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京大理系3番

 投稿者:IT  投稿日:2017年 3月 7日(火)20時58分31秒
編集済
  細かい話ですが、京大理系3番の解答について
q=1,β=π/4,2β=π/2 となる場合を別に考えないといけないのではないでしょうか?

(理由)
tan(2β)=tan(π/2) は+∞となり定義されませんが、αの値によってはtan(α+2β)は、有限な値を持ち定義されますので。

なお、高校の数2の教科書(数研)のtanの加法定理では、α、β、α+βがπ/2になる場合について特に除外していません。
 

ジョルダン開曲線

 投稿者:Sarah  投稿日:2017年 3月 7日(火)08時44分42秒
  確認させて戴きたいことが有ります。

n次元複素空間C^nに於いて,
a∈C^nに対して,B[a,1/k):={z∈C^n;|z-a|<1/k} (k∈N)を中心をaとする半径1/kの開n次元球体,
,B[a,1/k]:={z∈C^n;|z-a|≦1/k} (k∈N)を中心をaとする半径1/kの閉n次元球体と呼ぶ事にする。
B[a,1)\B[a,1/2]≠φなのでb_1∈B[a,1)\B[a,1/2]という適当な一点が取れる。
続いてb_2∈B[a,1/2)\B[a,1/3]という適当な一点が取れる。
この時,B[a,1)\B[a,1/3]は開領域なのでb_1を始点としb_2を終点とする連続曲線γ(b_1,b_2)が採れますよね。
同様に,B[a,1/2)\B[a,1/4]\γ(b_1,b_2)も開領域なのでb_2を始点としb_3を終点とする連続曲線γ(b_2,b_3)が採れますよね。
同様に,B[a,1/3)\B[a,1/5]\γ(b_1,b_2)\γ(b_2,b_3)も開領域なのでb_2を始点としb_3を終点とする連続曲線γ(b_3,b_4)が採れますよね。
:
これらの連続曲線を順に繋いでいって,
∪_{j=1..k}γ(b_j,b_{j+1})とするb_1を始点としb_{k+1}を終点とする連続曲線γ(b_1,b_{k+1})がえんえんと伸ばせますよね(∵選択公理)。
勿論,lim_{k→∞}b_k=aとなりますね。

そこで本題ですが,

{a}∪(∪_{j=1..∞}γ(b_j,b_{j+1}))はb_1を始点としaを終点とする連続曲線γ(b_1,a)が採れると思います。

その際,Γ:[0,1]→γ(b_1,a)はという媒介変数t∈[0,1]を用いたb_1を始点としaを終点とする連続曲線ですよね?
 

Re:Re:orelとLebesgueの包含関係は?

 投稿者:たまり  投稿日:2017年 3月 1日(水)10時26分5秒
  ご回答誠に有難うございます。Lebesgueσ集合体はBorelσ集合を完備化したものという定義を見かけましたのでつい拡張された概念かと思い込んでしまいました。  

ありがとうございました

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 2月28日(火)14時05分9秒
  かたつむり先生
ご指導ありがとうございました。見直しを繰り返して理解を深めていきます。
 

Re:orelとLebesgueの包含関係は?

 投稿者:南海  投稿日:2017年 2月28日(火)13時26分1秒
編集済
  私の考えですが,数学の体系と,概念の歴史的な発展とが混同されているのではないでしょうか.

Borel集合は,Lebesgeu測度の概念より先にありました.Lebesgeu可測の概念ができたときに,Borel集合は,Lebesgeu可測であることもわかりました.ただそのことは,

>Lebesgueσ集合体はBorelσ集合体を一般化した概念かと思います。
といえるかどうかわかりません.Lebesgeu測度は,ジョルダン測度の一般化と考えられ,リーマン積分の一般化です.

>Lebesgueσ集合体はBorelσ集合体の特殊な概念かと思います
新しい概念が生まれ,それによって定義されたものが,それ以前のものはそれを用いないで定義されることを理由に,その古い方が一般的に定義されているとは言えません.

連続の公理のもとに構成された実数は連続の公理なしに構成できる自然数を特殊化した,とは言えないのではないでしょうか.
 

BorelとLebesgueの包含関係は?

