垂線の長さ(逆方向は負にとる)の和は0である.
y=-1 への和は,すべて1平行移動しているので,nになる.
これは別に複素数平面で考えなくてもよいのですが,x軸への方向のある長さの和が0となることは,ITさんが言われるように,三角関数範囲ではやや工夫がいります.
 

数学的帰納法(?)

 投稿者:IT  投稿日:2017年 5月28日(日)18時33分9秒
編集済
  接線をx軸と見たとき
n個の頂点のy座標の平均値が円の中心のy座標と一致することが示せれば良いと思います。

 n が偶数のときは、円の中心を通る各対角線上にある2つの頂点の組を考えれば出来ますね。
 n が奇数のときは、工夫がいるかも知れません。
 

数学的帰納法(?)

 投稿者:高2  投稿日:2017年 5月28日(日)06時28分32秒
  おはようございます、しばらく次の問題に困っています

(1) 半径1の円Oと,Oに接する直線lがある.Oに内接する正三角形の各頂点から,lにおろした垂線の長さの和を求む.
(2) 半径1の円Oと,Oに接する直線lがある.Oに内接する正n角形の各頂点から,lにおろした垂線の長さの和を求む.

(1)は三角関数の計算で3と求まり、(2)もおそらくnになるのだろうと思います(n=6まで確認しました)
数学的帰納法をつかうのかな?と思いましたが、(2)をうまく示すことができません
どのようにアプローチをすべきなのでしょうか
もしかしたら、数Ⅲの知識が必要になるのでしょうか?

 

Re:どう並べ替えても一部を取り出しても素数となる4桁の数

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月21日(日)11時00分18秒
編集済
  幾つか調べましたが、記数法と整数問題をからめると非常に難しいでした。
面白い問題の提起に感謝します。
 

下記に追記

 投稿者:shtainze  投稿日:2017年 5月21日(日)09時13分24秒
  1週間経ちましたがご回答が得られないので終了とさせて頂きます。(難しいですよね・・・)
またお世話になることがあるかもしれませんが宜しくお願い致します。
 

どう並べ替えても一部を取り出しても素数となる4桁の数

 投稿者:shtainze  投稿日:2017年 5月12日(金)17時10分45秒
編集済
  n進法におけるk桁 (k: 4以上) の数で、下記の条件を満たす例を挙げよ。あるいは、必要条件を挙げよ。
・各桁の数をどう並べ替えても素数になる
・一部の桁のみを取り出した数も、どう並べ替えても素数になる


マルチ投稿ですが、毎日確認して、何か回答を頂き次第こちらの掲示板にも反映させます。また、ご回答が得られない期間が1週間続いた時点でフォローを止めさせて頂きます。その際はこちらにメッセージを残します。どうぞ宜しくお願い致します。

なお、以下は私が考えて分かった範囲です。
kが2の時は、例えば、10進法における37が当てはまります。(37, 73, 3, 7が全て素数)
kが3の時は例えば、246進法に最小の例があり、その時の各桁の数は31, 101, 191となります。(3桁、2桁、1桁の組み合わせの合計15通りの数が全て素数となる)
素数定理が正しいとすれば、どんなに大きなkに対しても、n進法においてそのような例が出現する確率は少なく見積もってもO (1/(lognの累乗))となります。これは十分大きなnに対して必ずそのような例が出現し、かつ以降も無限に出現することを示唆しています。

ただし、その確率の絶対値はかなり小さいので、kが4の時は数値計算による求解は不可能であり、何らかの定性的な絞込が必要となります。

他には各桁が素数となる事(1桁の場合を考えれば自明)と、あと、modを使って多少の絞り込みができる事が判明している程度です。

・この問題のために群論も少しかじりましたが、群論は「桁を並べ替える」とか「一部の桁を取り出す」等の操作に関してはあまりパワーを発揮しないようです。(←誤解があればご指摘下さい)
・permutable primeについても少し調べましたが、今回はそれよりかなり強い条件を要請しているのであまり役立たない気がします。
 

同相である事

 投稿者:Ciera  投稿日:2017年 5月11日(木)00時48分35秒
編集済
  たびたびすみません。

a∈C^nとせよ。
{z∈C^n;|z|=|a|}とC^n/R∪{∞}は同相らしいのですがどうしてでしょうか?

C^n/Rは
C^n/R={y∈C^n;y≡a (mod R)}={y∈C^n;y-a∈R}ですよね。

{z∈C^n;|z|=|a|}と{y∈C^n;y-a∈R}∪{∞}とはどうして同相なのでしょうか?

同相写像としてどのようなものが採れるのでしょうか?
 

Re:連続関数

 投稿者:Ciera  投稿日:2017年 5月11日(木)00時47分15秒
  そうですよね。どうも有難うございます。  

連続関数

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月 9日(火)08時36分9秒
編集済
  ∀ε,∃δ,∀x: |x-x_0|<δ→|f(x)-f(x_0)|<ε
が連続の定義です。この命題は、もとの定義域で真なら、任意に定義域を制限しても真ではないでしょうか。
連続関数の任意の制限写像も連続、が成り立つように思われます。
 

複素関数

 投稿者:Ciera  投稿日:2017年 5月 8日(月)09時38分34秒
  複素関数f:C^2→Cを考えてます。
もしfが連続関数なら任意の部分集合D⊂C^2についても制限写像f_D:D→Cも必ず連続関数になりましょうか?
もし反例があれば教えてください。
 

IT先生

 投稿者:受験生  投稿日:2017年 4月27日(木)21時03分13秒
  ありがとうございました。  

RE:奈良県立医科大

 投稿者:IT  投稿日:2017年 4月27日(木)18時20分41秒
編集済
  n=0  のときは
|a_n-a_[n-1]|+|a_[n-1]-a_[n-2]|+...+|a_2-a_1|+|a_1-a_0|+|a_0|
< n+|a_0| は、成り立たないため
≦ n+|a_0| が正しいので、
β=|a_0|+1などとしないといけませんでした。
 

RE:奈良県立医科大

 投稿者:IT  投稿日:2017年 4月26日(水)23時40分2秒
編集済
  勘違いがあるかも知れません。まちがいがあればご指摘ください。

ある正整数pが存在し
|m-n|≦pを満たす零以上のすべての整数m,nに対して不等式|a_m-a_n|<1が成り立つことから
|m-n|≦1を満たす零以上のすべての整数m,nに対して|a_m-a_n|<1が成り立つ
よって 零以上のすべての整数nに対して|a_[n+1]-a_n|<1…(1)が成り立つ

したがって
零以上のすべての整数nに対して
 |a_n|≦|a_n-a_0|+|a_0| (三角不等式)
 ≦|a_n-a_[n-1]|+|a_[n-1]-a_[n-2]|+...+|a_2-a_1|+|a_1-a_0|+|a_0|数学的帰納法で示す必要があるのかも
 <n+|a_0|  ∵(1)
 α=1,β=|a_0| とおくと |a_n|<αn+βが成り立つ
 

奈良医科大学

 投稿者:受験生  投稿日:2017年 4月25日(火)23時27分0秒
  2017年奈良医科大学の後期の数学問題です。
a_0,a_1,…a_nを実数の数列とする。ある正整数pが存在し
|m-n|≦pを満たす零以上のすべての整数m,nに対して不等式|a_m-a_n|<1
が成り立つとする。このとき,ある正の実数α,βが存在し,零以上の任意の整数
nに対して不等式|a_n|<αn+βが成り立つことを示せ。
はどのようにアプローチすればよいのでしょうか?

 

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