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Re: リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月12日(月)04時52分17秒
  ご回答誠に有難うございます。

> \bar{C}_λ∩\bar{C}_μ で何を意味されているのでしょうか。

和集合が出てきたのでつい各\bar{C}_λの互いの関係はどうなってるのかとおもってしまいました。

なかなかこの本の説明が曖昧に感じるので自分なりに厳密に何とか解釈できるよう試みました。

厳密には集合的には\bar{C}と\bar{C}_λと\bar{C}_μ (λ≠μ)はどれも互いに素ですが,\bar{C}≡\bar{C}_λ≡\bar{C}_μ (≡は位相同形の意味) という関係なのですね。

更にφ≠D⊂\bar{C}なら,Dから\bar{C}_λ(for∀λ∈Λ)への埋込みψ_λ(つまりD≡ψ_λ(D))が存在すると言えるのですね。

『∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの点を\bf{z}と表そう』とはボールド体でzを表記してあるし,その直後に射影が登場してるので\bf{z}はベクトルの事だと思います(ここでΛは高々可算とは限らないので'ベクトル'という呼び方が適切かどうかはさておき)。
つまり,『Π_{λ∈Λ}\bar{C}_λの点を\bf{z}で表そう(Πは直積集合を表す)』と書くべきだと思いますが,この解釈で正しいでしょうか(∪_{λ∈Λ}\bar{C}_λの点はどうあがいてもベクトルにはなりませんから)?

そして,D_⊂\bar{C}から\bar{C}_λへの埋込みをψ_λで表す事にすれば
\bf{z}=(ψ_λ(z))_{λ∈Λ}∈Π_{λ∈Λ}ψ_λ(D)⊂Π_{λ∈Λ}\bar{C}_λという関係になってるのですね。

そして, pr_{ψ_λ}(\bf{z}):=ψ_λ(z)と定め,
φ≠D⊂\bar{C}に対して,\bf{D}:=pr_{ψ_λ}^{-1}(ψ_λ(D))⊂Π_{λ∈Λ}\bar{C}_λで\bf{D}を定めるのですね。

『これまでのところ\bar{D}_λは互いに交わらない領域ではあるが』とありますが
『これまでのところ\bar{D}と\bar{D}~は\bf{D}:=pr_{ψ_λ}^{-1}(ψ_λ(D))と\bf{D}~:=pr_{ψ~_λ}^{-1}(ψ~_λ(D))という,'∃λ∈Λ;ψ_λ≠ψ~_λなるψ_λ及びψ~_λはDから\bar{C}_λへの埋込み'があれば\bar{D}と\bar{D}~とは互いに交わらない領域ではあるが』…(ア)
という意味ですか?

規約については単純に2つの領域φ≠D,E⊂\bar{C}で書かせて戴きますと,
もしf_D:D→\bar{C},f_E:E→\bar{C}が(∞≠)a∈D∩Eにて同じ関数要素を持つなら(有理形関数f_Dとf_Eがf_D(a)=f_E(a)∈Cなら),
(ψ_λ(a))_{λ∈Λ}∈\bf{D}:=Π_{λ∈Λ}ψ_λ(D)と(ψ~_λ(a))_{λ∈Λ}∈\bf{E}:=Π_{λ∈Λ}ψ~_λ(E)とを同一視する
(ここで,任意のλ∈Λに対して,ψ_λ:D→\bar{C}_λ,ψ~_λ:E→\bar{C}_λは埋込み)。

つまり,g((ψ_λ(a))_{λ∈Λ})=g((ψ~_λ(a))_{λ∈Λ)なる\bf{D}から\bf{E}への同相写像gが存在するという意味なのですね。

そして,S:=∪_{λ∈Λ}\bf{D}_λ (ここで各\bf{D}_λは(ア)の様に仮定されている) を有理形関数f_D(若しくはf_E)のリーマン面という。

と結論づいたのですがこのような解釈で正しいでしょうか?
 

