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RE:最小公倍数関連

 投稿者:IT  投稿日:2017年10月22日(日)20時01分3秒
編集済
  (概要)
(1) a_2...a_n の中には1つだけ奇数a_iがある。i=2の累乗のうちで最大のもの。
   n=2,3,...,8 ぐらいまで実験してみてください。(2の指数に注目)

(2) L は偶数であり、一方a_2+...+a_n は奇数 であることを使えば良いと思います。
 

RE:正多角形上の鋭角三角形の個数

 投稿者:IT  投稿日:2017年10月22日(日)19時07分7秒
編集済
  直角および鈍角三角形の個数を 全体から引くのが 分かりやすいと思います。

三角形の頂点を反時計周りにABCとし∠Aを直角か鈍角とします。

頂点Bの選び方は、n通り。
残りの2頂点の選び方は、(n/2)C2 通り
(Bと結ぶと外接円の直径になる頂点をA_iとすると、A,CはBからA_iまで(Bを含まずA_iを含む)の間(時計回りに見て)にあるので) (注)

よって直角・鈍角三角形の個数はn×{(n/2)C2} 通り。

(注)ことばで表すのは難しいので、図を描いて確認してください。

 

正多角形上の鋭角三角形の個数

 投稿者:Jukensha  投稿日:2017年10月22日(日)16時59分25秒
  nを6以上の偶数として、点A_1, A_2, ・・・, A_n を頂点とする正n角形を考える。n個の頂点から3点を選んで三角形をつくるとき、鋭角三角形は何個できるか。ただし、頂点が異なれば三角形は異なると考える。
東大の過去問はできたのですがこちらは「6以上の偶数」がヒントらしいかなと思ったのですが、できないので解説お願いします。
 

最小公倍数関連

 投稿者:Jukensha  投稿日:2017年10月22日(日)16時52分58秒
  nを2以上の整数とし、(nー1)個の正整数 2, 3, ・・・, nの最小公倍数をLとする。
a_k =\frac{L}{k}(k=2, 3, ・・・, nの)とおくとき、
(1) a_1 +a_2+・・・+a_nは奇数であることを証明せよ。
(2) \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k}は整数でないことを証明せよ。
について質問します。(1) a_{奇数}=奇数, a_{偶数}=偶数を数学的帰納法で証明したのですが、自信がありません。(2)は(1)がヒントなのでしょうが解法が浮かびません。わかるかた解答お願いします。
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年10月15日(日)22時44分48秒
編集済
  こちらの解答に図を入れました。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2017/17syouwaia.htm
論述ももう少していねいな方がいいのですが。また時間のあるとき直します。
 

2017年 昭和大・医2番の一般化 2

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年10月15日(日)09時33分52秒
編集済
  >漸化式が同じことに気づいて,証明をつくった次第です.
考えてみました.

P(M_{n}=k) について,
 k≧1のとき P(M_{n}=k)=(1/2)P(M_{n-1}=k-1)+(1/2)P(M_{n-1}=k+1),
  P(M_{n}=0)=(1/2){P(M_{n-1}=0)+P(M_{n-1}=1)}
が成り立つことは容易に分かります.
P(T_{n}=k) について,
 P(T_{n}=0)=(1/2){P(T_{n-1}=0)+P(T_{n-1}=1)}
も容易に分かります.
 k≧1のとき P(T_{n}=k)=(1/2)P(T_{n-1}=k-1)+(1/2)P(T_{n-1}=k+1) ・・・(※)
については,線対称移動を考えることにより理解しました.第2項の理解に難航しました.

きちんとまとめてみようと思います.
昨日の投稿に記した証明より,ずっと簡潔にまとめられそうです.有り難うございます.

【追記】
実は当初,漸化式による証明も考えたのですが,(※)の解釈で詰まって投げ出してしまいました.
簡単にあきらめてはいけませんね.

 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年10月14日(土)22時40分48秒
  ありがとうございます.

こちらは今日の夕方,犬との散歩中に,漸化式が同じことに気づいて,証明をつくった次第です.出題者は,この方法を考えていたかも知れません.

