投稿者
 メール
  題名
  内容 入力補助
    
 URL
[ ケータイで使う ] [ BBSティッカー ] [ 書込み通知 ]


Re:像

 投稿者:南海  投稿日:2016年 8月17日(水)01時29分6秒
  像は直線y=2x の一部です。像のx座標の範囲がわかればいいので、k=x+3yとおいて、その範囲を求めます。もとの曲線は0<=x<=24 の範囲の有界曲線ですので、k=x+3yと接するkが分かればわかります。
あるいはxかyを代入で消去し、実数条件から求めることもできるはずです。
計算はまだしていません。
 

Re:Rを含む真の順序拡大体は稠密?

 投稿者:南海  投稿日:2016年 8月17日(水)01時23分1秒
  というより順序体はつねに稠密ではないでしょうか。今旅行中で参考書見られないので、私の勘違いかも知れませが。  

Re:Rを含む真の順序拡大体は稠密?

 投稿者:Imogene  投稿日:2016年 8月16日(火)03時01分4秒
  F:=R∪{…,±1/アレフ_1,±1/アレフ_0,±アレフ_0,±アレフ_1,…}を真の拡大体とすると
…-アレフ_1<-アレフ_0<-r<-1/アレフ_1<-1/アレフ_0<0<1/アレフ_1<1/アレフ_0<r<アレフ_0<アレフ_1<…
(rは任意の正実数)
と書けると思います。
体の定義から
α:=(アレフ_0+アレフ_1)/2もFの元となり,この元は
アレフ_0<α<アレフ_1
という関係にならなくてはいけませんよね。

Fの任意の2元についても間の元が取れるので,Fは稠密。

これで大丈夫でしょうか?
 

英語について。

 投稿者:コルム  投稿日:2016年 8月14日(日)19時23分12秒
  当然ですが、英語の質問はだめですよね?  

 投稿者:i  投稿日:2016年 8月14日(日)10時15分17秒
  曲線 C;4 x^4-24 x^3+81 y^2=0 の
 一次変換 f={{1, 3}, {2, 6}}
による像 f(C) を 求めよ。
 

Rを含む真の順序拡大体は稠密?

 投稿者:Imogene  投稿日:2016年 8月13日(土)10時04分29秒
  こんにちは。

実数体Rを含む真の順序拡大体は稠密と言えますか?
 

(無題)

 投稿者:i  投稿日:2016年 8月 2日(火)23時52分49秒
編集済
  曲線 C; √3x^2+2xy-√3y^2=4をそれ自身にうつすような1次変換を表す行列Aを;
 

Re: 離心率が 1/sqrt{2} の楕円

 投稿者:南海  投稿日:2016年 7月27日(水)13時07分9秒
編集済
  実は今朝、私も曲率を考えました。
(0,-b)での曲率円の中心のy座標が(a^2-b^2)/bとなり、言われるようになりました。
ですから、(1)の場合分けの図形的意味は出るのですが、他の場合を説明することはできていません。
 

離心率が 1/sqrt{2} の楕円

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 7月27日(水)09時15分8秒
  南海先生の考察のお役には立たないかもしれませんが,曲率を考えると
 離心率≦1/sqrt{2} ⇔ 曲率円の中心が楕円の周・内部にある
が成立します.右側は「楕円の縮閉線が楕円の周・内部に含まれる」とも言えます.

【ミス訂正】
先週話題になった「楕円の垂足曲線」の曲率を調べていて,
「頂点に関する垂足曲線」の記述の一部にミスがあることに気づきました.次のように訂正します.申し訳ありません.

7/21
>・b/a=sqrt{2} の場合を境目にして,点(2a,0)の近傍におけるLの「形状(凹凸)」に違いが現れる.
正しくは
・b/a=2 の場合を境目にして,点(2a,0)の近傍におけるLの「形状(凹凸)」に違いが現れる.