Re: リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月 8日(木)09時32分25秒
編集済
  >\bar{C}_λ∩\bar{C}_μ=φの右辺は何になるのでしょうか?
立ち読みしただけだったので、こちらの言い方が不十分でしたが、Cieraさんは \bar{C}_λ∩\bar{C}_μ で何を意味されているのでしょうか。
分岐の数だけ\bar{C}を集めた段階なので、\bar{C}_λ∩\bar{C}_μには意味がないように思われます。

大切なことは右のページに書いてあるD_λ,D_μ の貼り合わせの規約と、それによって構成されるリーマン面Sの定義です。これによって\bar{C}_λと\bar{C}_μのD_λ∩D_μに対応する部分集合が同一視されます。その意味で、\bar{C}_λ∩\bar{C}_μ≠φです。

それと、リーマン面はあくまで解析関数を一意化するものであって、解析関数が先にあり、出来上がったリーマン面は解析関数によって異なるということです。
 

Re: リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月 8日(木)02時17分19秒
  有難うございます。

> 等号ではありません.
>>λ≠μなら\bar{C}_λ∩\bar{C}_μ=φ
> も正しくありません.

そうしますと,λ≠μなら\bar{C}_λ∩\bar{C}_μ=φの右辺は何になるのでしょうか?
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月 7日(水)13時40分20秒
  さっそく、南海先生、お返事ありがとうございます。

指摘していただいたP249下半分を読みましたが、読解力
がないのか、あまりすっきりとしませんが、下から9行目

 aは4n+3の形の素因数qを有するとすれば・・・矛盾するのでダメ(理解できる)

 aが4n+1の形の素数pをちょうどh個含むとすれば・・・(この部分の理解が不足か)

この理解不足の下5行を考えてみます。なんとなくわかる気がするのですが・・・

次に、2乗の件、書いていただいた文章で理解できます。うまく、互いに素をここで
使っているのですね。ありがとうございます。






 

Re:初等整数論講義(高木)

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月 7日(水)09時49分34秒
  > また、x+yiとx-yiとは互いに素でなければならない。
ここはp249  下半分で示されているところではないでしょうか.
> x+yi=ε(m+ni)^2,x-yi=¥bar(ε)(m-ni)^2
x+yiとx-yiの積がz^2で平方数であり,互いに素なので,単数分を除けばいずれも平方数である.
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月 7日(水)06時20分36秒
  南海先生、ありがとうございます。
参考に、示されたものを見てみます。
本をごらんになって、アドバイスをお願いいたします。
 

Re:初等整数論講義(高木)

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月 6日(火)23時26分35秒
  (x,y,z)=1の正の整数解については
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuronintro/node11.html
にあります.『初等整数論講義』とは証明の道筋が違うのですが,参考にしてください.
『初等整数論講義』は近日中に見てみます.
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2016年 9月 6日(火)22時42分43秒
  P251 問題2 X^2+y^2=z^2,(x,y)=1の正の整数解は
    x、y=m^2-n^2,2mn ;z=m^2+n^2
ただし、(m,n)=1,m>n>0 またm,nのうち一つは奇数一つは偶数である。

解 (x,y)=1なる制限のもとでは、zは2で割り切れてはいけない。
  (もし、zが2で割り切れると z^2が4で割り切れてしまい素因数2を2個含むことに  なるので 定理4.3からダメなのは理解できます)

また、x+yiとx-yiとは互いに素でなければならない。(理解できない)
(たぶん、Z[i]での互いに素とは思うのですが、いまひとつなぜ互いに素なのかわからない)

よって
 x+yi=ε(m+ni)^2,x-yi=¥bar(ε)(m-ni)^2
(なぜ、この形にいきなりかけるのかわからない、特に2乗の形になぜかけるのかがわからない)

よろしくお願いします




 

Re: リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月 6日(火)09時37分52秒
  解析関数(新版)/田村二郎著を見ました.ここにあるのは解析関数のリーマン面の定義そのものです.
解析関数は,解析接続してゆけば,例えば特異点のまわりを回るたびに値が動いてゆくので,\bar{C}上の関数としては多価関数です.それでその分岐の値に応じて別の\bar{C}を用意し,それをつなぎ合わせることで,この関数が1価関数となる集合をつくります.それがリーマン面です.
>\bar{C}=∪_{λ∈Λ}\bar{C}_{λ}
∪_{λ∈Λ}\bar{C}_{λ}は,多価の値だけ\bar{C}_{λ}を用意し,それをあわせたものです.
それを射影すると\bar{C}になるということで,等号ではありません.
>λ≠μなら\bar{C}_λ∩\bar{C}_μ=φ
も正しくありません.
リーマン面は\bar{C}上の関数から飛躍するもっとも大切なところなので,くりかえし考えてみて下さい.
 