標本空間の写像という方法の
>Z_{i-1}≦0 のとき f(X_{i})=X_{i}, Z_{i-1}>0 のとき f(X_{i})=-X_{i}
は帰納的に順に動かしてゆくということでしょうか.
この(*2)はよく考えてみます.
 

2017年 昭和大・医2番の一般化

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年10月14日(土)22時05分24秒
編集済
  南海先生,コメントをありがとうございます.

(1), (2), (3) の結果から,一般に
 P(M_{n}=k)=P(T_{n}=k) ・・・(*)
の成り立つことが予想されます.様々な試行錯誤の末,私はこれを次の方法で証明しました.

硬貨をn回振る試行の標本空間を S とする.根元事象
  ω=(X_{1},X_{2},...,X_{n})∈S
に対し,根元事象
  ω'=(X_{1}',X_{2}',...,X_{n}')∈S
を,
 Z_{i-1}≦0 のとき X_{i}'=X_{i}, Z_{i-1}>0 のとき X_{i}'=-X_{i}
によって定める.すると,
  f:ω→ω' は S から S への全単射 ・・・(*1)
となり,
  M_{n}(ω’)=T_{n}(ω) ・・・(*2)
が成り立つ.ここで,右辺は,根元事象 ω に対する確率変数 T_{n} の値を表す.左辺も同様.

(*1), (*2) から直ちに (*) が導かれます.
(*2) の証明は少々長くなりますので,ここでは控えます.
座標平面において,根元事象を「点 (i,Z_{i})  (0≦i≦n) を結ぶ折線」で表し,
いろいろな具体例で (*2) をチェックすると面白いです.

【追記】表現を一部修正しました.
 

昭和大・医 2番

 投稿者:南海  投稿日:2017年10月14日(土)21時02分45秒
  いちおう解答を作りました.
P(T_{n}=k)の確率での意味はまだ分かりません.
 

昭和大・医 2番

 投稿者:南海  投稿日:2017年10月14日(土)12時32分59秒
編集済
  たいへんおもしろい問題を紹介ありがとうございます。
こちらは(3)の一般化の証明がまだ解決していません。
P(T_{n}=k) は手もとにある本にも載っていないし、まだ意味が分かりません。
 

入試問題の紹介

 投稿者:かたつむり  投稿日:2017年10月11日(水)23時36分36秒
編集済
  人目に付かぬまま埋もれてしまいそうな,今年の入試問題の傑作を紹介します.
1次元ランダムウォークの話題です.

【2017年 昭和大・医 2番】(問題文を一部書き換えて記します.)
表・裏の出る確率が等しい硬貨を繰り返し振る.確率変数 X_{i} (i=1,2,...) を,
  i回目に表が出たら X_{i}=1, i回目に裏が出たら X_{i}=-1
と定め,Z_{0}=0, Z_{n}=Σ_{i=1}^{n} X_{i} とする.さらに,
  M_{n}=max_{0≦i≦n} Z_{i}, T_{n}=#{i | 1≦i≦n, (Z_{i-1},Z_{i})=(0,1) or (Z_{i-1},Z_{i})=(1,0)}
によって,確率変数 M_{n}, T_{n} (n=1,2,...) を定める.
 (1) P(M_{4}=k) (0≦k≦4) を求めよ. (2) P(T_{4}=k) (0≦k≦4) を求めよ.
  (3) P(M_{5}=k) と P(T_{5}=k) の間に成り立つ関係を求めよ.

入試問題の解答としては,(3) では,32個の根元事象について M_{5},T_{5} の値を
求めれば済みますが,一般化した問
 (4)  P(M_{n}=k) と P(T_{n}=k) の関係を調べよ.
は,(おそらく)京大特色入試レベルの難問になります.
結果は驚くべきもので,解決した後も不思議な感じが消えません.

M_{n} は,ランダムウォークを扱う書物に(必ず)載っている標準的な話題ですが,
T_{n} は,この入試問題で初めて目にしました.
T_{n} について,背景とか,何か御存知の方がいたら教えてください.

追記:集合Aに対し,#A は「Aの要素の個数」を表す.
 

