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初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2018年 4月 9日(月)15時50分15秒
  C=C'は、正しかったんですね。

後の部分についても、よくわかりました。

訂正まで書いてくださって、ありがとうございます。
 

初等整数論講義  K(sqrt{-65}) のイデアル類群-訂正とお詫び

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 4月 9日(月)12時09分51秒
編集済
  >>C^2=CC´
>C=C' ですか?!
C=C' でした! ごめんなさい.

また,先に,
>C=[5,sqrt{-65}] とおくと,簡単な計算で C^2~1 が分かります.
と書きましたが,これは計算するまでもなく分かることでした.CC'~1 かつ C=C' なので.

 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2018年 4月 9日(月)09時27分54秒
  かたつむりさん、チェックしていただいてありがとうございます。

最初の C=C' 間違っているようですね。
もう一度考えてみます。

簡約法則の成立については、イデアル類は「群」をなすから
という理由は納得しました。

指摘どうり、先に進んで読んでいると、前に学習した
イデアル類が「群」をなす事実をすっかり忘れてしまいます。

粘り強く、後ろに戻り、何度も繰り返し読みます。

その前のコメントについてモジュラー変換z→1-1/zについても考えてみます。

忙しいのに、親切に書いていただいて感謝しています。

 

初等整数論講義  K(sqrt{-65}) のイデアル類群-3

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 4月 8日(日)17時49分59秒
編集済
  >C^2=CC´
C=C' ですか?!

> (このように、Cについての簡約法則を使えるのか? 自分としては少し不安)
イデアル類は「群」をなします.

〈追記〉
第5章を初めから,何度も繰り返し読み込むことが大切だと思います.
p.335 4行目に誤植があります. A^3B=[6,1+sqrt{-65}] →  A^3B~[6,1+sqrt{-65}]
しばらくは,投稿する時間がとれません.
 

初等整数論講義  K(sqrt{-65}) のイデアル類群-2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 4月 8日(日)17時28分12秒
編集済
  昨日,A^2B~[5,sqrt{-65}] を計算で直接確かめる方法を記しましたが,より本質的な方法を書き忘れました.

既に,A^2B=[18,5+sqrt{-65}] となることは,計算して導いていると思います.
2つのイデアル [18,5+sqrt{-65}], [5,sqrt{-65}] が対等であるかどうかは,
2つの複素数 (5+sqrt{-65})/18 と sqrt{-65}/5 が対等であるかどうかで判定できます.p.330 の【定理5.27】です.

(5+sqrt{-65})/18 と対等で基本領域に属する複素数を探せば,自然に sqrt{-65}/5 にたどり着きます.
具体的には,モジュラー変換 z→1-1/z によって,(5+sqrt{-65})/18 が sqrt{-65}/5 に移されます.

〈追記〉上記は,愛さんの直前の投稿を拝見する前に書きました.念のため.
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2018年 4月 8日(日)17時22分7秒
  第2の計算

C=[5,√ー65)]だから、C´=[5,-√ー65]=[5,√ー65]

したがって、C^2=CC´=[5,√ー65][5,-√ー65]=[5^2,65]
                     =[25,65]=[25,15]=(5)~1

(上の計算は、自分では自信がありません。おかしいところがあれば、指摘してください)

そこで、

(A^2B)C=[9,-4+√ー65][2,-1+√ー65][5,√ー65]

前の二つの積は、連立合同式 t≡ー4(mod9)
                             t≡-1(mod2)
を解き t=5がでるので
 A^2B=[18,5+√ー65]となる。

したがって、
(A^2B)C=[18,5+√ー65][5,√ー65]

同様に 連立合同式 t≡5(mod18)
                     t≡0(mod5)
を解いて、t=5を得る。

(A^2B)C=[18・5,5+√ー65]=[90,5+√ー65]

