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散歩のとき

 投稿者:  投稿日:2016年 9月18日(日)09時44分59秒
  かたつむりさん、南海先生、ありがとうございます。

その日読んだ中で、わからなかったことを夜、散歩のときに
自分なりに考えてみることがあります。体も使っているせいか
パーと気づくことがあります。

しかし、自分には、粘りに欠ける点があるのでなかなか
かたつむりさんのいうレベルまで持って行けていないのが現状です。

ノートでまとめて、その後、理解が不足している場合は、わら半紙にその
内容をもう一度、理解しながら、書いていくのですが、なかなか内容が
定着していない部分があります。

今努力しているのは、わからないところをほったらかしにしないで
徹底的にわかるようにするということをしています。

わからないところに付箋を貼り、わかれば、ノートの欄外に書き
どうしてもわからないところは、質問させていただいています。

今年中に何とかこの本を読み切るのが私の目標です。
かたつむりさん、南海先生、今後とも
よろしくお願いします。
 

自分の言葉で語る

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月17日(土)22時01分8秒
  私は、いちどは数学の勉強をやめていたのですが,25年ほど前に高校生に教えるようになって,高校数学の背景となるいろんなことを,もういちど勉強はじめました.
数学対話』は,その過程で自分で語り直そうとした記録です.いろいろ勉強すると,高校生のときの自分が今の自分に,もっとわかるように言ってくれと,言うのです.それで,昔の自分に今の自分が語って聞かせた記録です.『数論初歩』,『解析基礎』,『幾何学の精神』等は,まさに再構成した記録です.こういうふうに書いてゆくことで,理解が深まります.ほんの少しですが,一般化できているところもあります.
ですから,自分の内側で,あれやこれやと対話することが大切です.そうすると,夢にまで出てきて,明け方に目が覚めたときに,「あっ」とわかると言うことも起こります.そういう「わかった」という経験を,ぜひ積んでください.
 

数学の本を読むとき

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月17日(土)20時58分50秒
  数学の本を読むとき,「自分の言葉で解説できる」段階まで達しないと,その時は理解したつもりでも,
結局,読まなかったことと同じになります.
(自戒を込めて記しています.)
何冊読んでもザルで水をすくっているようなものです.
(2番目の文は,河東泰之氏の http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/grad.htm からお借りしました.)

「自分の言葉で解説できる」は,南海先生がおっしゃる「自ら再構成する」に通じると思います.
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月17日(土)15時34分41秒
編集済
  なるほど、p≡1(mod 3)
なる条件があるので、p=2は、自然に除外されることになるのですね。
そうすれば、私の書いたので、良い、ということになりますね。

かたつむりさん、ありがとうございます。

英単語でも、知っていると、使いこなせるは、別のものです。
私自身、そのレベルへの移行がかなり時間のかかる人間です。
今は、まず、はいつくばっても、内容を理解するを第一に考えています。

それができたら、かたつむりさんの「自分の言葉で説明できる」を目指します。
 

初等整数論講義 §39 -2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月17日(土)12時21分56秒
編集済
  >p=2のとき、そうはいくのかな?
p≡1 (mod 3)


>人に説明できるか? と問われたら、そこまで自分のものになっていないのが実情です。
>アップ、アップして何とか理解できたというのが、正しいと思います。

局所的な理解を積み重ねるだけでは不十分です.
やはり「自分の言葉で解説できる」ところまでいかないと「数学の本を読んだ」ことになりません.
このことは,大学などで「輪講」を経験した人には,うなずいてもらえると思います.
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月17日(土)10時42分7秒
編集済
  まず、x^4+y^4=z^4の不可能性の証明に関しては
帰納法の中に、対偶を使って証明をしていることに
驚きましたし、一つ一つを理解していくのにたいへんヘビーな
内容でしたがノートで、計算や行間を埋める努力で何とかできました。
焦らず、あきらめずの精神でやりましたが、人に説明できるか?
と問われたら、そこまで自分のものになっていないのが実情です。

アップ、アップして何とか理解できたというのが、正しいと思います。

さて、P261の質問の書いていただいた内容に関して
ていねいに書いていただいた内容全部理解できます。
ありがとうございました。

P258の注意は理解できているのですが、自分はうまく使いこなす
レベルになっていなかったということがわかりました。

かたつむりさんが書いていただいた内容を見ると,計算中に

λ~√-3をうまく使って、λ・bar{λ}=3やλ=bar{ω}√-3
などお、巧みに使えています。私にはそれが自分のものになっていませんでした。
こんなに丁寧に、詳しく書いて感謝します。ノートに内容を書き留めさせていただきます。