 投稿者:たまり  投稿日:2017年 2月27日(月)23時58分23秒
  Ωを全体集合とする。

Borelσ集合体とLebesgueσ集合体の関係について疑問が有ります。

Borelσ集合体B(Ω)の定義は"Ωを含む最小のσ集合体"をBorelσ集合体と呼ぶのだと思います。
そして,
Lebesgeulσ集合体の定義は,μを測度とし,N_μ:={E∈2^Ω;E⊂∃F∈B(Ω)}について,B(Ω)∪N_μをLebesgeuσ集合体と呼ぶのだと思います。

その時,
Borel集合⇒Lebesgue集合
という関係が有りますよね。一般に逆は成立ちませんよね。

よってLebesgueσ集合体はBorelσ集合体を一般化した概念かと思います。

然しながら,
Lebesgueσ集合体はBorelσ集合体とは異なり定義に測度の概念を必要としますので,
Lebesgueσ集合体はBorelσ集合体の特殊な概念かと思います
(つまり,Borelσ集合体はLebesgueσ集合体を一般化した概念)。

となってしまいどっちつかずになって困ってます。

どのように考えればいいのでしょうか?
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 2月27日(月)21時10分54秒
  ご指摘有り難うございます。OCRでとったので、エルになってしまいました。
明日中に直しておきます。
 

東大理科4番の誤植

 投稿者:IT  投稿日:2017年 2月27日(月)19時42分43秒
編集済
  2017年 東大理科4番(2)の問題と解答に al(エル) とあるのはa1 が正しいのではないでしょうか?  

ζ関数と約数関数

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 2月27日(月)08時14分21秒
編集済
  以下,「収束」や「和の順序交換」に関する議論は省略します.まず,
  ζ(s)ζ(s-a)ζ(s-b)ζ(s-a-b)/ζ(2s-a-b)
    =Π{すべての素数pにわたる積}(1-p^{-2s+a+b})/((1-p^{-s})(1-p^{-s+a})(1-p^{-s+b})(1-p^{-s+a+b})). ・・・(★)

(★)の右辺を書き換えるために,私は次の等式を導きました:
  (1-abx^2)/((1-x)(1-ax)(1-bx)(1-abx))=Σ{n:from 0 to ∞}(1+a+a^2+・・・+a^n)(1+b+b^2+・・・+b^n)x^n. ・・・(*)
ここで,(*)におけるa,bは(★)のa,bとは無関係です.
(*)の左辺を部分分数展開し,各項を無限等比級数で表せば証明できます.右辺を書き換えて導くこともできます.

(*)のa,b,xをそれぞれ p^a, p^b, p^{-s} で置き換えて(★)の右辺を書き換えると,
σ_a(n)σ_b(n) の形が浮かび上がります.
 

(無題)

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 2月26日(日)13時42分38秒
  かたつむり先生書き込みありがとうございます。
ずっと考えていて、私の勘違いだと思いますが、無限積で表してからの次の式変形からストップしています。テキストをまねてやってるのですが・・。
 

(無題)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 2月25日(土)11時36分59秒
  >ζ(s)ζ(s-a)ζ(s-b)ζ(s-a-b)/ζ(2s-a-b)です。
これを,素数に関する無限積で表したと思いますが,行き詰まったのはどの段階ですか?
 

(無題)

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 2月25日(土)11時06分21秒
  すみませんζ(s)ζ(s-a)ζ(s-b)ζ(s-a-b)/ζ(2s-a-b)です。  

(無題)

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 2月25日(土)10時48分58秒
  >ζ(s)ζ(s-a)ζ(s-b)ζ(s-a-b)=Σ(Σの下がn=1,上が∞)σa(n)σb(n)/nのs乗

左辺を書き間違えていませんか?
 