90=(5+√ー65)(5-√ー65)なので、

(A^2B)C=(5+√ー65)~1
C^2~1から、(A^2B)C~C^2

したがって、A^2B~C

(このように、Cについての簡約法則を使えるのか? 自分としては少し不安)






 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2018年 4月 7日(土)19時12分6秒
編集済
  かたつむりさん、ありがとうございます。
指摘の通り

第1の件  1/9(-4+√ー65)は、基本区域Gの単位円周上の左に属し
      1/9(4+√ー65)は、単位円周上の右に属するが、これは、
      基本区域Gではないので、不適となる。

第2の件 むつかしそうですが、書いていただいた方法で計算を
     やってみます。

丁寧に、説明をかいていただいて感謝します。何とか、P348まで、頑張ろうと
思っています。
 

初等整数論講義  K(sqrt{-65}) のイデアル類群

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 4月 7日(土)10時57分46秒
  >分類表の最後の行にある Θの値について
>なぜΘの値が1/9(‐4+√ー65)だけが掲載されているのでしょうか?
>また、どちらも基本区域Gにはいってないことも気になります。
(-4+sqrt{-65})/9 は基本領域 G に属します.(4+sqrt{-65})/9 は G に属しません.

>(例1の最後)にある A^2B~[5,√-65]が示せません。
>いろいろと標準基底でかいてけいさんするのですが、どうしてもたどり着きません。
著者が最後に「よって A^2B~[5,sqrt{-65}].」と書いているように,これは
「計算するまでもなく,そこまでの内容から直ちに分かる」ことです.
p.334 で K(sqrt{-65}) のイデアル類群の類数が8であることと,
各類を代表するイデアルが示されています.
そのうちの2つ A=[3,-1+sqrt{-65}], B=[2,-1+sqrt{-65}] に着目し,
 A, A^2, A^3, B, AB, A^3B
を調べたら,主類 1 以外では,[5,sqrt{-65}] を除いて6個の類が出そろったわけです.
したがって,A^2B は [5,sqrt{-65}] と対等になるしかありません.

もちろん,A^2B~[5,sqrt{-65}] を計算で直接確かめることは有意義なことです.
A^2B=[5,sqrt{-65}] ではないので,A^2B を計算するだけでは決着が付きません.方針を記します.

C=[5,sqrt{-65}] とおくと,簡単な計算で C^2~1 が分かります.
次に (A^2B)C を計算します.かなりのステップを要しますが
(A^2B)C=[90,5+sqrt{-65}]
となります.90=(5+sqrt{-65})(5-sqrt{-65}) なので
 (A^2B)C=(5+sqrt{-65})~1
です.これと C^2~1 から A^2B~C が得られます.
 

re:ある~とすべてについて~が成り立つ

 投稿者:Y  投稿日:2018年 4月 5日(木)19時28分37秒
  ヒントありがとうございます。
再度解答を作成します。
 

初等整数論講義(高木)

 投稿者:  投稿日:2018年 4月 2日(月)19時20分58秒
  P334 例1 K(√ー65)について

質問1 分類表の最後の行にある Θの値について
    bダッシュが±4なのに、なぜΘの値が1/9(‐4+√ー65)だけが掲載されている    のでしょうか?
    いったい1/9(4+√ー65)は、なぜ書かれていないのでしょうか?
    また、どちらも基本区域Gにはいってないことも気になります。

質問2 P335上から5行目(例1の最後)にある
    A^2B~[5,√-65]が示せません。いろいろと標準基底でかいて
    けいさんするのですが、どうしてもたどり着きません。

以上、よろしくお願いします。


 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年 3月29日(木)22時16分47秒
編集済
  1<=a^x<=a よりa^xは区間[1,a]にある.
a^y=b-a^xより,0 <=y <=1は 1<=a^y<=a,つまり1<=b-a^x<=aなので,b-a<=a^x<=b-1と同値.
よって

(1)は 区間[1,a]の適当な値が区間[b-a,b-1]に属することなので,2つの区間に共通部分がある.
(2)は 区間[1,a]の全ての値が区間[b-a,b-1]に属することなので,第1の区間が第2の区間に含まれる.