次に、P259の質問ですが、
 2r≡0(mod p)
から r≡0(modp)
ですが、pが奇素数ならば2と互いに素なのでこの場合は良いのですが
p=2のとき、そうはいくのかな?
平方剰余の話、上で出ているのでp=2の場合は、このとき、除外して考えての良いのかな?
と自分に確信が持てないのです。ご教授をお願いします
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月17日(土)09時36分42秒
  取り急ぎ、かたつむりさん、ありがとうございます。
書いていただいた内容を自分なりに理解してみますので
今一度、少々時間をください。

その後、返事をしますのでよろしくお願いします。
 

初等整数論講義 §39

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月16日(金)20時15分24秒
  ずいぶん速く読み進めていますね.
老婆心ながら,先日の§38「x^4+y^4=z^4 に関する定理」の理解は万全ですか.あの凄い証明を味わい尽くしましたか.
p.253~p.255には「行間を埋めるべき微妙な箇所」が多数あったと思います.
§38に限りませんが,「本やノートを見ずに他人に詳しく解説できるかどうか」(を想像してみること)で,
自分の理解度をチェックできると思います.
-------------------------
p.261 の質問.
>ε(たぶんξの間違い)が√-3で割れないならば(P258注意)
>    ±ξ=1+η√-3
>とありますが、なぜこのような形であらわせれるのかわかりません。
つまり,p.258〔注意〕が理解できないということでしょうか?

   ξ=x-yω が√(-3) で割り切れない(即ちλ=1-ωで割り切れない)ときには,
   x-y≡±1 (mod 3)
   であるから,
     ξ=x-yω=(x-y)+y(1-ω)=(x-y)+yλ=(±1+3a)+yλ  (aは有理整数)
        =±1+aλ bar{λ}+yλ=±1+λ(a bar{λ}+y)     (bar{λ} はλの共役)
    =±1+λη                  (η=a bar{λ}+y は K(√(-3)) の整数)
    =±1+bar{ω}√(-3) η
        =±1+ζ√(-3)                           (ζ=bar{ω}η は K(√(-3)) の整数)
    と表される.
-------------------------
p.259 の質問.
>たぶんここがダメと思う
そう思う理由は?
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月16日(金)11時15分59秒
  すみません、一つ質問させてください。
P261上から10行目

ε(たぶんξの間違い)が√-3で割れないならば(P258注意)

   ±ξ=1+η√-3

とありますが、なぜこのような形であらわせれるのかわかりません。

もちろんλ~√-3は注意から理解しています。
さらに、P258問題1

ξ=x-yωがλ(すなわち√-3)で割り切れるのはx≡y(mod3)

を使うのはわかりますが、自分でいろいろやっても、上の形
にたどり着けません。具体的に、どう計算して上の形になるのでしょうか?



 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月16日(金)10時38分52秒
  P259の下から9行目

(r-√-3)+(r+√-3)=2rは、(4)から見えるように、p
で割り切れない(pは3以外)。

 cf.(4) r^2≡-3(mod p)

は、なぜ割り切れないのでしょうか?

自分なりに考えたのは、もし2rがpで割り切れるならば

2r≡0(mod p)
したがって、r≡0(mod p) (たぶんここがダメと思う)
r^2≡0^2(mod p)
r^2≡0(mod p)となり(4)に反する。

よろしくお願いします。






 

re:解析函数のリーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月15日(木)14時22分34秒
  かたつむり様 補足ありがとうございます.
手元に田村先生の本がなく,立ち読みの記憶で書いていますので,正確ではありませんでした.
 

解析函数のリーマン面

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月15日(木)10時54分56秒
編集済
  いくつか気づいたことを記します.
私の手元にある『解析函数(田村二郎)』は「旧版」なので,食い違いがあった場合は御容赦願います.

(1) >A_1×A_2×…×A_n(×…)の元をベクトル (n≧2),A_1の元をスカラーと呼びます。

ベクトルとは線型空間の元のことです.単なる集合の(2個以上の)直積の元をベクトルとは呼びません.
あるものを「ベクトル」と呼ぶのであれば,あらかじめ線型空間を定めておく必要があります.
また,「スカラー」とは(通常)「線型空間の係数体の元」を意味します.

