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自作問題(最小値)

 投稿者:Qwenthur  投稿日:2017年 6月28日(水)23時25分48秒
  初めまして。大学1年のQwenthurと申します。
突然ですが、僕は高校時代に数学研究部なるところで活動していました。その学校の文化祭では、数学研究部の企画の一つとして、部員有志の自作問題を集めた「和田杯」という数学コンテストをやっているのですが、如何せん一般の方に興味を持っていただくのが難しく、問題によっては殆ど解いてもらえません。僕が作ったのもその中の一問になってしまい、このままでは寂しいので、この問題に興味を持ってくださる方が少しでもいらっしゃるところに出そうと探していると、知恵袋でここが紹介されているのを見つけました。(ただ、その問題は高校内容のものなので、雰囲気がどちらかというと現代数学に傾いている感じがしないでもないこの場所に出すのは気後れしますが、気にしない、気にしない、気にしたら負けだ・・・)

では、早速。。。僕が初等幾何以外に初めて作った代数分野の問題です。

問題:
3実数a , b , c が ab + bc + ca = a + b + c > 0 を満たしている時、
[a^6 / {(b+c)^2+8}] + [b^6 / {(c+a)^2+8}] + [c^6 / {(a+b)^2+8}] + [6 / {3(a+b+c)-1}]
の最小値を求めよ。

という問題です。要は、4つの分数の和の最小値はなんでしょう?というものです。個人的には、分子に6がいっぱいあって、そこそこ綺麗なかたちに見えて気に入っているのですが・・・。
通勤時や、時間に余裕のある方で、少しでも興味を持ってくださった方がいらっしゃれば幸いです。

それでは失礼いたします。
 

(別解3)

 投稿者:IT  投稿日:2017年 6月27日(火)22時40分44秒
編集済
  (別解3) 別解2と共通部分は一部省略してます。グラフを描いてみて気づいた解法です。
f(x)=(x-2)^2+a-4なので,y=f(x)のグラフはx=2を軸として対称である.
よって,y=f(f(x))-f(x) のグラフもx=2を軸として対称である.
したがって,f(f(x))-f(x)=0 がちょうど奇数個の実数解を持つためには,x=2が解であることが必要.
f(f(2))-f(2)=0 より(a-6)^2=0.
よってa=6. 以下省略。

(注)f(f(x))=f(x)の形が気になって、できるだけこのことを意識した別解を考えました。
本番では、最初の解がある意味素直で実戦的かも知れません。

 

別解2

 投稿者:IT  投稿日:2017年 6月27日(火)21時58分18秒
編集済
  (別解2)
f(x)=x^2-4x+a とおくと(1)はf(f(x))=f(x)と書ける.
y=f(x)のグラフは軸がx=2の放物線なので,
実数α、βについて,f(α)=f(β)となる⇔α=βまたは(α+β)/2=2
よって実数xが(1)の解⇔f(x)=xまたはf(x)+x=4
⇔x^2-5x+a=0…(2)またはx^2-3x+a-4=0…(3)  #実は(1)は(x^2-5x+a)(x^2-3x+a-4)=0
したがって
(1)がちょうど3つの異なる実数解を持つ
⇔A:(2),(3)の一方が重解を持ち他の一方が異なる2つの実数解を持ち重解とも異なる.
 または、
 B:(2),(3)がそれぞれ2つの異なる実数解を持ち,そのうち1つが共通解.

Aのとき (2)の判別式D=0よりa=25/4,(3)の判別式D=0よりa=25/4、よってAの場合はない.
Bのとき、(2)(3)から2x=4∴x=2 これを(2)に代入しa=6.
a=6のとき(2)(3)は共通解x=2を持つ、またそれぞれ2つの異なる実数解を持ち、一方は互いに異なる。
     よって(1)はちょうど3個の異なる実数解を持つ。(もう少していねいな説明が必要です)
 

別解

 投稿者:南海  投稿日:2017年 6月24日(土)08時48分48秒
編集済
  下記の問題の別解です.
f(x)=0が重解αをもつ条件は.f(α)=f'(α)=0 であることを用いる.

t=x^2-4x+a とし,f(x)=t^2-5t+a とする.df/dx=(2t-5)(2x-4) である.
x=αのとき,2t-5=0でかつf(x)=t^2-5t+a=0なら,tの2次方程式t^2-5t+a=0自体が重解をもち,f(x)=0の異なる解の個数は0~2個になる.
よって3個になるためには,2α-4=0が必要で,α=2.このときt=-4+aなので,(-4+a)^2-5(-4+a)+a=0.これからa=6.
df/dx=0で2t-5≠0 となるxはこの1つなので,重解は他にはない.
他の2解が実数解である確認はITさんの下2行と同じである.
 