Re: リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月 5日(月)08時38分12秒
  次にわからないのは
\bar{C}=∪_{λ∈Λ}\bar{C}_{λ}
です.左辺のCはリーマン面の間違い?
今日神戸に出るので本屋にいってみます.
 

Re: リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月 5日(月)02時23分12秒
  >その場合,\bar{C}_{λ}は番号づけられた拡大複素平面ですか

はい,さようです。
 

Re: リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月 4日(日)06時59分11秒
  >いえ,拡大複素平面の意味です。\bar{C}:=C∪{∞}.
これは了解です。
その場合,\bar{C}_{λ}は番号づけられた拡大複素平面ですか。
 

Re: リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月 4日(日)05時12分27秒
  > \bar{C}は,開集合Cの閉包の意味ですね?

いえ,拡大複素平面の意味です。\bar{C}:=C∪{∞}.
 

Re: リーマン面

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月 3日(土)14時50分22秒
  手元にある田村先生の本は『リーマン面』(訳書)だけなので確認できませんが、\bar{C}は,開集合Cの閉包の意味ですね?

>p150の"重ねる"の定義が
そこにはどのように書かれていますか?
>∪_{λ∈Λ}\bar{C}_{λ}は\bar{C}=∪_{λ∈Λ}\bar{C}_{λ}で,
これはおかしい表現です。
>もしλ≠μなら\bar{C}_λ∩\bar{C}_μ=φ
これも被覆の定義としてはありえません。

開集合C_λとC_μがそれぞれ座標空間の原点近傍と同相で,C_λ∩C_μにおいて2つの同相写像は解析同値,となっているはずです。
 

リーマン面

 投稿者:Ciera  投稿日:2016年 9月 3日(土)01時01分52秒
  こんにちは。
解析関数(新版)/田村二郎著を読んでます。p150の"重ねる"の定義がいまいち分かりません。∪_{λ∈Λ}\bar{C}_{λ}は
\bar{C}=∪_{λ∈Λ}\bar{C}_{λ}で,もしλ≠μなら\bar{C}_λ∩\bar{C}_μ=φと解釈したのですがこれで正しいでしょうか?
 

Re:曲面の表面積

 投稿者:南海  投稿日:2016年 9月 1日(木)10時00分26秒
  定積分による表面積の計算は,なかなか難しいですね.
それはともかく,質問の点に関しては,
①では+部分と-部分が回転でも重ならないが,②では回転で重なってしまう,ということですね.
 

Re:帰納法の仮定

 投稿者:杏里  投稿日:2016年 9月 1日(木)02時53分47秒
  どうも有難うございます。

> そうではありません.まず,
>  BはΣ_{j=2}^{r+1} A_jx_jというr個の正値n×nエルミート行列の和
> ではなく,
>  B=x_2 A_2+…+x_r A_r    ・・・ (r-1) 個
> です.また,ここでの「帰納法の仮定」は
> 「m次(mは任意の自然数)の(r-1)個の正値エルミート行列 H_2,H_3,...,H_r について,
> |x_2 H_2+x_3 H_3+…+x_r H_r}|∈C[x_2,x_3,...,x_r]
> の係数はすべて正の実数である」
> というものです.

ここでのmはm≦nとかの条件は無く,飽く迄任意の自然数mですね。

> つまり,証明すべき命題を
> 「n次(nは任意の自然数)のr個(rは任意の自然数)の正値エルミート行列 A_1,A_2,...,A_r について,
>  |x_1A_1+x_2A_2+…+x_rA_r|∈C[x_1,x_2,...,x_r]
> の係数はすべて正の実数である」
> と捉え,これをrに関する数学的帰納法で証明しようとしているのです.

