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『初等整数論講義』と『素数と2次体の整数論』

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年 1月25日(水)18時50分30秒
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  昨年10月16日の投稿で,高木貞治:初等整数論講義に関し,
> p.289下部の i), ii) では,m≡1 (mod 4) の場合の考察が抜け落ちています.
>「同様」で済ませられることではなく,断り書きもないことから,書き忘れではないか(?)と思います.
と書きましたが,私のとんだ誤解でした.「抜け落ちている」のではなく,
  m≡2,3 (mod 4) と m≡1 (mod 4) の場合を「一括して」論じている
だけのことでした.
問題の箇所は,2次体 Q(√(m)) において,有理素数pが生成するイデアル(p)の素イデアル分解を調べる場面です.
いろいろな本で,このテーマを学習し直す過程で「誤解」に気づきました.

山本芳彦:数論入門(岩波)では丁寧に場合分けをしています.この印象が強かったことが「誤解」の一因です.(言い訳)

Trifkovic:Algebraic Theory of Quadratic Numbers (Springer) では〈整数基〉のとり方によらない方法で論じていて,
私には最も明快でした.

青木昇:素数と2次体の整数論(共立)p.185の記述は,『初等整数論講義』と一見似通っていますが,
こちらには明白な誤りがあります.両方の本を持っている人は,比較されるとよいと思います.

2次体を主テーマとした和書は少なく,『素数と2次体の整数論』には思わず手が伸びましたが,
多くの〈問題点〉がありました.そのことを,amason のレビューに記しました.
ただ,最終章に載っている
 「オイラーの多項式 x^2+x+41 の性質と,虚2次体の類数の関係」
に関する定理とその証明は,この話題に関心のある人には貴重だと思います.
 
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