RE:解の個数

 投稿者:IT  投稿日:2017年 6月19日(月)20時10分16秒
編集済
  (x^2-4x+a)^2 -4(x^2-4x+a)+a=x^2-4x+a…(1)

t=x^2-4x+aとおくと
(1)はt^2-4t+a=t、移項してt^2-5t+a=0…(2)
(1)がちょうど3つの異なる実数解を持つためには
tについての二次方程式(2)が2つの異なる実数解を持ち、
 そのうちのひとつの解αについて t=αすなわちx^2-4x+a=α…(3)は重解を持ち…(A)
 残りのひとつの解βについて  t=βすなわちx^2-4x+a=β…(4)は2つの異なる実数解を持つ…(B)
ことが必要十分条件である。

(A) より, 判別式D/4=4-(a-α)=0 ∴α=a-4
これを(2)に代入
 (a-4)^2-5(a-4)+a=0
∴(a-4)^2-4(a-4)+4=0
∴(a-4)=2 ∴a=6、α=2
このとき
 (2)はt^2-5t+6=0∴(t-2)(t-3)=0 なので β=3.
 (4)はx^2-4x+6=3∴ x^2-4x+3=0 これの判別式D/4=4-3>0なので2つの異なる実数解を持つ。

以上から条件を満たすのはa=6.

 

解の個数

 投稿者:すじこ  投稿日:2017年 6月14日(水)03時23分20秒
  Xの4次方程式 {( xの2乗-4x+a)の2乗}-4( xの2乗-4x+a)+a=xの2乗 -4x+aがちょうど3個の異なる実数解をもつようなaの値を求めよ  という問題です。よろしくお願いします。   

単連結閉領域

 投稿者:たまり  投稿日:2017年 6月 7日(水)11時02分58秒
編集済
  単連結閉領域になることの証明です。

[命題] Cは複素数体,D⊂Cは単連結な開領域,J⊂DはJordan閉曲線とする。
N(J),G(J)をJの内部,外部を表す記号とします。

さて,p∈G(J)∩D,q∈Γを結ぶJordan開曲線Lが{q}=J∩Lならば,
J∪N(J)∪B(ε)が単連結閉領域になるε>0が存在する事を示せ(但しB(ε):=∪_{w∈L}{z∈C;|z-w|≦ε})。

はどうすれば示せますでしょうか?

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/figure.JPG
 

(無題)

 投稿者:わなないな  投稿日:2017年 5月31日(水)22時54分44秒
  実はその記事は拝見していて記事内定義 3の公理のイメージを掴むために
より具体的な説明を求めて索引中の竹内先生の本を読んでいました。
自分が質問した部分は間違っていなくて良かったです。
逆に無限降下列の形で自分が挙げたような要素が並べられる集まりがクラスだ
というのがわかったつもりになってました。
ご回答ありがとうございました。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月31日(水)09時40分50秒
  正則性の公理は,
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node9.html
にも書いていますが,素朴集合論の矛盾の反省から生まれた公理です.
>元でしかないもの、集合も、集合の集合も、集合の集合の集合も含むような集合
も有限回の操作でできたものであれば,正則性の公理に反しないので,集合ではないでしょうか.
すべての集合の集まり,これが集合から除かれクラスになります.
 

集合とは何か(著:竹内外史)の118ページ 正則性の公理ついて

 投稿者:わなないな  投稿日:2017年 5月30日(火)22時36分37秒
  先生もお持ちの本でつかみにくい部分があったので久々に質問に参りました。
任意の集合aの元をanとして
a∋a1∋a2∋a3∋...と続けたら有限回で空集合が右に出てくる部分についてです。
自分はここで言うaは1,2,{1, 2},{{1, 2}},{{{1, 2}}}のような、
元が元でしかないもの、集合も、集合の集合も、集合の集合の集合も含むような集合と考えました。
ですが、119ページには順序数と紐づけされた、順序数を元とする集合で説明されています。
2={0,1}1={0}の辺りが自分に言うことと同様にも思えますが、確信がもてません。
高校までの集合のイメージから離れきれてないのもあり、
自分の考え方が正しいのかよくわかりません。
間違いやより良い捉え方があればご教授ください。
よろしくお願いします。
 

(無題)

 投稿者:高2  投稿日:2017年 5月30日(火)08時04分13秒
  南海先生、度々アドバイスありがとうございます
複素平面については食わず嫌いをせず取り組んでみます
極限を扱わないので、特別な準備なく学習できそうですね

幾何による解法はエレガントですね
図形の対称性の利用は使いこなすのが難しそうです
この問題の原典は何か良くわからないのですが、もし大学入試問題であるならば、出題者の意図はこちらだったのかもしれませんね。(難易度的にはどの程度になるのでしょうか。。。?)

無事解決です、ありがとうございました!
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月29日(月)22時12分47秒
  正多角形の頂点の位置ベクトルの和は,中心である.この幾何的証明.
多角形の対称性から,頂点をそれぞれ隣の頂点に中心まわりに回転しても、その和は動かない.
つまり中心まわりの角2π/nの回転で不変.よって和は中心.
この和を接線方向とそれに垂直な方向に分解することにより,接線と垂直方向の和も0.
よって接線への垂線の和はn.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月28日(日)21時50分13秒
  複素数平面はいまは数学IIIに入っていますが,これは人為的なもので,昔は数学IIBまでの文理共通範囲でした.ですからあまり数学IIIということは気にしないでやってください.
複素数と言っても使うのはドモアブルの定理で,これは加法定理と同値ですので,三角関数の数列の和の計算に翻訳すれば,複雑ではあるが,おなじことです.
 

