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数学的帰納法(?)

 投稿者:高2  投稿日:2017年 5月28日(日)06時28分32秒
  おはようございます、しばらく次の問題に困っています

(1) 半径1の円Oと,Oに接する直線lがある.Oに内接する正三角形の各頂点から,lにおろした垂線の長さの和を求む.
(2) 半径1の円Oと,Oに接する直線lがある.Oに内接する正n角形の各頂点から,lにおろした垂線の長さの和を求む.

(1)は三角関数の計算で3と求まり、(2)もおそらくnになるのだろうと思います(n=6まで確認しました)
数学的帰納法をつかうのかな?と思いましたが、(2)をうまく示すことができません
どのようにアプローチをすべきなのでしょうか
もしかしたら、数Ⅲの知識が必要になるのでしょうか?

 

Re:どう並べ替えても一部を取り出しても素数となる4桁の数

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月21日(日)11時00分18秒
  幾つか調べましたが、記数法と整数問題をからめると非常に難しいでした。
面白い問題の提起には感謝します。
 

下記に追記

 投稿者:shtainze  投稿日:2017年 5月21日(日)09時13分24秒
  1週間経ちましたがご回答が得られないので終了とさせて頂きます。(難しいですよね・・・)
またお世話になることがあるかもしれませんが宜しくお願い致します。
 

どう並べ替えても一部を取り出しても素数となる4桁の数

 投稿者:shtainze  投稿日:2017年 5月12日(金)17時10分45秒
編集済
  n進法におけるk桁 (k: 4以上) の数で、下記の条件を満たす例を挙げよ。あるいは、必要条件を挙げよ。
・各桁の数をどう並べ替えても素数になる
・一部の桁のみを取り出した数も、どう並べ替えても素数になる


マルチ投稿ですが、毎日確認して、何か回答を頂き次第こちらの掲示板にも反映させます。また、ご回答が得られない期間が1週間続いた時点でフォローを止めさせて頂きます。その際はこちらにメッセージを残します。どうぞ宜しくお願い致します。

なお、以下は私が考えて分かった範囲です。
kが2の時は、例えば、10進法における37が当てはまります。(37, 73, 3, 7が全て素数)
kが3の時は例えば、246進法に最小の例があり、その時の各桁の数は31, 101, 191となります。(3桁、2桁、1桁の組み合わせの合計15通りの数が全て素数となる)
素数定理が正しいとすれば、どんなに大きなkに対しても、n進法においてそのような例が出現する確率は少なく見積もってもO (1/(lognの累乗))となります。これは十分大きなnに対して必ずそのような例が出現し、かつ以降も無限に出現することを示唆しています。

ただし、その確率の絶対値はかなり小さいので、kが4の時は数値計算による求解は不可能であり、何らかの定性的な絞込が必要となります。

他には各桁が素数となる事(1桁の場合を考えれば自明)と、あと、modを使って多少の絞り込みができる事が判明している程度です。

・この問題のために群論も少しかじりましたが、群論は「桁を並べ替える」とか「一部の桁を取り出す」等の操作に関してはあまりパワーを発揮しないようです。(←誤解があればご指摘下さい)
・permutable primeについても少し調べましたが、今回はそれよりかなり強い条件を要請しているのであまり役立たない気がします。
 

同相である事

 投稿者:Ciera  投稿日:2017年 5月11日(木)00時48分35秒
編集済
  たびたびすみません。

a∈C^nとせよ。
{z∈C^n;|z|=|a|}とC^n/R∪{∞}は同相らしいのですがどうしてでしょうか?

C^n/Rは
C^n/R={y∈C^n;y≡a (mod R)}={y∈C^n;y-a∈R}ですよね。

{z∈C^n;|z|=|a|}と{y∈C^n;y-a∈R}∪{∞}とはどうして同相なのでしょうか?

同相写像としてどのようなものが採れるのでしょうか?
 

Re:連続関数

 投稿者:Ciera  投稿日:2017年 5月11日(木)00時47分15秒
  そうですよね。どうも有難うございます。  

連続関数

 投稿者:南海  投稿日:2017年 5月 9日(火)08時36分9秒
編集済
  ∀ε,∃δ,∀x: |x-x_0|<δ→|f(x)-f(x_0)|<ε
が連続の定義です。この命題は、もとの定義域で真なら、任意に定義域を制限しても真ではないでしょうか。
連続関数の任意の制限写像も連続、が成り立つように思われます。
 

複素関数

 投稿者:Ciera  投稿日:2017年 5月 8日(月)09時38分34秒
  複素関数f:C^2→Cを考えてます。
もしfが連続関数なら任意の部分集合D⊂C^2についても制限写像f_D:D→Cも必ず連続関数になりましょうか?
もし反例があれば教えてください。
 