7/23
>楕円の,頂点に関する垂足曲線も中心に関する垂足曲線も,(短軸の長さ)/(長軸の長さ)=1/sqrt{2} を境にして形状が一変します.
正しくは
楕円の中心に関する垂足曲線は,(短軸の長さ)/(長軸の長さ)=1/sqrt{2} を境にして形状が一変します.

 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2016年 7月26日(火)14時43分6秒
  楕円C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)がある.焦点をF,F'とする.

(1) 短軸の端点(0,b)とC上の他の点Pとの距離の最大値.
(2) F'を通る直線とCとの交点をP,Qとする.三角形FPQの面積の最大値.
(3) C上の点Pにおける法線がCと交わる他の点をQとする.線分PQの長さの最小値.

これらの結果が、離心率1/sqrt{2}を境に、ということは、短軸の長さと焦点間の距離が等しいときですが、ここを境に場合分けされ、短軸より焦点間の距離の方が小さいとき、円と同様の挙動をする、ということでした。
このことからいくつかのことを、図形的に示すことができないか、考えています。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2016年 7月25日(月)23時08分39秒
  『数学教室の窓から』が来ました.
3つの事例について,離心率1/sqrt{2}を境に様子が変わることについて,
統一した理由があるのかないのか,調べはじめています.
 

今年の東大6番

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 7月24日(日)17時14分17秒
  7/21の投稿〈楕円の垂足曲線4〉と同様の発想で,今年の東大6番に答えられます.
ごく短くまとめられるので,体積計算に入る直前までの解答例を記します.問題文は省略.

Kと{(x,y,z)|z≧1}との共通部分をLとする.
点P(x,y,z) (z>1) に対し,直線CPとxy平面との交点をQとすると,その座標は
 (-x/(z-1),-y/(z-1),0)
である.このとき,次のことが成り立つ:
 P∈L ⇔ PQ≦2
       ⇔ (x+x/(z-1))^2+(y+y/(z-1))^2+z^2≦4
       ⇔ x^2+y^2≦(1-1/z)^2 (4-z^2).  ・・・(*)
平面z=1上の点でLに属するのは C(0,0,1) のみであり,(0,0,1) は(*)を満たすので,
  L={(x,y,z)|x^2+y^2≦(1-1/z)^2 (4-z^2), z≧1}.

xz平面における点Bの軌跡は「ニコメデスのコンコイド」の一部分ですが,この曲線に
入試問題の中で出会うのは,私は初めてで,印象に残る問題でした.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2016年 7月23日(土)08時21分57秒
  「1/sqrt{2} は楕円にとって critical な値である」
そうなのですね。さっそく『数学教室の窓から』を注文しました。
読んでみます。
 

楕円の垂足曲線 6

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 7月23日(土)08時18分8秒
  今回,昔読んだ『数学教室の窓から』(中澤貞治)にあった言葉
  「1/sqrt{2} は楕円にとって critical な値である」
を思い出しました.同書では,
  (短軸の長さ)/(長軸の長さ)=1/sqrt{2}(離心率が 1/sqrt{2} の場合)を境にして状況が一変する
ような問題がいくつか例示されていました.

楕円の,頂点に関する垂足曲線も中心に関する垂足曲線も,(短軸の長さ)/(長軸の長さ)=1/sqrt{2} を境にして
形状が一変します.また,頂点に関する垂足曲線の場合,
  (垂足曲線が囲む図形の面積)/(楕円が囲む図形の面積) が最小となるとき,(短軸の長さ)/(長軸の長さ)=1/sqrt{2} である
が成り立ちます.

ところで,先の投稿〈楕円の垂足曲線5〉は「返答」として記したものではありません.
楕円の垂足曲線を語る際に欠かせない話題として,当初から用意していました.
 