(2) >射影をpr_{ψ_λ}\bf{z}:=ψ_λ(z)と定義してやれば,\bf{z}=pr_{ψ_λ}^-1(ψ_λ(z))と書けるのですね。

本書(旧版)における「射影 p」は ∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ から \bar{C} への写像です.
これとは別に「λに依存する射影 pr_{ψ_λ}:∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ → \bar{C}_λ」を定義する必要・必然性はありません.

(3) >そして,φ≠D,E⊂\bar{C}をD∩E≠φなる2つの領域,f_D:D→\bar{C},f_E:E→\bar{C}を共に有理形関数,
    >S:=\bf{D}_ψ∪\bf{E}_ωを関数f_Dの(若しくは関数f_Eの)リーマン面と呼ぶ。

話の出発点である解析函数 f とその枝 f_λ (λ∈Λ) はどこに行ってしまったのか.
ここでの目標は「解析函数 f のリーマン面」を定義することだったと思います.

(4) >(∞≠)a∈D∩Eにてf_D(a)=f_E(a)となるような点z=aでf_D,f_Eは正則関数とする時

「旧版」では∞を含めて考えています.(そうしないとリーマン球面 \bar{C} を導入した意味がありません.)
また「旧版」では,「2つの有理型函数 f_λ,f_μ が点aにおいて同値 f_λ~f_μ (a)」という概念に基づいて
「貼り合わせ」を定義しています.その方が自然です.というか,この概念は必須です.
【追記】ここで正則函数に限定すると「解析函数のリーマン面」の定義に到達することは不可能です.


なお,本書の記述は十分に「厳密」です.

 

Re: リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月15日(木)09時07分13秒
編集済
  > スカラーとは何ですか?
スカラーの意味ではなく,本書の中で意味のある言葉か? という問いかけです.
「張」は「貼」の方ですね.
pr_{ψ_λ}^-1(ψ_λ(z))とありますが,射影は多:一ですので,逆射影はありません.
「有理形関数」は「有理型関数」ですね.f_Dなどが有理型関数でいいのかどうか,もういちど本で確認してください.

いずれにしても,こういう本を読むときは,理論体系を自分で再構成してみるつもりでノートをとりながら読んでください.
 

Re: リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月15日(木)07時03分5秒
  有難うございます。

> 自分の先入観というか,

別に先入観など持ってるつもりはなく,(記号的に)矛盾なく理解できるように努めた次第です。

> スカラーとは何ですか?

直積集合Π_{λ∈Λ}A_λ (A_λは集合,2≦#Λ)の元をベクトル(Λが非可算の時は他に呼び方があるのかもしれませんが)と呼ぶのに対して,#Λ=1の時の直積集合の元をスカラーと呼んでました。
例えば
A_1×A_2×…×A_n(×…)の元をベクトル (n≧2),A_1の元をスカラーと呼びます。

> 射影も,重ねられた∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元に対し,それに対応する\bar{C}をとるという意味です

つまり, '重ねられ'という語句からψ_λ:\bar{C}→\bar{C}_λを解析同型写像とすると,点z∈\bar{C}に於いて,
\bf{z}_ψ:=∪_{λ∈Λ}{ψ_λ(z)}⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λと定義してあるのですね。
そして,射影をpr_{ψ_λ}\bf{z}:=ψ_λ(z)と定義してやれば,\bf{z}=pr_{ψ_λ}^-1(ψ_λ(z))と書けるのですね。

更に,領域φ≠D⊂\bar{C}に対して,\bf{D}_ψ:=∪_{λ∈Λ}ψ_λ(D)と定義するのですね。

そして,φ≠D,E⊂\bar{C}をD∩E≠φなる2つの領域,f_D:D→\bar{C},f_E:E→\bar{C}を共に有理形関数,
かつ(∞≠)a∈D∩Eにてf_D(a)=f_E(a)となるような点z=aでf_D,f_Eは正則関数とする時,
\bf{D}_ψ,\bf{E}_ω⊂∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λ (ここでω_λ:\bar{C}→\bar{C}_λも解析同型写像とする) 夫々からの元,
\bf{a}_ψ∈\bf{D}_ψ,\bf{a}_ω∈\bf{E}_ωを同一視する。つまり,\bf{a}_ψ=g(\bf{a}_ω)なる解析同型写像g:\bf{D}_ψ→\bf{E}_ωが存在する時,
\bf{D}_ψと\bf{E}_ωとは'張りされる'と言い,S:=\bf{D}_ψ∪\bf{E}_ωを関数f_Dの(若しくは関数f_Eの)リーマン面と呼ぶ。

と厳密に記述してみたのですがこれで正しいでしょうか?
 