IT先生

 投稿者:受験生  投稿日:2017年 4月27日(木)21時03分13秒
  ありがとうございました。  

RE:奈良県立医科大

 投稿者:IT  投稿日:2017年 4月27日(木)18時20分41秒
編集済
  n=0  のときは
|a_n-a_[n-1]|+|a_[n-1]-a_[n-2]|+...+|a_2-a_1|+|a_1-a_0|+|a_0|
< n+|a_0| は、成り立たないため
≦ n+|a_0| が正しいので、
β=|a_0|+1などとしないといけませんでした。
 

RE:奈良県立医科大

 投稿者:IT  投稿日:2017年 4月26日(水)23時40分2秒
編集済
  勘違いがあるかも知れません。まちがいがあればご指摘ください。

ある正整数pが存在し
|m-n|≦pを満たす零以上のすべての整数m,nに対して不等式|a_m-a_n|<1が成り立つことから
|m-n|≦1を満たす零以上のすべての整数m,nに対して|a_m-a_n|<1が成り立つ
よって 零以上のすべての整数nに対して|a_[n+1]-a_n|<1…(1)が成り立つ

したがって
零以上のすべての整数nに対して
 |a_n|≦|a_n-a_0|+|a_0| (三角不等式)
 ≦|a_n-a_[n-1]|+|a_[n-1]-a_[n-2]|+...+|a_2-a_1|+|a_1-a_0|+|a_0|数学的帰納法で示す必要があるのかも
 <n+|a_0|  ∵(1)
 α=1,β=|a_0| とおくと |a_n|<αn+βが成り立つ
 

奈良医科大学

 投稿者:受験生  投稿日:2017年 4月25日(火)23時27分0秒
  2017年奈良医科大学の後期の数学問題です。
a_0,a_1,…a_nを実数の数列とする。ある正整数pが存在し
|m-n|≦pを満たす零以上のすべての整数m,nに対して不等式|a_m-a_n|<1
が成り立つとする。このとき,ある正の実数α,βが存在し,零以上の任意の整数
nに対して不等式|a_n|<αn+βが成り立つことを示せ。
はどのようにアプローチすればよいのでしょうか?

 

場合の数について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 4月24日(月)14時51分43秒
  直線α上に、点が6個、直線β上に、点が3個ある。
ただし、2直線とも平行である。
αとβは必ず1回は、結ぶ。
結ばない点や、重複するようには結ばないとする。
何度も投稿してすみません。問題を作ってきました。解いていただけないでしょうか?
(1)全部で何通りあるか。
(2)g,h,iに2本ずつ線を引くのは、何通りあるか?
(3)hに4点集まるのは、何通りあるか?
(4)iに点が少なくとも2本集まるのは何通りあるか?
(5)gに点が3点集まるのは、何通りあるか?
(6)gは、b、c、d以外の点で結ぶのは、何通りか?
大変恐縮ではございますが解答していただけると幸いです。
誠に、申し訳ございませんでした。
 

Re:2017 神大理系4番解答

 投稿者:南海  投稿日:2017年 4月 9日(日)08時53分18秒
  ご指摘ありがとうございます。
これは誤植です。なおしておきます。
 

2017 神大理系4番解答

 投稿者:よおすけ  投稿日:2017年 4月 8日(土)23時31分10秒
  (4)のn=4のときの確率が(4!)/(4^4)=(2/32)になっていますが、こちらで(4!)/(4^4)を計算したら3/32になりました。計算ミスでしょうか?  

ラミーの定理について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 4月 1日(土)10時51分50秒
   問題を作っていただけないでしょうか?調べても、出てこなくて。すみません。お願いできたら、幸いです。  

南海先生へ

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 4月 1日(土)09時10分47秒
  丁寧に答えていただきありがとうございました。  

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 4月 1日(土)08時44分55秒
  横幅1の区間での変化がf(x+1)-f(x) で、これと比 f(x)/x をどのように結びつけるのか 。
そこで区間[M+n,M+n+1]を考える。x→∞のときn→∞。αを[M,M+1]での|f(x)|の最大値とする。

そこで、[M+n,M+n+1]の点M+n+βをとると
|f(M+n+β)-f(M+β)|=|f(M+n+β)-f(M+n-1+β)+f(M+n-1+β)-f(M+n-2+β)+…-f(M+β)|
≦nε  よって|f(M+n+β)|≦α+nε。
よって|f(M+n+β)/M+n+β|≦(α+nε)/(M+n)。

 

解析概論

 投稿者:高校生  投稿日:2017年 3月31日(金)13時03分8秒
  南海先生。以前質問した問題なのですが、
|f(x)/x|≦(α/n+ε)/(M/n+1)<α/n+ε
どうして、この式変形をしたくなると思いつくのでしょうか?
拙くわかりづらい質問で申し訳ありません。

 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年 3月29日(水)21時32分59秒
編集済
  確かに。グラフの傾きが1より大きいことをイメージしながら,論述の中に書いていませんでした。
単純にして,訂正しておきます。
 

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