(無題)

 投稿者:高2  投稿日:2017年 5月28日(日)21時31分31秒
編集済
  ITさん、南海先生、ありがとうございます
やはり、数Ⅲで解くのが自然なんですね
自然数nに関することがらなので、てっきり数学的帰納法を用いるのかと誤解しておりました

正多角形の頂点の位置ベクトルの和は0になると何かで読みました
本質的には南海先生の複素数平面上の計算と同じですね
これを用いればITさんの指針もうまくいくかもしれません
ぜひ試してみようかと思います。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月28日(日)20時20分49秒
編集済
  数学IIIですが,複素数平面で考え,次のようにしてはどうでしょうか.

α=cos a+isin a,ω=cos2π/n+isin 2π/n として, n個の点を次のように決める.
α,αω,…,αω^{n-1}
このときα+αω+…+αω^{n-1}=α・(1-ω^n)/1-ω=0 なので,x軸への垂線の長さ(逆方向は負にとる)の和は0である.
y=-1 への和は,すべて1平行移動しているので,nになる.
これは別に複素数平面で考えなくてもよいのですが,x軸への方向のある長さの和が0となることは,ITさんが言われるように,三角関数範囲ではやや工夫がいります.
 

数学的帰納法(?)

 投稿者:IT  投稿日:2017年 5月28日(日)18時33分9秒
編集済
  接線をx軸と見たとき
n個の頂点のy座標の平均値が円の中心のy座標と一致することが示せれば良いと思います。

 n が偶数のときは、円の中心を通る各対角線上にある2つの頂点の組を考えれば出来ますね。
 n が奇数のときは、工夫がいるかも知れません。
 

数学的帰納法(?)

 投稿者:高2  投稿日:2017年 5月28日(日)06時28分32秒
  おはようございます、しばらく次の問題に困っています

(1) 半径1の円Oと,Oに接する直線lがある.Oに内接する正三角形の各頂点から,lにおろした垂線の長さの和を求む.
(2) 半径1の円Oと,Oに接する直線lがある.Oに内接する正n角形の各頂点から,lにおろした垂線の長さの和を求む.

(1)は三角関数の計算で3と求まり、(2)もおそらくnになるのだろうと思います(n=6まで確認しました)
数学的帰納法をつかうのかな?と思いましたが、(2)をうまく示すことができません
どのようにアプローチをすべきなのでしょうか
もしかしたら、数Ⅲの知識が必要になるのでしょうか?

 

Re:どう並べ替えても一部を取り出しても素数となる4桁の数

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月21日(日)11時00分18秒
編集済
  幾つか調べましたが、記数法と整数問題をからめると非常に難しいでした。
面白い問題の提起に感謝します。
 

下記に追記

 投稿者:shtainze  投稿日:2017年 5月21日(日)09時13分24秒
  1週間経ちましたがご回答が得られないので終了とさせて頂きます。(難しいですよね・・・)
またお世話になることがあるかもしれませんが宜しくお願い致します。
 

どう並べ替えても一部を取り出しても素数となる4桁の数

 投稿者:shtainze  投稿日:2017年 5月12日(金)17時10分45秒
編集済
  n進法におけるk桁 (k: 4以上) の数で、下記の条件を満たす例を挙げよ。あるいは、必要条件を挙げよ。
・各桁の数をどう並べ替えても素数になる
・一部の桁のみを取り出した数も、どう並べ替えても素数になる


マルチ投稿ですが、毎日確認して、何か回答を頂き次第こちらの掲示板にも反映させます。また、ご回答が得られない期間が1週間続いた時点でフォローを止めさせて頂きます。その際はこちらにメッセージを残します。どうぞ宜しくお願い致します。

なお、以下は私が考えて分かった範囲です。
kが2の時は、例えば、10進法における37が当てはまります。(37, 73, 3, 7が全て素数)
kが3の時は例えば、246進法に最小の例があり、その時の各桁の数は31, 101, 191となります。(3桁、2桁、1桁の組み合わせの合計15通りの数が全て素数となる)
素数定理が正しいとすれば、どんなに大きなkに対しても、n進法においてそのような例が出現する確率は少なく見積もってもO (1/(lognの累乗))となります。これは十分大きなnに対して必ずそのような例が出現し、かつ以降も無限に出現することを示唆しています。

ただし、その確率の絶対値はかなり小さいので、kが4の時は数値計算による求解は不可能であり、何らかの定性的な絞込が必要となります。

他には各桁が素数となる事(1桁の場合を考えれば自明)と、あと、modを使って多少の絞り込みができる事が判明している程度です。

・この問題のために群論も少しかじりましたが、群論は「桁を並べ替える」とか「一部の桁を取り出す」等の操作に関してはあまりパワーを発揮しないようです。(←誤解があればご指摘下さい)
・permutable primeについても少し調べましたが、今回はそれよりかなり強い条件を要請しているのであまり役立たない気がします。
 

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