Re: リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月12日(月)23時48分43秒
編集済
  こういう古典的な本では,自分の先入観とか,「気がする」というのも横において,それまでの記号の理解で判断しないで,どのように定義されているかを,直接読み取らねばなりません.
>∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元は飽く迄スカラーですよね?
スカラーとは何ですか? 本書では定義されていない言葉ですね.∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元はあくまで\bar{C}_λのどれかの上にある複素数です.
射影も,重ねられた∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元に対し,それに対応する\bar{C}をとるという意味です.
>変な気がするのですが。
>記号が矛盾してると思う
それは先入観と違うのでそう思うだけで,本書ではすべて一から定義されており,矛盾はありません.
 

Re: リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月12日(月)22時34分3秒
  有難うございます。

> 直積ではありません.直積にすると次元があがります

えっ? そうしますと\bf{z}をベクトルっぽく太字で表記したり,射影とかいう言葉が登場するのは変な気がするのですが。。

∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの元は飽く迄スカラーですよね?

なんだか記号が矛盾してると思うのですが。。
 

初等整数論講義

 投稿者:  投稿日:2016年 9月12日(月)20時38分55秒
  かたつむりさん、ありがとうございました。

①ξ=(2n+1)+2mi=1+2(n+mi)   (nとmは有理整数)

  ここでη=n+miとおくとξ=1+2η

 もう一つのほうも
 ξ=2n+(2m+1)i=i+2(n+mi)
  ここでもη=n+miとおくとξ=i+2η

納得しました。

②対偶は、私の間違いです。かたつむりさんの書いていただいた
下3行の通りです。2乗では、割り切れないのがわかりました。

自分の浅学がよくわかりました。かたつむりさん、親切に、ていねいに
ありがとうございました

 

初等整数論講義 p.253

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 9月12日(月)19時58分6秒
 
>3行目にある ξ=1+2η または ξ=i+2η
>と書いてますが前のものは 1+2ηiが正しくて、iが抜けているのですよね。
違います.ξ=1+2η です.

>ηは有理整数を表しているんですね。
違います.ηは複素整数を表しています.

ここで著者は「1-i で割り切れない複素整数 ξ=x+yi については,x,y の一方が奇数で他方が偶数であるから,
 xが奇数でyが偶数なら ξ=1+2η(ηは複素整数)と表され,
  yが奇数でxが偶数なら ξ=i+2η(ηは複素整数)と表される」
と言っているのです.理由は簡単です.
愛さんの解釈では,x=1 あるいは y=1 の場合しか考えていないことになりませんか.


>上文の対偶からγはλで割り切れる。
この文の意味が理解できません.御説明願います.

「γはλの一乗だけで割り切れる」は (5) から直ちに導かれることです.
 γ^2≡2 (mod 8) により,γ^2 は 2=i(λ^2) で割り切れるので,γはλ=1-i で割り切れる.
 γ^2≡2 (mod 8) により,γ^2 は 4 で割り切れないので,γは 2=i(λ^2) で割り切れない.
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月12日(月)11時39分0秒
  P253の証明中で

① 3行目にある ξ=1+2η または ξ=i+2η
  と書いてますが前のものは 1+2ηiが正しくて、iが抜けているのですよね。
  さらに、ηは、ギリシャ文字ですがここでは、ηは有理整数を表しているんですね。

②同じP253の真ん中あたりに、γはλの一乗だけで割り切れるから
 とありますが、まず
 1乗で割り切れるのは、(5)のγ^2≡2(mod8)であるからγ^4≡4(mod8)
 上文の対偶からγはλで割り切れる。

と考えるのですが、しかし、γはλ^2では、割り切れないのでしょうか。

よろしくお願いします。
 

Re: リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月12日(月)09時44分53秒
編集済
  >『Π_{λ∈Λ}\bar{C}_λの点を\bf{z}で表そう(Πは直積集合を表す)』と書くべきだと思いますが,この解釈で正しいでしょうか
直積ではありません.直積にすると次元があがります.ここはあくまで複素1次元の複素平面の和集合です.それを規約によって貼り合わせてゆくのです.こうして得られるリーマン面はあくまで1次元の複素多様体です.

最後の解釈はほぼ正しいと思います.ただ,
>同相写像g
は違います.gもg^{-1}も解析的な,解析同型写像です.「同相」というと位相同型ですが,ここはそれよりずっと強く解析同型でなければなりません.
 

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