ことと同値ではないでしょうか.
 

re:ある~とすべてについて~が成り立つ

 投稿者:Y  投稿日:2018年 3月29日(木)19時17分46秒
  > してa>1mb>0とする

してa>1,b>0とする  の誤植?
>その通りです。よろしくお願いします。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年 3月28日(水)15時37分50秒
編集済
  > してa>1mb>0とする

してa>1,b>0とする  の誤植?
 

ある~とすべてについて~が成り立つ

 投稿者:Y  投稿日:2018年 3月27日(火)17時23分0秒
  a,bを定数としてa>1mb>0とするこのa,bに対してa^x(aのx乗の意味)+a^y=b ---(A)という式を考える。
(1) 0 <=x <=1である適当なxに対して、(A)をみたし、かつ0 <=y <=1であるようなyが存在するためにa,bがみたすべき必要十分条件を求めよ。
(2) 0 <=x <=1である任意のxに対して、(A)をみたし、かつ0 <=y <=1であるようなyが存在するためにa,bがみたすべき必要十分条件を求めよ。
(3) x+y=1かつx >=0かつy >=0であるような適当なx,yに対して、(A)が成り立つためにa,bが満たすべき必要十分条件を求めよ。
の(1), (2)の違いと解答をお願いします。
 

2018年千葉大12番

 投稿者:IT  投稿日:2018年 3月13日(火)22時09分57秒
編集済
  千葉大12番をできるだけ天下り的でないように解いてみましたが、天下り感をなくすのは難しいですね。
本質的には南海先生の模範解答と同じだと思います。
特に(2)は、類題を解いたことがないと、試験時間内に基礎知識と試行錯誤で解くのは難しい感じです。

z^k(k=1,...,9)を複素平面上にプロットして性質(関係)を調べておきます。
(1)z^9=1…① 因数分解すると(z^3-1)(z^6+z3+1)=0
x^9=1の解でx^3-1=0 の解以外の場合x^6+x3+1=0の解である。…(ア)

z^3=cos(2/3)π+isin(2/3)π=-1/2+i√3/2, z^6=-1/2-i√3/2より
 z^3+z^6=-1…②  (注)(ア)を使っても良い

α^3=(z+z^8)^3=z^3+3z^10+3z^17+z^24
①より  =z^3+3z+3z^8+z^6
②より  =3(z+z^8)-1
      =3α-1
よってαはx^3-3x+1=0 をみたす。
f(x)=x^3-3x+1 は条件を満たす。

(2) f(-∞)=-∞,f(0)=1,f(1)=-1,f(∞)=∞なのでf(x)=0 は異なる3つの実数解を持つ。
   (1)のf(x)の導出過程から分かるように、
   x^9=1…③を満たす複素数xについて, (x+x^8)^3-3(x+x^8)+1=0…④ ⇔ x^6+x^3+1=0…⑤

③⑤を満たすxを探す。(ア)から見つかる。
  x=z^2とおくと(z^2)^9=1, (z^2)^6+(z^2)^3+1=z^3+z^6+1=0
    よって β=z^2+(z^2)^8=z^2+z^7 はf(x)=0 を満たす。
  また、β=2cos(4/9)π≠2cos(2/9)π=α
  α^2=(z+z^8)^2=z^2+2z^9+z^16=z^2+z^7+2 なので
  β=α^2-2
   f(x)=0 のα,β以外の解をγとすると、解と係数の関係からα+β+γ=0 なので
   γ=-α-β=-α-α^2+2=-α^2-α+2
  よって、求める2解はα^2-2,-α^2-α+2
 