そうしますと,

『A_1,A_2,…,A_rをn×n正値エルミート行列とすると,|A_1x_1+A_2x_2+…+A_rx_r|∈C[x_1,x_2,…,x_r]という次数nの同次多項式になりますがその全係数が正実数になる(但し,r∈N,x_1,x_2,…,x_rは実変数)




『任意の自然数nに対してA_1,A_2,…,A_rをn×n正値エルミート行列とすると,|A_1x_1+A_2x_2+…+A_rx_r|∈C[x_1,x_2,…,x_r]という次数nの同次多項式になりますがその全係数が正実数になる(但し,r∈N,x_1,x_2,…,x_rは実変数)』
という事でしょうか。

と捉えるという事なのですね。ふーむ,なぜか違和感が生じてしまいます。上段の命題でのnは固定されてるように感じますが下段の命題は固定されてないのですよね。。
つまり下段の命題が示せれば自動的に上段の命題の正しさが言えるというカラクリなのですね。

> 追記1
> 対象とする正値エルミート行列のサイズを固定して考えてしまうと証明が進みません.

例えば, n=100とかに固定して,
『A_1,A_2,…,A_rを100×100正値エルミート行列とすると,|A_1x_1+A_2x_2+…+A_rx_r|∈C[x_1,x_2,…,x_r]という次数100の同次多項式になりますがその全係数が正実数になる(但し,r∈N,x_1,x_2,…,x_rは実変数)

nを固定した場合は証明は帰納法での証明は難しくなるのですね。
r=1の時は自明で2≦r-1の時,命題成立(|A_1x_1+A_2x_2+…+A_{r-1}x_{r-1}|の全係数は正数)と仮定すると,rの場合は,(100-k)×(100-k)行列の行列式|B(i(1),...,i(k))|の係数が正数だとは帰納法の仮定からはどうしても言えないので,nを固定せずに任意として証明しておいて任意のnで証明できたのだから,n=100の場合も命題は真である事が言える。

> あらゆるサイズの正値エルミート行列を一挙に対象とすることで,帰納法の仮定も強化され,
> スムーズに証明できるというわけです.

なるほどです。

> 追記2
> これも2年前に伺った『Matrix Analysis by Roger A. Horn and Charles R. Johnson』に
> 載っている問題でしょうか? であるとしたら何頁?

はい,Second Editionのp52,p54にあるsum of k-th principal minorsとk-th elementary symmetric functionから今回の問題に考えを膨らましました。
 

曲面の表面積

 投稿者:roxa  投稿日:2016年 8月31日(水)22時50分0秒
  設問1:次の曲線をx軸まわりに回転してできる立体の表面積を求めよ。
(1)x^2+(y-a)^2=r^2(0<r<a)

y=a+-√(r^2-x^2)
S=∫[-r→r]2π(a+√(r^2-x^2)*(r/√(r^2-x^2))*r dx+∫[-r→r]2π(a-√(r^2-x^2)*r/√(r^2-x^2)dx-------①
答えは省略しますが、計算過程はこのようになります。

設問2:次の曲線をx軸のまわりに回転してできる立体の表面積を求めよ。
(1)x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)

y=+-b/a√(a^2-x^2)
S=∫[-a→a]2π・b/a*√(a^2-x^2)・√(a^4-(a^2-b^2)x^2)/(a√(a^2-x^2)dx-------------------②

①ではy=の式のプラスマイナスを考慮して積分の足し算をしていますが、②ではプラスの式だけしか考えていません。①と②の違いは何でしょうか。

よろしければ、ご教授よろしくお願いします。
 

帰納法の仮定

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 8月30日(火)11時27分48秒
編集済
  >この時の帰納法の仮定は|B|(つまり,BはΣ_{j=2}^{r+1} A_jx_jというr個の正値n×nエルミート行列の和)の全係数は正実数
>ということですよね。

そうではありません.まず,
  BはΣ_{j=2}^{r+1} A_jx_jというr個の正値n×nエルミート行列の和
ではなく,
  B=x_2 A_2+…+x_r A_r    ・・・ (r-1) 個
です.また,ここでの「帰納法の仮定」は
「m次(mは任意の自然数)の(r-1)個の正値エルミート行列 H_2,H_3,...,H_r について,
  |x_2 H_2+x_3 H_3+…+x_r H_r}|∈C[x_2,x_3,...,x_r]
 の係数はすべて正の実数である」
というものです.つまり,証明すべき命題を
「n次(nは任意の自然数)のr個(rは任意の自然数)の正値エルミート行列 A_1,A_2,...,A_r について,
  |x_1A_1+x_2A_2+…+x_rA_r|∈C[x_1,x_2,...,x_r]
 の係数はすべて正の実数である」
と捉え,これをrに関する数学的帰納法で証明しようとしているのです.