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年10月 6日(金)14時49分1秒
編集済
  ごめんなさい。こちらでもやってみたら、UPしたファイルに対して、このhtmlファイルにはMathJaxの諸々が埋め込まれていて、ここからTeXを取り出すのはたいへんです。  

(無題)

 投稿者:南海  投稿日:2017年10月 5日(木)17時02分19秒
  下記のHTMLファイルは,TEXがそのまま入っているので,保存して必要なところを取り出せば,打ち直さなくてもいいのですよ.HTML用に半角アキがたくさん入っているのでそれを取り除くだけで使えます.  

平均値の定理?

 投稿者:Jukensha  投稿日:2017年10月 3日(火)18時07分26秒
  ありがとうございました。さっそくTEXに打ち直しました。感謝です.  

98京大後期

 投稿者:南海  投稿日:2017年 9月29日(金)23時03分47秒
編集済
  入力したものがあったので,上げておきました.
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/20c/98ka204.htm
 

平均値の定理?

 投稿者:Jukensha  投稿日:2017年 9月28日(木)16時25分49秒
  すばやいお返事ありがとうございました。自分でも解決しました.a_n \cos a_n が\to \inftyであることをしめすところで詰まったのですが、g(x)=x \cos xを考え、g''(x)まで考えて証明でき、挟み撃ちの原理で解決できました。ですが
南海氏の解法のほうがわかりやすく、簡潔で良いと思います。1998年京都大学後期の問題をさがしていますが、まだ見つかりません。問題文だけでもここにのせてもらえる人がいればお願いします.
 

平均値の定理?

 投稿者:南海  投稿日:2017年 9月27日(水)09時03分29秒
編集済
  平均値の定理の定理もありかもしれませんが、もっと簡単に。

b_n=a_n-2nπ とおく。a_n=b_n+2nπで0 \le b_n \le π/2 。
f(a_n)=0より(b_n+2nπ) \sin(b_n+2nπ)  - \cos(b_n+2nπ) =(b_n+2nπ) \sinb_n-\cosb_n=0。
つまり\sinb_n=\cosb_n/(b_n+2nπ) .これより\lim _{n \to \infty}\sinb_n=0。
b_nの範囲を考え\sin の連続性から\lim _{n \to \infty}b_n=0。

なお京大98年後期に類題があります。
 

平均値の定理?

 投稿者:Jukensha  投稿日:2017年 9月25日(月)19時08分8秒
  ~関数$f(x)$を$f(x)=x \sin x - \cos x$で定める。また、$n$を正整数とする。\\
(1)~$\displaystyle 2n \pi \leqq x \leqq 2n \pi + \frac{\pi}{2}$の範囲において、$f(x)=0$となる
$x$がただ1つ存在することを示せ。\\
(2)~(1)での$f(x)=0$となる$x$の値を$a_n$とする$\displaystyle \left( 2n \pi \leqq a_n \leqq 2n \pi + \frac{\pi}{2}\right)$。
このとき、$\displaystyle \lim _{n \to \infty} (a_n -2n \pi)=0$であることを示せ。
(1)はわかるのですが、(2)の半分ができません。解法は平均値の定理で考えました。(2)の解答をお願いします。
 

可測関数の同値関係

 投稿者:Imogene  投稿日:2017年 8月20日(日)09時40分55秒
  宜しくお願い致します。

(Ω,Σ,μ)と(R,L(R),λ)を測度空間とします(Rは実数体,L(R)はルベーグσ集合体,λはルベーグ測度)。
この時,
(ア)「f:Ω→Rが可測関数

f^-1(E)∈Σ for∀E∈L(R)」
が可測関数の定義ですよね。
でも
(イ)「f:Ω→Rが可測関数

f^-1((r,+∞))∈Σ for∀r∈R」
も可測関数の定義となってます。

(ア)と(イ)が同値であることはどうすれば示せるのでしょうか?
 

整式について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 8月15日(火)00時45分58秒
  L(x)は、P(x)+Q(x)と共通因数G(x)をもつ。と、L(x)とP(x)+Q(x)は共通因数G(x)をもつ。の違いがわかりません。教えていただけると幸いです。
同じである理由を教えていただけると幸いです。
 

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