数論入門

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 2月24日(金)23時14分1秒
  説明が足らずすみませんでした。
σa(n) の定義はnのすべての約数のa乗の和です。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 2月24日(金)22時50分33秒
  私はその本はもっていないのです。σa(n) の定義は何ですか。  

数論入門

 投稿者:高校生メール  投稿日:2017年 2月24日(金)17時06分17秒
  ハーデイー/ライトの数論入門Ⅰ(2003年4月初版)を読んでいる高校生です。
第17章数論的関数の母関数の定理305
s,s-a, s-b,s-a-bがすべて1より大きいならば
ζ(s)ζ(s-a)ζ(s-b)ζ(s-a-b)=Σ(Σの下がn=1,上が∞)σa(n)σb(n)/nのs乗
の証明がどうしてもできません。σa(n)σb(n)のa,bは右下にくる小さい文字です。
ご指導お願いします。
 

ラミーの定理について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 2月20日(月)21時30分45秒
  問題を作っていただけないでしょうか?
すみません。
 

2次体の整数論

 投稿者:  投稿日:2017年 2月 9日(木)09時23分20秒
編集済
  かたつむりさん、いろいろと整理して
書いていただいて、ありがとうございます。

書いていただいた命題を考えてみます。
 

2次体の整数論3:イデアルの積の計算

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 2月 5日(日)19時01分23秒
編集済
  1月30日(月)の投稿の〈p.280 [問題3] の方法だけを使う〉の部分の記述に不備がありました.まず
  A^2=(3,-1+√(-65))(3,-1+√(-65))=(9,-3+3√(-65),-64-2√(-65))
     =[9,-3+3√(-65),-64-2√(-65),9√(-65),(-3+3√(-65))√(-65),(-1-2√(-65))√(-65)]
とするべきでした.先の私の計算で正しい結果が得られた(得られてしまった!)のは,下記の【命題3】によります.

この機会に,イデアルの積を具体的に計算するときに拠り所となる命題を整理しておきます.
以下,2次体Q(√(m))について,[1,ω] を整数環の底とします.『初等整数論講義』の関連する問題を付記しました.

【命題1】p.280 [問題1],[問題3].
(α_1,α_2,...,α_k)=[α_1,α_2,...,α_k, ωα_1,ωα_2,...,ωα_k].

【命題2】p.280 [問題3].
kを任意の有理整数とする.
  [α,β,...,γ]=[α,β+kα,...,γ],  [α,β,...,γ]=[-α,β,...,γ].

【命題3】p.280 [問題1],[問題3].
イデアルI=[a,r+ω], J=[b,s+ω] について,IJ=[ab,b(r+ω),a(s+ω),(r+ω)(s+ω)].

(証明)IJ=(ab,b(r+ω),a(s+ω),(r+ω)(s+ω))
          =[ab,b(r+ω),a(s+ω),(r+ω)(s+ω),abω,b(r+ω)ω,a(s+ω)ω,(r+ω)(s+ω)ω]. ・・・(*)
ここで,[a,r+ω] がイデアルを成すことにより,
    aω=ia+j(r+ω), (r+ω)ω=ka+l(r+ω)   (i,j,k,l は有理整数)
と表されるので,(*) の5,6番目は
    abω=iab+jb(r+ω), b(r+ω)ω=kab+lb(r+ω)
のように,(*) の1~4番目の有理整数倍の和で表される.(*) の7,8番目についても「同様」であるから,
    IJ=[ab,b(r+ω),a(s+ω),(r+ω)(s+ω)].

【命題4】p.326 [問題1].
イデアル J=[a_1 a_2,r+ω] に対し,[a_1,r+ω], [a_2,r+ω] はイデアルを成し,それぞれを J_1, J_2 とすると,
   J_1 J_2=J
が成り立つ.

【命題5】p.326 [問題2].
イデアル J_1=[a_1,r_1+ω], J_2=[a_2,r_2+ω] において a_1,a_2 が互いに素であるとき,
   r≡r_1 (mod a_1),  r≡r_2 (mod a_2)
なる r が存在し,
   J_1 J_2=[a_1,r+ω][a_2,r+ω]=[a_1 a_2,r+ω]
となる.
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2017年 1月30日(月)19時36分55秒
編集済
  書いていただいた内容をゆっくり
考えてみます。

丁寧に書いていただいているので大変参考になります。何とか
P348までと頑張っていたのですが、標準基底の掛け算で挫折を味わい
心が折れていた状態です。

かたつむりさんのおかげで、やる気がわいてきました。
ありがとうございます。感謝、感謝です。
 

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