追記1
対象とする正値エルミート行列のサイズを固定して考えてしまうと証明が進みません.
あらゆるサイズの正値エルミート行列を一挙に対象とすることで,帰納法の仮定も強化され,
スムーズに証明できるというわけです.

追記2
これも2年前に伺った『Matrix Analysis by Roger A. Horn and Charles R. Johnson』に
載っている問題でしょうか? であるとしたら何頁?
 

Re:多項式の係数が正実数になる

 投稿者:杏里  投稿日:2016年 8月30日(火)06時20分5秒
  すみません。だいぶ以前にかたつむり先生からご教示いただいた箇所で未だに不明なところがありますので質問をお許し下さい。

『A_1,A_2,…,A_rをn×n正値エルミート行列とすると,|A_1x_1+A_2x_2+…+A_rx_r|∈C[x_1,x_2,…,x_r]という次数nの同次多項式になりますがその全係数が正実数になる(但し,r∈N,x_1,x_2,…,x_rは実変数)


の証明で下記のようにご回答賜りました。

『8月12日の質問を拝見しました.命題
「A_1,A_2,...,A_rをn次正値エルミート行列とするとき,
  |x_1A_1+x_2A_2+…+x_rA_r|∈C[x_1,x_2,...,x_r]
 の係数はすべて正の実数である.」
については,次の方針で証明できると思います:
【方針】A_1 が対角行列であるとしても一般性を失わないことに注意し,r に関する数学的帰納法を用いる.

先を読み進める前に,これをヒントとして,まず,ご自分で取り組まれることをお勧めします.

以下に,証明の骨子を記します.(他の方々にも批判的に検討して頂けると有り難いです.)
まず,記法の約束をします.A∈M_n(C) に対し,
{1,2,...,n} からのk個の組合せを {i(1),i(2),...,i(k)} とし,
A から i(1),i(2),...,i(k) 行,i(1),i(2),...,i(k) 列を取り除いてできる n-k次の正方行列を
  A(i(1),...,i(k))
と書くことにします.

r=1 の場合は,「正値エルミート行列の行列式は正の実数である」ことにより大丈夫です.

r>1 の場合,A_1 が対角行列であるとしても一般性を失うことはないのでそのように仮定し,
その(i,i)成分を λ_i とおきます.λ_i は正の実数です.そして,
  B=x_2A_2+…+x_rA_r
とおきます.
  |x_1A_1+x_2A_2+…+x_rA_r|=|x_1A_1+B| ……[1]
について,その (x_1)^k の係数(x_2,...,x_r の(n-k)次同次多項式)は
  Σλ_{i(1)}…λ_{i(k)}|B(i(1),...,i(k))| ……[2]
と表されます.Σ は comb(n,k) 個の和です.
行列 A_j(i(1),...,i(k)) (2≦j≦r) は正値エルミート行列であるので,
帰納法の仮定により
  |B(i(1),...,i(k))|=|Σ_{j=2}^{r}x_jA_j(i(1),...,i(k))|(これはx_2,...,x_r の(n-k)次同次多項式)
の係数は正の実数であり,したがって,[2] に現れる
   (x_1)^{k}(x_2)^{m_2}…(x_r)^{m_r}  (m_2+…m_r=n-k)
の係数は正の実数になります.』

の最後辺りで

「帰納法の仮定により
  |B(i(1),...,i(k))|=|Σ_{j=2}^{r}x_jA_j(i(1),...,i(k))|(これはx_2,...,x_r の(n-k)次同次多項式)
の係数は正の実数であり,」

と仰ってますが,この時の帰納法の仮定は|B|(つまり,BはΣ_{j=2}^{r+1} A_jx_jというr個の正値n×nエルミート行列の和_)の全係数は正実数ということですよね。

でも|B(i(1),...,i(k))|のB(i(1),...,i(k))はr個の正値(n-k)×(n-k)エルミート行列の和であって,もともとの帰納法の仮定は大きく異なると感じました。

いかがでしょうか?
 

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