Sさんへ

 投稿者:南海  投稿日:2016年 7月22日(金)20時05分28秒
編集済
  いろんな名前で現われられますが,形が同じなので同じ人とわかります。
十数年来,あなたの投稿スタイルは変わりませんが,「……をしてください」という質問形式は,数学の質問ではありません。
「自分でここまで考えたが,ここがわからない」という形で質問してください。
 

垂足曲線等

 投稿者:S  投稿日:2016年 7月22日(金)14時38分57秒
編集済
  有難う御座いました(私が少しミスをしておりました)

        で 改めて 具体的な問題;

  楕円 x^2+4*y^2=5 へ■自ら定めた点Oが(-(Sqrt[5]/2), 0)のとき
  (1) 垂足曲線c を 求め,それが囲む部分の面積を求めて下さい;

  (2) 更に c の 双対曲線 c^★を 求めて下さい;
  
 

楕円の垂足曲線 5

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 7月22日(金)10時54分29秒
  先に記した方法によって次の結論が得られます.

楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>0,b>0) の原点O(楕円の中心)に関する垂足曲線は
 (x^2+y^2)^2-(ax)^2-(by)^2=0,  (x,y)≠(0,0)
で表される.

楕円 E:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) の焦点F(c,0) に関する垂足曲線は,とりあえず
  (x(x-c)+y^2)^2-a^2(x-c)^2-(by)^2=0,  (x,y)≠(c,0)
で表される.これは
 (y^2+x^2-a^2)(y^2+(x-c)^2)=0,  (x,y)≠(c,0)
と書き換えられるので,結局
 x^2+y^2=a^2
となる.つまり,楕円の焦点に関する垂足曲線は「長軸を直径とする円」になる.
 

垂足曲線

 投稿者:S  投稿日:2016年 7月22日(金)10時10分32秒
編集済
  楕円の垂足曲線 4   投稿者:かたつむり   投稿日:2016年 7月21日(木)08時20分2秒
> 楕円 E:(x-a)^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>0,b>0) の接線に,
  ■自ら定めた点O(楕円E上や内外の点)から下ろした垂線の足の軌跡をLとする.
>・Lは有理曲線.

      HNかたつむり様 ↑ を 有難う御座います。

     Lは有理曲線. は 問題の出所から 自明ですが...

  (1)   ◎  一般に 有理曲線か否かの 判断は 如何なさいますか?

https://www.youtube.com/watch?v=79HK5Yqh-jk
<----- に 遭遇しました。
■自ら定めた点Oが 一つの焦点O=F1 ですが

        軌跡は 正しいでしょうか?

(2)  x^2 + 4*y^2 = 5 として 実際 軌跡を 求めて下さい;
     (4次曲線になりませんか?)

「真摯な質問」ですので 削除なさらないで下さい.

 

楕円の垂足曲線 4

 投稿者:かたつむり  投稿日:2016年 7月21日(木)08時20分2秒
編集済
  媒介変数表示を経ずに,直接,方程式を導く方法を記します.

楕円 E:(x-a)^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>0,b>0) の接線に,原点O(楕円Eの頂点)から下ろした垂線の足の軌跡をLとする.
OはLに属する.原点以外の点 P(X,Y) については,次のことが成り立つ:
 (X,Y)∈L ⇔「P を通りOPに垂直な直線 Xx+Yy=X^2+Y^2 が楕円Eと接する」
      ⇔「直線 X(ax)+Y(by)=X^2+Y^2 が円 (x-1)^2+y^2=1 と接する」
           ⇔ |(X^2+Y^2)-aX|/sqrt{(aX)^2+(bY)^2}=1
           ⇔ (X^2+Y^2)^2-2aX(X^2+Y^2)-(bY)^2=0.
(X,Y)=(0,0) は最後の等式を満たすので,軌跡 L は方程式
    (x^2+y^2)^2-2ax(x^2+y^2)-(by)^2=0
で表される.

・a=b の場合,Lはカージオイド.
・b/a=sqrt{2} の場合を境目にして,点(2a,0)の近傍におけるLの「形状(凹凸)」に違いが現れる.
・Lは有理曲線.
 

楕円の垂足曲線 3

 投稿者:南海  投稿日:2016年 7月20日(水)23時54分29秒
編集済
  すんません。こちらの間違いでした。
「〈楕円の中心〉から接線に下ろした垂線の足」も面白い曲線になりそうですが,ずっと複雑な曲線のようであり,質問の解ではありませんでした。
 

/174