RE3:解答をお願いします

 投稿者:IT  投稿日:2018年 3月11日(日)17時10分52秒
編集済
  >(2)のa_1は3以上の奇数とあるから、a_1+1=(2^s)t,( s,tは自然数、t は奇数)では、s=t=1のとき、a_1=1となるのですが?
そうですね。私は1つの解法の方針を示しただけです。
下記のようにすればできますね。

(2) a_1が3以上の奇数ならば、 a_1=2m+1,(mは自然数)…①とおける.
    a_2=a_1+1=2(m+1)
    a_3=(1/2)a_2=m+1…②
    ①②より,a_3<a_1 である.
  a_3 が奇数ならば a_3が条件を満たす.
  a_3 が偶数ならば (1) と同様の議論で a_k<a_3 となる奇数a_k が存在する.
           a_k<a_3<a_1 なので  a_kは条件を満たす.

(3) {a_n}は自然数からなる数列なので最小値を持つ.この最小値をaとおく.
  aが偶数のとき、(1)と同様の議論でa_k<aとなる奇数a_kが存在するので矛盾.
  aが3以上の奇数のとき、(2)と同様の議論でa_k<aとなる奇数a_kが存在するので矛盾.
  よって,a=1である.
 

RE2:解答をお願いします

 投稿者:Y  投稿日:2018年 3月11日(日)16時06分19秒
  解答ありがとうございます.
(2)のa_1は3以上の奇数とあるから、a_1+1=(2^s)t,( s,tは自然数、t は奇数)では、s=t=1のとき、a_1=1となるのですが?
また(2),(3)の入試での答案形式で他の方でもかまいませんので、書いて下さいませんか。
 

2018年千葉大12番

 投稿者:かたつむり  投稿日:2018年 3月 8日(木)09時55分44秒
  >今年も3次方程式の根の置換問題がありました.千葉大12番です.
情報を有り難うございます.1997年早大・理工と同じ3次方程式ですね.
(2) については,南海先生の解答が理想的だと思いますが,あえて
  α+α^8  (α=cos(2π/9)+i sin(2π/9))
が解であることを用いない(一般的な)方法を記してみます.

f(x)=x^3-3x+1=0 のα以外の解をβ,γとすると
f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ),
f'(x)=(x-β)(x-γ)+(x-α)(x-γ)+(x-α)(x-β)
であるから,D={(α-β)(β-γ)(γ-α)}^2 (f(x) の判別式)とおくと
  D=-f'(α)f'(β)f'(γ)=-(3α^2-3)(3β^2-3)(3γ^2-3)
  (解と係数の関係を用いて計算する)
  =81
となる.D>0 となるように β,γを定めれば,
  β-γ={(α-β)(β-γ)(γ-α)}/{(α-β)(γ-α)}=9/(-f'(α))=-3/(α^2-1).
ここで,f(x), f'(x)=3(x^2-1) にユークリッドの互除法を適用し,
  3=-(2x+1)f(x)+(2x^2+x-4)(x^2-1)
を得る.x=α を代入すると
  3=(2α^2+α-4)(α^2-1)
となるので,
  β-γ=-3/(α^2-1)=-2α^2-α+4.
これと β+γ=-α から
  β=-α^2-α+2,  γ=α^2-2.

以上の方法は,既約な3次方程式の3根α,β,γについて,
 β,γを拡大体 Q(α,sqrt{D}) (D は判別式) の元として表す
話題に通じます.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2018年 3月 7日(水)22時13分53秒
  今年も3次方程式の根の置換問題がありました.千葉大12番です.
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2018/18chiba12.htm
 

RE:解答をお願いします

 投稿者:IT  投稿日:2018年 3月 3日(土)08時01分39秒
  (2) a_2=a_1+1=(2^s)t,( s,tは自然数、t は奇数) とおくといいと思います。


題名は、問題にふさわしいものにされたほうがいいと思います。
Texを使わないで入力されたほうが、そのまま読めていいと思いますが、私だけかな?
 

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